1、 2021-2022 学年黑龙江省佳木斯市同江市九年级上学年黑龙江省佳木斯市同江市九年级上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A5x2+2x6 Bx2+y24 C1 2 = 0 D3x+10 2 （3 分）云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中下列云纹图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则反比例函数 =与一次函数 yax+b在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
2、A B C D 4 （3 分）下列说法中，正确的是（ ） A “打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B “若 a，b 互为相反数，则 a+b0” ，这一事件是随机事件 C “2，5，4，2 的中位数一定是 2” ，这一事件是不可能事件 D “佳木斯明天降雨的概率是 60%” ，意思是佳木斯明天有 60%的时间在降雨 5 （3 分） 若关于 x 的一元二次方程 （k1） x2+x10 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak0 Bk0 C34且 k1 D 34且 k1 6 （3 分）将抛物线 yx2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（ ） Ay（x2）2+1
3、By（x2）21 Cy（x+2）2+1 Dy（x+2）21 7 （3 分）目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市 2020 年年底有 5G 用户 2 万户，计划到2022 年年底全市 5G 用户数达到 9.68 万户设全市 5G 用户数年平均增长率为 x，则 x 的值为（ ） A120% B130% C140% D150% 8 （3 分）如图，A 是反比例函数 =4(0)的图象上任意一点，ABx 轴交反比例函数 = 6的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则平行四边形 ABCD 的面积为（ ） A4 B6 C8 D10 9 （3 分）
4、如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将ACP 绕点 A 顺时针旋转 60得到ABQ，若 PA2，PB4， = 23，则四边形 APBQ 的面积为（ ） A23 B33 C43 D53 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABAC，D，E 是斜边 BC 上两点，且DAE45，将ADC 绕点 A顺时针旋转 90后，得到AFB，连接 EF下列结论：AEDAEF；FAD90，BE+DCDE；ADC+AFE180其中结论正确的序号为（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 11 （3 分）方程 x22x20 的解是 12 （3 分）函数 =
5、+31中，自变量 x 的取值范围是 13 （3 分） 如图， 12， BD， 请你添加一个条件 ， 使得ADEABC （填一个即可） 14 （3 分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是 15（3分） 如图， 四边形ABCD为O的内接四边形， ADC90， AB2， CB3， 则O的直径为 16 （3 分）已知圆心角为 60的扇形的面积为 6，则扇形的弧长为 17 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABBC，B90， = 122，四边形 BDEF 是ABC 的内接正方形（点 D，E，F 在
6、三角形的边上） ，则此正方形的面积是 18 （3 分）如图，AOD 和COB 关于点 O 中心对称，AOD60，ADO90，BD12，P 是 AO上一动点，Q 是 QC 上一动点（点 P，Q 不与端点重合） ，且 APOQ连接 BQ，DP，则 DP+BQ 的最小值是 19 （3 分）O 的半径为 2，弦 BC23，点 A 是O 上一点，且 ABAC，直线 AO 与 BC 交于点 D，则AD 的长为 20 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有一个等腰直角三角形 AOB，OAB90，直角边 AO 在x 轴上，且 AO1将 RtAOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三角形 A1
7、OB1，且 A1O2AO，再将 RtA1OB1绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三角形 A2OB2，且 A2O2A1O依此规律，点 A2022的坐标为 三、解答题（满分三、解答题（满分 60 分）分） 21 （6 分）先化简，再求值：322 ( + 2 52)，其中 m 是方程 x2+3x+10 的根 22 （6 分）如图，在平面直角坐标系中ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，2） ，请解答下列问题： （1）画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后得到A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）画出和A1B1C1关于原点 O 成中心对称的A2B2C2，并写出点 A2的坐标
8、； （3）在（1）的条件下，求 BC 在旋转过程中扫过的面积 23 （6 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与二次函数 yax2的图象交于点 A（1，m）和 B（2，4） ，与 y 轴交于点 C （1）求 k，b，a 的值； （2）求AOB 的面积 24 （6 分）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为 A优秀；B优良；C合格；D不合格四个等级小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图 （1）本次抽样调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）该校共有 2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数； （3）已知调查对象中只有两位女生竞赛成
9、绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率 25 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+kx+k50 （1）求证：不论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求该方程的另一个根 26 （8 分）已知：正方形 ABCD 中，MAN45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时（如图 1） ，易证 BM+DNMN （1）当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时（如图 2） ，线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？
10、写出猜想，并加以证明； （2）当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM、DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接 写出你的猜想 27 （10 分）某衬衣店将进价为 30 元的一种衬衣以 40 元售出，平均每月能售出 600 件，调查表明：这种衬衣售价每上涨 1 元，其销售量将减少 10 件 （1）求出月销售利润 y（元）与售价 x（元/件）之间的函数关系式； （2）衬衣店想在月销售量不少于 300 件的情况下，使月销售利润达到 10000 元，则售价应定为多少？ （3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润 28 （10 分）已知：直线 y=12x3 与 x 轴
11、、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y=13x2+bx+c 经过点 A、B，且交x 轴于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上一点，且点 P 在 AB 的下方，设点 P 的横坐标为 m 试求当 m 为何值时，PAB 的面积最大； 当PAB 的面积最大时，过点 P 作 x 轴的垂线 PD，垂足为点 D，问在直线 PD 上是否存在点 Q，使QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 2021-2022 学年黑龙江省佳木斯市同江市九年级学年黑龙江省佳木斯市同江市九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满
12、分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A5x2+2x6 Bx2+y24 C1 2 = 0 D3x+10 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可 【解答】解：A该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：A 2 （3 分）云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中下列云纹图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋
13、转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论 【解答】解：A是中心对称图形，故本选项符合题意； B不是中心对称图形，故本选项不合题意； C不是中心对称图形，故本选项不合题意； D不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 3 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则反比例函数 =与一次函数 yax+b在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A B C D 【分析】首先根据抛物线开口向下可得 a0，由对称轴在 y 轴右边可得 a、b 异号，故 b0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案 【解答】解：根据抛物
14、线开口向下可得 a0，由对称轴在 y 轴右边可得 a、b 异号，故 b0，c0， 则反比例函数 y=的图象在第一、三象限， 一次函数 yax+b 经过第一、二、三象限， 故选：A 4 （3 分）下列说法中，正确的是（ ） A “打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B “若 a，b 互为相反数，则 a+b0” ，这一事件是随机事件 C “2，5，4，2 的中位数一定是 2” ，这一事件是不可能事件 D “佳木斯明天降雨的概率是 60%” ，意思是佳木斯明天有 60%的时间在降雨 【分析】根据必然事件和随机事件的定义分别判断各个选项即可 【解答】解：A、打开电视正在播放电视剧是随机事件，故本选项
15、错误，不符合题意； B、若 a，b 互为相反数，则 a+b0” ，这一事件是必然事件，故本选项错误，不符合题意； C、 “2，5，4，2 的中位数一定是 2” ，这一事件是不可能事件，故本选项正确，符合题意； D、 佳木斯明天降雨的概率是 60%” ， 意思是佳木斯明天下雨的可能性较大， 故本选项错误， 不符合题意； 故选：C 5 （3 分） 若关于 x 的一元二次方程 （k1） x2+x10 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak0 Bk0 C34且 k1 D 34且 k1 【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到 k10 且124（k1）（1）0，然后求出
16、两不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k10 且124（k1）（1）0 解得 k34且 k1， 故选：C 6 （3 分）将抛物线 yx2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（ ） Ay（x2）2+1 By（x2）21 Cy（x+2）2+1 Dy（x+2）21 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0） ，向左平移两个单位，再向上平移一个单位，那么新抛物线的顶点为（2，1） ； 可设新抛物线的解析式为 y（xh）2+k，代入得：y（x+2）2+1， 故选：C 7 （3 分）目前以 5G 等为
17、代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市 2020 年年底有 5G 用户 2 万户，计划到2022 年年底全市 5G 用户数达到 9.68 万户设全市 5G 用户数年平均增长率为 x，则 x 的值为（ ） A120% B130% C140% D150% 【分析】利用该市 2022 年年底全市 5G 用户数该市 2020 年年底全市 5G 用户数（1+全市 5G 用户数年平均增长率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：依题意得：2（1+x）29.68， 解得：x11.2120%，x23.2（不符合题意，舍去） ， x 的值为 120% 故选：A 8 （3 分）如
18、图，A 是反比例函数 =4(0)的图象上任意一点，ABx 轴交反比例函数 = 6的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则平行四边形 ABCD 的面积为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】连接 OA、OB，AB 交 y 轴于 E，由于 ABy 轴，根据反比例函数 y=（k0）系数 k 的几何意义得到 SOEA=1242，SOBE=1263，则四边形 ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到 S平行四边形ABCD2SOAB10 【解答】解：连接 OA、OB，AB 交 y 轴于 E，如图， ABx 轴， ABy 轴， SOEA=1242
19、，SOBE=1263， SOAB2+35， 四边形 ABCD 为平行四边形， S平行四边形ABCD2SOAB10 故选：D 9 （3 分）如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将ACP 绕点 A 顺时针旋转 60得到ABQ，若 PA2，PB4， = 23，则四边形 APBQ 的面积为（ ） A23 B33 C43 D53 【分析】如图，连接 PQ由题意PQA 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明PQB90即可解决问题 【解答】解：如图，连接 PQ ACP 绕点 A 顺时针旋转 60得到ABQ， APAQ2，PCBQ23，PAQ60， PAQ 是等边三角形， PQPA2， PB4， PB2B
20、Q2+PQ2， PQB90， S四边形APBQSPBQ+SAPQ=12PQQB+34PA2=12223 +34433， 故选：B 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABAC，D，E 是斜边 BC 上两点，且DAE45，将ADC 绕点 A顺时针旋转 90后，得到AFB，连接 EF下列结论：AEDAEF；FAD90，BE+DCDE；ADC+AFE180其中结论正确的序号为（ ） A B C D 【分析】根据旋转的性质可得，FAD90，AFAD，BFDC，ABFC，从而证明FAEDAE，FBE90，进而可得 EFDE，然后在 RtBFE 中，利用勾股定理，进行计算即可判断正确 【解答】解：由
21、旋转得： FAD90，AFAD，BFDC，ABFC， DAE45， FAEFADDAE45， FAEDAE， AEAE， FAEDAE（SAS） ， EFDE，AFEADE， ADC+ADE180， ADC+AFE180， 上列结论，一定正确的是：， 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 11 （3 分）方程 x22x20 的解是 x1= 3 +1，x2= 3 +1 【分析】首先把常数2 移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，再开方，解方程即可 【解答】解：x22x20， 移项得：x22x2， 配方得：x22x+12
22、+1， （x1）23， 两边直接开平方得：x1= 3， 则 x1= 3 +1，x2= 3 +1 故答案为：x1= 3 +1，x2= 3 +1 12 （3 分）函数 =+31中，自变量 x 的取值范围是 x3 且 x1 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，可知：x+30 且 x10，解得自变量 x 的取值范围 【解答】解：根据题意得：x+30 且 x10， 解得：x3 且 x1 13 （3 分）如图，12，BD，请你添加一个条件 ADAE（答案唯一） ，使得ADEABC（填一个即可） 【分析】证出DAEBAC，由全等三角形的判定可得出结论 【解答】解：添
23、加一个条件可以是 ADAE， 12， 1+BAE2+BAE， DAEBAC， BD，ADAE， ADEABC（ASA） ， 故答案是：ADAE（答案唯一） 14 （3 分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是 29 【分析】可以采用列表法或树状图求解可以得到一共有 9 种情况，一辆向右转，一辆向左转有 2 种结果数，根据概率公式计算可得 【解答】解：画“树形图”如图所示： 这两辆汽车行驶方向共有 9 种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有 2 种， 一辆向右转，一辆向左转的概率为2
24、9， 故答案为：29 15 （3 分）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，ADC90，AB2，CB3，则O 的直径为 13 【分析】连接 AC，首先利用 90的圆周角所对的弦是直径确定 AC 是直径，然后利用勾股定理求得答案即可 【解答】解：连接 AC， 四边形 ABCD 为O 的内接四边形，ADC90， AC 是直径， ABC90， AB2，CB3， 在直角三角形 ABC 中， AC= 2+ 222+ 32132+ 222+ 32= 13 故答案为：13 16 （3 分）已知圆心角为 60的扇形的面积为 6，则扇形的弧长为 2 【分析】设扇形的半径为 R，先利用扇形的面积公式求出 R
25、，然后根据弧长公式计算 【解答】解：设扇形的半径为 R， 根据题意得602360=6，解得 R6， 所以扇形的弧长=606180=2 故答案为：2 17 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABBC，B90， = 122，四边形 BDEF 是ABC 的内接正方形（点 D，E，F 在三角形的边上） ，则此正方形的面积是 36 【分析】由已知可得到AFEABC，根据相似三角形的边对应成比例即可求得 EF 的长，进而根据正方形的面积公式即可求得 【解答】解：方法一：在 RtABC 中，AB2+BC2AC2， ABBC，AC122 2AB2288， ABBC12， 设 EFx，则 AF12x， EFB
26、C， AFEABC =， 12=1212， x6， EF6， 此正方形的面积为 6636 方法二：ABC 是等腰直角三角形， AC45， 四边形 BDEF 是ABC 的内接正方形， EFBC， AEFC45， AEF 也是等腰直角三角形， AFEF， 设 AFx，则 BF12x， 12xx， x6， 此正方形的面积为 6636 故答案为：36 18 （3 分）如图，AOD 和COB 关于点 O 中心对称，AOD60，ADO90，BD12，P 是 AO上一动点，Q 是 QC 上一动点（点 P，Q 不与端点重合） ，且 APOQ连接 BQ，DP，则 DP+BQ 的最小值是 12 【分析】由中心对称
27、的性质可得 BODO6，AOOC，可证四边形 ABCD 是平行四边形，由直角三角形的性质可得 AO2DO12，当 APOP 时，DP+BQ 的值最小，此时 P 为 OA 的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出 DP、BQ，即可得出结果 【解答】解：AOD 和COB 关于点 O 中心对称， BODO6，AOOC， 四边形 ABCD 是平行四边形， AOD60，ADO90， DAO30， AO2DO12， APOQ， PQAO12， 如图，作 DKAC，使得 DKPQ12，连接 BK 交 AC 于 Q， 此时 DP+BQKQ+BQBK 的值最小， 作 BHDK 于 H则 DH6，BH63， DK
28、12， KHDKDH6， BK= 2+ 2= 36 + 108 =12， DP+BQ 的最小值为 12 故答案为：12 19 （3 分）O 的半径为 2，弦 BC23，点 A 是O 上一点，且 ABAC，直线 AO 与 BC 交于点 D，则AD 的长为 1 或 3 【分析】根据题意画出图形，连接 OB，由垂径定理可知 BD=12BC，在 RtOBD 中，根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出结论 【解答】解：如图所示： O 的半径为 2，弦 BC23，点 A 是O 上一点，且 ABAC， ADBC， BD=12BC= 3， 在 RtOBD 中， BD2+OD2OB2，即（3）2+OD222，解
29、得 OD1， 当如图 1 所示时，ADOAOD211； 当如图 2 所示时，ADOA+OD2+13 故答案为：1 或 3 20 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有一个等腰直角三角形 AOB，OAB90，直角边 AO 在x 轴上，且 AO1将 RtAOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三角形 A1OB1，且 A1O2AO，再将 RtA1OB1绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三角形 A2OB2，且 A2O2A1O依此规律，点 A2022的坐标为 （0，22022） 【分析】根据题意得出 A 点坐标变化规律，进而得出点 A2022的坐标位置，进而得出答案 【解答】解：
30、AOB 是等腰直角三角形，OA1， ABOA1， A（1，0） ， 将 RtAOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三角形 A1OB1，且 A1O2AO， 再将 RtA1OB1绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰三角形 A2OB2，且 A2O2A1O，依此规律， 每 4 次循环一周，A1（0，2） ，A2（4，0） ，A3（8，0） ，A4（0，16） ， 202245052， 点 B2020与 B 同在一个象限内， 422，823，1624， 点 A2022（0，22022） 故答案为： （0，22022） 三、解答题（满分三、解答题（满分 60 分）分） 21 （6 分）先化简，再
31、求值：322 ( + 2 52)，其中 m 是方程 x2+3x+10 的根 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可 【解答】解：原式=322 (24252)， =322292， =3(2)2(+3)(3)， =12+3 m 是方程 x2+3x+10 的根， m2+3m+10， m2+3m1， 当 m2+3m1 时，原式=11= 1 22 （6 分）如图，在平面直角坐标系中ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，2） ，请解答下列问题： （1）画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后得到A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）画出和A1B1C1关于原点 O 成中心
32、对称的A2B2C2，并写出点 A2的坐标； （3）在（1）的条件下，求 BC 在旋转过程中扫过的面积 【分析】 （1）根据旋转的性质作图，由图可得答案 （2）根据中心对称的性质作图，由图可得答案 （3）利用勾股定理求出 BC 的长，再结合扇形的面积公式求解即可 【解答】解： （1）A1B1C1如图所示 点 A1（4，0） （2）A2B2C2如图所示 点 A2（4，0） （3）BC= 12+ 22= 5， BC 扫过的面积为90(5)2360=54 23 （6 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与二次函数 yax2的图象交于点 A（1，m）和 B（2，4） ，与 y 轴交于点 C （1）求
33、k，b，a 的值； （2）求AOB 的面积 【分析】 （1）由点 B 坐标可得 a 的值，从而可得点 A 坐标，再通过待定系数法求出直线解析式 （2）由 SAOBSAOC+SBOC求解 【解答】解： （1）将（2，4）代入 yax2得 44a， 解得 a1， yx2， 将（1，m）代入 yx2得 m1， 点 A 坐标为（1，1） ， 将（2，4） ， （1，1）代入 ykx+b 得4 = 2 + 1 = + ， 解得 = 1 = 2 （2）由（1）得 yx+2， 将 x0 代入 yx+2 得 y2， 点 C 坐标为（0，2） ，OC2， SAOBSAOC+SBOC=12OC|xB|+12OC|
34、xA|=12 2 2 +12 2 1 =3 24 （6 分）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为 A优秀；B优良；C合格；D不合格四个等级小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计 图 （1）本次抽样调查的样本容量是 100 ，请补全条形统计图； （2）该校共有 2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数； （3）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率 【分析】 （1）由 C 等级的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可解决问题； （2）由该校共有学
35、生乘以成绩“优秀”的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有 20 种等可能的结果，其中恰好回访到一男一女的结果有 12 种，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）小李共抽取了：2525%100（名） ， B 等级的人数为：10035%35（名） ，D 等级的人数为：1003535255（名） ， 故答案为：100， 补全条形统计图如下： （2）200035100=700（名） ， 即估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为 700 名； （3）画树状图如下： 共有 20 种等可能的结果，其中恰好回访到一男一女的结果有 12 种， 随机回访两位竞赛成绩不合格的同学共 20 种等可能结果，
36、其中一男一女共 12 种结果，所以恰好回访到一男一女的概率为1220=35 25 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+kx+k50 （1）求证：不论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求该方程的另一个根 【分析】 （1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于 0 即可； （2）把 x3 代入求出 k，再解一元二次方程即可得到另一根 【解答】 （1）证明：x2+kx+k50， b24ack24（k5）（k2）2+16， （k2）20， （k2）2+1616，即0， 不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：把 x3 代入 x2+kx+k50
37、 得： 93k+k50， 解得 k2， 原方程为 x2+2x30， x13，x21， 方程的另一个根为 1 26 （8 分）已知：正方形 ABCD 中，MAN45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时（如图 1） ，易证 BM+DNMN （1）当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时（如图 2） ，线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （2）当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM、DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 【分析】 （
38、1）BM+DNMN 成立，证得 B、E、M 三点共线即可得到AEMANM，从而证得 MEMN （2）DNBMMN证明方法与（1）类似 【解答】解： （1）BM+DNMN 成立 证明：如图，把ADN 绕点 A 顺时针旋转 90， 得到ABE，则可证得 E、B、M 三点共线（图形画正确） EAM90NAM904545， 又NAM45， 在AEM 与ANM 中， = = = AEMANM（SAS） ， MEMN， MEBE+BMDN+BM， DN+BMMN； （2）DNBMMN 在线段 DN 上截取 DQBM， 在ADQ 与ABM 中， = = = ， ADQABM（SAS） ， DAQBAM， Q
39、ANMAN 在AMN 和AQN 中， = = = AMNAQN（SAS） ， MNQN， DNBMMN 27 （10 分）某衬衣店将进价为 30 元的一种衬衣以 40 元售出，平均每月能售出 600 件，调查表明：这种衬衣售价每上涨 1 元，其销售量将减少 10 件 （1）求出月销售利润 y（元）与售价 x（元/件）之间的函数关系式； （2）衬衣店想在月销售量不少于 300 件的情况下，使月销售利润达到 10000 元，则售价应定为多少？ （3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润 【分析】 （1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可； （2）由题意得：600 10
40、( 40) 300102+ 1300 30000 = 10000，即可求解； （3）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案 【解答】解： （1）由题意可得： y（x30）60010（x40）10 x2+1300 x30000； （2）设售价应定（元/件）时，满足题设条件， 由题意得：600 10( 40) 300102+ 1300 30000 = 10000，解得 70 = 50或80， 故 x50， 即售价应定为 50（元/件）时，满足题设要求； （3）y10 x2+1300 x30000， 10（x65）2+12250， 故当 x65（元/件） ，最大利润为 12250（元） ， 故当每件
41、售价为 65 元时，可以获得最大利润为 12250 元 28 （10 分）已知：直线 y=12x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y=13x2+bx+c 经过点 A、B，且交x 轴于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上一点，且点 P 在 AB 的下方，设点 P 的横坐标为 m 试求当 m 为何值时，PAB 的面积最大； 当PAB 的面积最大时，过点 P 作 x 轴的垂线 PD，垂足为点 D，问在直线 PD 上是否存在点 Q，使QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可
42、求出点 A、B 的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PDx 轴于 D，交 AB 于点 E，设点 P 的横坐标为 m，则点 P 的坐标为（m，13m232m3） ，点 E 的坐标为（m，12m3） ，进而可得出 PE 的长度，再利用三角形的面积公式即可得出 SPABm2+6m，利用配方法即可解决最值问题； 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，设点 Q 的坐标为（3，y） ，则 CQ2（92）2+y2，BC29+94，BQ29+（y+3）2，分QCB90、CBQ90及CQB90三种情况，利用勾股定理即可得出关于 y 的方程，解之即可得出结论 【解答
43、】解： （1）直线 y=12x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， 点 A 的坐标为（6，0） ，点 B 的坐标为（0，3） 将 A（6，0） 、B（0，3）代入 y=13x2+bx+c，得： = 312 + 6 + = 0，解得： = 32 = 3， 抛物线的解析式为 y=13x232x3 （2）过点 P 作 PDx 轴于 D，交 AB 于点 E，如图 1 所示 设点 P 的横坐标为 m，则点 P 的坐标为（m，13m232m3） ，点 E 的坐标为（m，12m3） ， PE=12m3（13m232m3）= 13m2+2m， SPAB=12PE（AD+DO）=12（13m2+2m）6m
44、2+6m（m3）2+9， 当 m3 时，PAB 的面积最大，最大值是 9 当 y0 时，有13x232x30， 解得：x1= 32，x26， 点 C 的坐标为（32，0） 设点 Q 的坐标为（3，y） ， 则 CQ2（92）2+y2，BC29+94，BQ29+（y+3）2 当QCB90时，有 CQ2+BC2BQ2， 即（92）2+y2+9+94=9+（y+3）2， 解得：y=94； 当CBQ90时，有 BC2+BQ2CQ2， 即 9+94+9+（y+3）2（92）2+y2， 解得：y= 32； 当CQB90时，有 BQ2+CQ2BC2， 即（92）2+y2+9+（y+3）29+94， 方程无解 综上所示：在直线 PD 上存在点 Q（3，94）或（3，32） ，使QBC 为直角三角形
