1、 第第 21 章章一元二次方程一元二次方程 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） A2x10 B7 Cx22x30 Dax2+bx+c0 2一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（ ） A1 B8 C7 D2 3用配方法解方程 x22x10，配方结果正确的是（ ） A（x+1）21 B（x1）21 C（x+1）22 D（x1）22 4解方程（x3）24，最合适的方法是（ ） A直接开平方法 B配方法 C公式法 D因式分解法 5已知是方程 x24x+c0 的一个根，则 c
2、的值为（ ） A B C2 D1 6如图，把一块长为 20cm，宽为 15cm 的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒若该无盖纸盒的底面积为 150cm2，设剪去的小正方形的边长为 xcm，则可列方程为（ ） A（202x） （15x）150 B（20 x） （152x）150 C（20 x） （15x）150 D（202x） （152x）150 7我县某村从 2018 年开始大力发展文旅产业，打造农家生态文化旅游据统计，该村 2018 年农家生态文化旅游收入约为 200 万元，2020 年该村农家生态文化旅游收入达到 288 万元据此估计该村从 2018
3、年到 2020 年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为（ ） A2% B4.4% C20% D44% 8若 x1，x2是方程 x24x20220 的两个实数根，则代数式 x122x1+2x2的值等于（ ） A2022 B2026 C2030 D2034 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 9写出一元二次方程 x（x+5）3x10 的一般形式： 10若（m2）x23x+50 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围为 11一元二次方程（x+）2320 的解为 12已知关于 x 的一元二次方程 x22x+k0 有两个相等的实数根，则
4、k 的值为 13有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有 81 只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过 3 轮传染后共有 只鸡受到传染 14对于任意实数 a，b，我们定义新运算“*” ：a*ba2+2abb2，例如 3*532+2355214若 m，n 是方程（x+2）*30 的两根，则+的值为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 15（6 分）解方程： （1）2x24x30 （2）x2+4x20 16（6 分） 直播购物逐渐走进了人们的生活 某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 2
5、0 件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 17 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程（k+1）x22kx+k20 有两个不相等的实数根 （1）求实数 k 的取值范围； （2）写出满足条件的 k 的最小整数值，并求此时方程的根 18 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2（2k+3）x+k2+3k+20 （1）证明无论 k 取何值时方程总有两个实数根 （2）ABC 中，BC5，AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，求 k 为何值时，ABC 是等腰三角形？ 19 （8 分）阅读下面的材
6、料： 解方程 x47x2+120 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2y，则 x4y2，原方程可化为：y27y+120，解得 y13，y24，当 y3 时，x23，x，当 y4 时，x24，x2原方程有四个根是：x1，x2，x32，x42，以上方法叫换元法，达 到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题 （1）解方程：（x2+x）25（x2+x）+40； （2）已知实数 a，b 满足（a2+b2）23（a2+b2）100，试求 a2+b2的值 20 （9 分）已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程（m+2）x2+2（m2）x+m+100 的两
7、实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）已知等腰ABC 的底边 BC4，若 x1，x2恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长 （3）阅读材料：若ABC 三边的长分别为 a，b，c，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：SABC，其中 p，在（2）的条件下，若BAC 和ABC 的角平分线交于点I，根据以上信息，求BIC 的面积 21 （9 分）阅读材料并解决下列问题： 材料 1 若一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根为 x1、x2，则 x1+x2，x1x2 材料 2 已知实数 m，n 满足 m2m10，n2n10，且 mn，求+的值 解：由题知 m，n 是方程 x2x10 的两个
8、不相等的实数根，根据材料 1，得 m+n1，mn1， +3 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程 5x2+10 x10 的两根为 x1，x2，则 x1+x2 ，x1x2 （2）已知实数 m，n 满足 3m23m10，3n23n10，且 mn，求 m2n+mn2的值 （3）已知实数 p，q 满足 p27p2，2q27q1，且 p2q，求 p2+4q2的值 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1解：A方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题
9、意； C方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D当 a0 时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 2解：关于 x 的一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数、二次项系数、常数项分别为 4、1 和3 所以一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 4+132 故选：D 3解：x22x10， x22x1， x22x+12， （x1）22 故选：D 4解： （x3）24， 两边开方得：x32， 即最合适的方法是直接开平方法， 故选：A 5解：是方程 x24x+c0 的一个根， （2+）24（2+）+c0， 解得 c1 故选：D 6解：设剪去小正方形的边
10、长为 xcm，则纸盒的底面为长（202x）cm，宽为（152x）cm 的长方形， 依题意，得： （202x） （152x）150 故选：D 7解：设该村从 2018 年到 2020 年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为 x， 依题意得：200（1+x）2288， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 故选：C 8解：x1是方程 x24x20220 的实数根， x124x120220， x124x1+2022， x122x1+2x24x1+20222x1+2x22022+2（x1+x2）， x1，x2是方程 x24x20220 的两个实数根， x1+x24， x122x1+2x
11、22022+242030 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 9解：去括号得 x2+5x3x10， 移项合并得 x2+2x+100 故答案为：x2+2x+100 10解：由题意，得 m20， m2， 故答案为：m2 11解：（x+）2320， （x+）232， x+4， x+4或 x+4， x13，x25， 故答案为：x13，x25 12解：关于 x 的一元二次方程 x22x+k0 有两个相等的实数根， b24ac（2）241k84k0， 解得：k2， 故答案为：2 13解：设每轮传染中 1 只鸡传染 x 只鸡，则第一轮传染中
12、有 x 只鸡被传染，第二种传染中有 x（1+x）只鸡被传染， 依题意得：1+x+x（1+x）81， 整理得： （1+x）281， 解得：x18，x210（不符合题意，舍去） ， 81+81x81+818729， 经过 3 轮传染后共有 729 只鸡受到传染 故答案为：729 14解：由题意得（x+2）*30 即为（x+2）2+6（x+2）90， 化简得 x2+10 x+70， m，n 是该方程的两根， m+n10，mn7， +， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 15解：（1）a2，b4，c3， （4）242（3）400， 则 x， x1，x2；
13、（2）x2+4x20， x2+4x2， x2+4x+42+4，即（x+2）26， x+2， x12+，x22 16解：设每件售价应定为 x 元，则每件的销售利润为（x40）元，日销售量为 20+10（1402x）件， 依题意得： （x40） （1402x）（6040）20， 整理得：x2110 x+30000， 解得：x150，x260（不合题意，舍去） 答：每件售价应定为 50 元 17解： （1）关于 x 的一元二次方程（k+1）x22kx+k20 有两个不相等的实数根， ， 解得：k2 且 k1， 实数 k 的取值范围为 k2 且 k1 （2）k2 且 k1， 满足条件的 k 的最小整数
14、值为 0，此时原方程为 x220， 解得：x1，x2 18（1）证明：（2k+3）241（k2+3k+2）10， 无论 k 取何值时方程总有两个实数根 （2）解：方程 x2（2k+3）x+k2+3k+20 的解为： x，即 x1k+2，x2k+1， AB、AC 是方程的两个实数根， ABAC， BC5， 当 k+25，或 k+15 时，ABC 是等腰三角形， k3 或 4， 故当 k 为 3 或 4 时，ABC 是等腰三角形 19解： （1）设 yx2+x，则 y25y+40， 整理，得 （y1） （y4）0， 解得 y11，y24， 当 x2+x1 即 x2+x10 时，解得：x； 当当 x
15、2+x4 即 x2+x40 时，解得：x； 综上所述，原方程的解为 x1，2，x3，4； （2）设 xa2+b2，则 x23x100， 整理，得 （x5） （x+2）0， 解得 x15，x22（舍去）， 故 a2+b25 20解：（1）由题意得：b24ac2（m2）24（m+2） （m+10）0，且 m+20， 化简得：64m64， 解得：m1 且 m2； （2）由题意知：x1，x2恰好是等腰ABC 的腰长， x1x2， x1，x2是关于 x 的一元二次方程（m+2）x2+2（m2）x+m+100 的两实数根， b24ac2（m2）24（m+2） （m+10）0， 解得 m1， x26x+90
16、， 解得 x1x23， BC4， ABC 的周长为：3+3+410； （3）由（2）知：ABC 的三边长为 3，3，4， p5， SABC， 过 I 分别作 IFAB，IDBC，IEAC，垂足分别为 F，D，E， I 是ABC 角平分线的交点， IFIDIE， SABC， 解得 ID， SBIC 21解：（1）在 5x2+10 x10 中，a5，b10，c1， x1+x22，x1x2 故答案为：2，； （2）m，n 满足 3m23m10，3n23n10，mn， m，n 可以看作 3x23x10 的两个不等的实数根， m+n1，mn， m2n+mn2mn（m+n）1； （3）由题意知 p 与 2q 即为方程 x27x+20 的两个不等的实数根， p+2q7，2pq2， p2+4q2（p+2q）24pq722245
