第21章《一元二次方程》单元检测试卷(含答案)2022-2023学年人教版数学九年级上册

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1、 第第 21 章章一元二次方程一元二次方程 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 24 分,每小题分,每小题 3 分)分) 1下列方程中是一元二次方程的是( ) A2x10 B7 Cx22x30 Dax2+bx+c0 2一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数、二次项系数、常数项的和是( ) A1 B8 C7 D2 3用配方法解方程 x22x10,配方结果正确的是( ) A(x+1)21 B(x1)21 C(x+1)22 D(x1)22 4解方程(x3)24,最合适的方法是( ) A直接开平方法 B配方法 C公式法 D因式分解法 5已知是方程 x24x+c0 的一个根,则 c

2、的值为( ) A B C2 D1 6如图,把一块长为 20cm,宽为 15cm 的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形,再折叠成一个无盖的长方体纸盒若该无盖纸盒的底面积为 150cm2,设剪去的小正方形的边长为 xcm,则可列方程为( ) A(202x) (15x)150 B(20 x) (152x)150 C(20 x) (15x)150 D(202x) (152x)150 7我县某村从 2018 年开始大力发展文旅产业,打造农家生态文化旅游据统计,该村 2018 年农家生态文化旅游收入约为 200 万元,2020 年该村农家生态文化旅游收入达到 288 万元据此估计该村从 2018

3、年到 2020 年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为( ) A2% B4.4% C20% D44% 8若 x1,x2是方程 x24x20220 的两个实数根,则代数式 x122x1+2x2的值等于( ) A2022 B2026 C2030 D2034 二填空题(共二填空题(共 6 小题,满分小题,满分 24 分,每小题分,每小题 4 分)分) 9写出一元二次方程 x(x+5)3x10 的一般形式: 10若(m2)x23x+50 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围为 11一元二次方程(x+)2320 的解为 12已知关于 x 的一元二次方程 x22x+k0 有两个相等的实数根,则

4、k 的值为 13有一只鸡患了某种传染病,如果不加以控制,则经过两轮传染后将有 81 只鸡患上该种传染病,按此传播速度,经过 3 轮传染后共有 只鸡受到传染 14对于任意实数 a,b,我们定义新运算“*” :a*ba2+2abb2,例如 3*532+2355214若 m,n 是方程(x+2)*30 的两根,则+的值为 三解答题(共三解答题(共 7 小题,满分小题,满分 52 分)分) 15(6 分)解方程: (1)2x24x30 (2)x2+4x20 16(6 分) 直播购物逐渐走进了人们的生活 某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售,如果按每件 60 元销售,每天可卖出 2

5、0 件通过市场调查发现,每件小商品售价每降低 5 元,日销售量增加 10 件若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元? 17 (6 分)已知关于 x 的一元二次方程(k+1)x22kx+k20 有两个不相等的实数根 (1)求实数 k 的取值范围; (2)写出满足条件的 k 的最小整数值,并求此时方程的根 18 (8 分)已知:关于 x 的一元二次方程 x2(2k+3)x+k2+3k+20 (1)证明无论 k 取何值时方程总有两个实数根 (2)ABC 中,BC5,AB、AC 的长是这个方程的两个实数根,求 k 为何值时,ABC 是等腰三角形? 19 (8 分)阅读下面的材

6、料: 解方程 x47x2+120 这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设 x2y,则 x4y2,原方程可化为:y27y+120,解得 y13,y24,当 y3 时,x23,x,当 y4 时,x24,x2原方程有四个根是:x1,x2,x32,x42,以上方法叫换元法,达 到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题 (1)解方程:(x2+x)25(x2+x)+40; (2)已知实数 a,b 满足(a2+b2)23(a2+b2)100,试求 a2+b2的值 20 (9 分)已知 x1,x2是关于 x 的一元二次方程(m+2)x2+2(m2)x+m+100 的两

7、实数根 (1)求 m 的取值范围; (2)已知等腰ABC 的底边 BC4,若 x1,x2恰好是ABC 另外两边的边长,求这个三角形的周长 (3)阅读材料:若ABC 三边的长分别为 a,b,c,那么可以根据秦九韶海伦公式可得:SABC,其中 p,在(2)的条件下,若BAC 和ABC 的角平分线交于点I,根据以上信息,求BIC 的面积 21 (9 分)阅读材料并解决下列问题: 材料 1 若一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)的两根为 x1、x2,则 x1+x2,x1x2 材料 2 已知实数 m,n 满足 m2m10,n2n10,且 mn,求+的值 解:由题知 m,n 是方程 x2x10 的两个

8、不相等的实数根,根据材料 1,得 m+n1,mn1, +3 根据上述材料解决下面的问题: (1)一元二次方程 5x2+10 x10 的两根为 x1,x2,则 x1+x2 ,x1x2 (2)已知实数 m,n 满足 3m23m10,3n23n10,且 mn,求 m2n+mn2的值 (3)已知实数 p,q 满足 p27p2,2q27q1,且 p2q,求 p2+4q2的值 参考答案参考答案 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 24 分,每小题分,每小题 3 分)分) 1解:A方程是一元一次方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意; B方程是分式方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题

9、意; C方程是一元二次方程,故本选项符合题意; D当 a0 时,方程不是一元二次方程,故本选项不符合题意; 故选:C 2解:关于 x 的一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数、二次项系数、常数项分别为 4、1 和3 所以一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 4+132 故选:D 3解:x22x10, x22x1, x22x+12, (x1)22 故选:D 4解: (x3)24, 两边开方得:x32, 即最合适的方法是直接开平方法, 故选:A 5解:是方程 x24x+c0 的一个根, (2+)24(2+)+c0, 解得 c1 故选:D 6解:设剪去小正方形的边

10、长为 xcm,则纸盒的底面为长(202x)cm,宽为(152x)cm 的长方形, 依题意,得: (202x) (152x)150 故选:D 7解:设该村从 2018 年到 2020 年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为 x, 依题意得:200(1+x)2288, 解得:x10.220%,x22.2(不合题意,舍去) 故选:C 8解:x1是方程 x24x20220 的实数根, x124x120220, x124x1+2022, x122x1+2x24x1+20222x1+2x22022+2(x1+x2), x1,x2是方程 x24x20220 的两个实数根, x1+x24, x122x1+2x

11、22022+242030 故选:C 二填空题(共二填空题(共 6 小题,满分小题,满分 24 分,每小题分,每小题 4 分)分) 9解:去括号得 x2+5x3x10, 移项合并得 x2+2x+100 故答案为:x2+2x+100 10解:由题意,得 m20, m2, 故答案为:m2 11解:(x+)2320, (x+)232, x+4, x+4或 x+4, x13,x25, 故答案为:x13,x25 12解:关于 x 的一元二次方程 x22x+k0 有两个相等的实数根, b24ac(2)241k84k0, 解得:k2, 故答案为:2 13解:设每轮传染中 1 只鸡传染 x 只鸡,则第一轮传染中

12、有 x 只鸡被传染,第二种传染中有 x(1+x)只鸡被传染, 依题意得:1+x+x(1+x)81, 整理得: (1+x)281, 解得:x18,x210(不符合题意,舍去) , 81+81x81+818729, 经过 3 轮传染后共有 729 只鸡受到传染 故答案为:729 14解:由题意得(x+2)*30 即为(x+2)2+6(x+2)90, 化简得 x2+10 x+70, m,n 是该方程的两根, m+n10,mn7, +, 故答案为: 三解答题(共三解答题(共 7 小题,满分小题,满分 52 分)分) 15解:(1)a2,b4,c3, (4)242(3)400, 则 x, x1,x2;

13、(2)x2+4x20, x2+4x2, x2+4x+42+4,即(x+2)26, x+2, x12+,x22 16解:设每件售价应定为 x 元,则每件的销售利润为(x40)元,日销售量为 20+10(1402x)件, 依题意得: (x40) (1402x)(6040)20, 整理得:x2110 x+30000, 解得:x150,x260(不合题意,舍去) 答:每件售价应定为 50 元 17解: (1)关于 x 的一元二次方程(k+1)x22kx+k20 有两个不相等的实数根, , 解得:k2 且 k1, 实数 k 的取值范围为 k2 且 k1 (2)k2 且 k1, 满足条件的 k 的最小整数

14、值为 0,此时原方程为 x220, 解得:x1,x2 18(1)证明:(2k+3)241(k2+3k+2)10, 无论 k 取何值时方程总有两个实数根 (2)解:方程 x2(2k+3)x+k2+3k+20 的解为: x,即 x1k+2,x2k+1, AB、AC 是方程的两个实数根, ABAC, BC5, 当 k+25,或 k+15 时,ABC 是等腰三角形, k3 或 4, 故当 k 为 3 或 4 时,ABC 是等腰三角形 19解: (1)设 yx2+x,则 y25y+40, 整理,得 (y1) (y4)0, 解得 y11,y24, 当 x2+x1 即 x2+x10 时,解得:x; 当当 x

15、2+x4 即 x2+x40 时,解得:x; 综上所述,原方程的解为 x1,2,x3,4; (2)设 xa2+b2,则 x23x100, 整理,得 (x5) (x+2)0, 解得 x15,x22(舍去), 故 a2+b25 20解:(1)由题意得:b24ac2(m2)24(m+2) (m+10)0,且 m+20, 化简得:64m64, 解得:m1 且 m2; (2)由题意知:x1,x2恰好是等腰ABC 的腰长, x1x2, x1,x2是关于 x 的一元二次方程(m+2)x2+2(m2)x+m+100 的两实数根, b24ac2(m2)24(m+2) (m+10)0, 解得 m1, x26x+90

16、, 解得 x1x23, BC4, ABC 的周长为:3+3+410; (3)由(2)知:ABC 的三边长为 3,3,4, p5, SABC, 过 I 分别作 IFAB,IDBC,IEAC,垂足分别为 F,D,E, I 是ABC 角平分线的交点, IFIDIE, SABC, 解得 ID, SBIC 21解:(1)在 5x2+10 x10 中,a5,b10,c1, x1+x22,x1x2 故答案为:2,; (2)m,n 满足 3m23m10,3n23n10,mn, m,n 可以看作 3x23x10 的两个不等的实数根, m+n1,mn, m2n+mn2mn(m+n)1; (3)由题意知 p 与 2q 即为方程 x27x+20 的两个不等的实数根, p+2q7,2pq2, p2+4q2(p+2q)24pq722245

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