1、 第第 2222 章一元二次方程章一元二次方程 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx17 C7x2+60 D2x25y0 2关于 x 的一元二次方程 3x2+2x+10 的根的情况，下列判断正确的是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 3一元二次方程（x1）xx 的解是（ ） A1 或1 B2 C0 或 2 D0 4用配方法解方程 x26x20 的过程中，应将此方程化为（ ） A （x3）211 B （x3）27 C （x6）238 D （x6）234 5已
2、知 m 是方程 x22x20220 的一个根，则 2m24m 的值为（ ） A4044 B4044 C2022 D2022 6已知 x1，x2是方程 x2x20220 的两个实数根，则代数式 x132022x1+x22的值是（ ） A4045 B4044 C2022 D1 7已知：实数 a、b 满足 a2+ab2+b3，ab，则+的值是（ ） A B C3 D2 8小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂 2020 年全年某产品的产量为 234 万吨，经该厂的技术人员预计2022 年全年该产品的产量为 345 万吨，设 2020 年至 2022 年该产品的预计年平均增长率为 x，根据题意列出方程得（
3、 ） A234（1+x）2345 B234（12x）345 C234（1+2x）345 D234（1x）2345 二填空题（共二填空题（共 6 小题小题，满分，满分 30 分）分） 9一元二次方程（x+）2320 的解为 10关于 x 的一元二次方程 x22x+k10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 11 三角形两边的长分别是 2 和 4， 第三边的长是方程 x210 x+240 的根， 则该三角形的周长为 12关于 x 的方程 a（x+m）2+b0 的解是 x12，x21（a，b，m 均为常数，且 a0） ，则 a（2x+m1）2+b0 的解是 13已知 ， 是方程 x2+202
4、1x+10 的两个根，则（2+2022+1） （2+2022+1） 14给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 2 倍，则我们 称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形” ，当已知矩形的长和宽分别为 3 和 1 时，其“加倍矩形”的对角线长为 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 50 分）分） 15解一元二次方程： （1）2x2+5x30； （2） （x+2）23x+6 16已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m+3）x+m+20 （1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个实数根； （2）若 x1，x2是原方程的两根，且 x12+x221，求
5、m 的值 17已知关于 x 的方程 （1）求证：无论 k 取何值，此方程总有实数根； （2）若 x1 是这个方程的一个根，求 k 的值和它的另一个根； （3）若等腰ABC 的一边长 a4，另两边 b、c 恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 18某农场要建一个长方形 ABCD 的养鸡场，鸡场的一边靠住房墙， （墙长 25m）另外三边用木栏围成，木栏长 39m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门 （1）若养鸡场面积为 168m2，求鸡场的长和宽 （2）养鸡场面积能达到 205m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由 19某商场销售一批名牌衬衫，平均
6、每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当降价措施经调查发现，每件衬衫每降价 5 元，商场平均每天多售出 10件求： （1）若商场平均每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 20某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是 90 万元，每月另需支付设备维护费 5 万元，从今年 1 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达 100 万元，1 至 3 月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达 364 万元，3 月份后，每月生产收入稳定在 3 月份的水平 （1）求使用新
7、设备后，2 月、3 月生产收入的月增长率； （2）购进新设备需一次性支付 640 万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费） 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1解：A当 a0 时，方程 ax2+bx+c0 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； Bx17，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C7x2+60 是一元二次方程，故本选项符合题意； D2x25y0 是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 2解：2241
8、3 412 8， 故原方程无实数根， 故选：C 3解：（x1）xx， （x1）xx0， x（x2）0， 则 x0 或 x20， 解得 x0 或 x2， 故选：C 4解：x26x20， x26x2， x26x+92+9， （x3）211， 故选：A 5解：由题意得： 把 xm 代入方程 x22x20220 中， 则 m22m20220， m22m2022， 2m24m4044， 故选：B 6解：把 xx1代入方程得：x12x120220，即 x122022x1， x1，x2是方程 x2x20220 的两个实数根， x1+x21，x1x22022， 则原式x1（x122022）+x22 x12+x
9、22 （x1+x2）22x1x2 1+4044 4045 故选：A 7解：a2+ab2+b3， a2+a3，b2+b3，ab， a，b 可以看成是方程变为 t2+t30 的两个实数根， a+b1ab3， + 故选：A 8解：根据题意，得 234（1+x）2345， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分）分） 9解： （x+）2320， （x+）232， x+4， x+4或 x+4， x13，x25， 故答案为：x13，x25 10解：根据题意得b24ac（2）24（k1）0， 解得 k2 故答案为：k2 11解：x210 x+240， （x4） （x6）0，
10、所以 x14，x26， 而 2+46， 所以三角形第三边长为 4， 所以此三角形的周长为 2+4+410 故答案为：10 12解：把方程 a（2x+m1）2+b0 变形为 a（2x1）+m2+b0， 关于 x 的方程 a（x+m）2+b0 的解是 x12，x21， 2x12 或 2x11， x1，x20 故答案为 x1，x20 13解：， 是方程 x2+2021x+10 的两个根， 2+2021+10，2+2021+10，1， （2+2022+1） （2+2022+1） （2+2021+1+） （2+2021+1+） （0+） （0+） 1 故答案是：1 14解：设“加倍”矩形的长为 x，则宽
11、为2（3+1）x， 依题意，得：x2（3+1）x231， 整理，得：x28x+60， 解得：x14+，x24， 当 x4+时，2（3+1）x44+，符合题意； 当 x4时，2（3+1）x4+4，符不符合题意，舍去 “加倍矩形”的对角线长为2 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 50 分）分） 15解： （1）2x2+5x30， （x+3） （2x1）0， 则 x+30 或 2x10， 解得 x13，x20.5； （2）（x+2）23x+6， （x+2）23（x+2） ， （x+2）23（x+2）0， 则（x+2） （x1）0， x+20 或 x10， 解得 x12
12、，x21 16解： （1）证明：（m+3）24（m+2） （m+1）2， 无论 m 取何值， （m+1）20， 原方程总有两个实数根 （2）x1，x2是原方程的两根， x1+x2（m+3） ，x1x2m+2， x12+x221， （x1+x2）22x1x21， 代入化简可得：m2+4m+40， 解得：m2 17解： （1）（2k+1）2414（k）4（k）20，此时方程有两个实数根 综上所述，无论 k 取何值，此方程总有实数根 （2）若 x1 是这个方程的一个根，则 1（2k+1）+4（k）0， 解得 k1， 关于 x 的方程 x23x+20， 解方程得 x11，x22， 方程的另一根是 2；
13、 （3）当 a4 为底边，则 b，c 为腰长，则 bc，则0 4（k）20，解得：k 此时原方程化为 x24x+40 x1x22，即 bc2 此时ABC 三边为 4，2，2，构不成三角形， 当 a4 为腰，则 b4 为腰长，c 为底，则 164（2k+1）+4（k）0， 求得 k， 关于 x 的方程为 x26x+80 解得 x2 或 4， c2， 周长为 4+4+210 故这个等腰三角形的周长是 10 18解： （1）设垂直于住房墙的一边长为 xm，则平行于住房墙的一边长为（39+12x）m， 依题意得：x（39+12x）168， 整理得：x220 x+840， 解得：x16，x214 当 x
14、6 时，39+12x2825，不合题意，舍去； 当 x14 时，39+12x1225，符合题意 答：鸡场的长为 14m，宽为 12m （2）不能，理由如下： 设垂直于住房墙的一边长为 ym，则平行于住房墙的一边长为（39+12y）m， 依题意得：y（39+12y）205， 整理得：2y240y+2050 （40）242205400， 该方程无实数根， 养鸡场面积不能达到 205m2 19解： （1）设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天盈利 y 元， 则 y（40 x） （20+10）800+80 x20 x2x22x2+60 x+800， 当 y1200 时，1200（40 x） （20+2x
15、） ， 解得 x110，x220， 经检验，x110，x220 都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以 x20， 答：每件衬衫应降价 20 元； （2）y2x2+60 x+8002（x15）2+1250， 当 x15 时，y 的最大值为 1250， 答：当每件衬衫降价 15 元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是 1250 元 20解： （1）设每月的增长率为 x，由题意得： 100+100（1+x）+100（1+x）2364， 解得 x0.2，或 x3.2（不合题意舍去） 答：每月的增长率是 20% （2）设使用新设备 y 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有：364+100（1+20%）2（y3）640（905）y， 解得 y12 故使用新设备 12 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润
