1、 第第 2 2 章一元二次方程章一元二次方程 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1已知关于 x 的方程： （1）ax2+bx+c0； （2）x24x8+x2； （3）1+（x1） （x+1）0； （4） （k2+1）x2+kx+10 中，一元二次方程的个数为（ ）个 A1 B2 C3 D4 2关于 x 的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20 的常数项为 0，则 m 等于（ ） A1 B2 C1 或 2 D0 3 一元二次方程式 x28x48 可表示成 （xa）248+b 的形式， 其中 a、 b 为整数， 求 a+b 之值为何 （ ） A20 B12
2、 C12 D20 4一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27x+100 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A12 B9 C13 D12 或 9 5已知一元二次方程 x210 x+240 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ） A6 B10 C12 D24 6若 、 为方程 2x25x10 的两个实数根，则 22+3+5 的值为（ ） A13 B12 C14 D15 7已知一元二次方程 a（x+m）2+n0（a0）的两根分别为3，1，则方程 a（x+m2）2+n0（a0）的两根分别为（ ） A1，5 B1，3 C3，1 D1，5 8我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价
3、对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ） A8% B9% C10% D11% 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 9若关于 x 的方程 x2+5x+k0 的一个根是 1，则 k 的值为 10已知：m、n 是方程 x2+2x10 的两根，则（m2+3m+3） （n2+3n+3） 11已知 a、b 是方程 2x2+5x+10 的两实数根，则式子的值为 12若 a 为一元二次方程 x23x+m0 的一个根，a 为一元二次
4、方程 x2+3xm0 的一个根，则 a 的值为 13对于实数 a，b，定义运算“”如下：aba2ab，例如，53525310若（x+1）（x2）6，则 x 的值为 14如图，某小区有一块长为 36m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m 15商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件据此规律计算：每件商品降价 元时，商场日盈利可达到 2100 元 16德尔塔
5、（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强某地有 1 人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144 人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 40 分）分） 17解方程 （1）x22x80； （2）x（x1）+2（x1）0 18已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m220 （1）若该方程有两个实数根，求 m 的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且（x1x2）2+m221，求 m 的值 19阅读下面的材料： 解方程
6、 x47x2+120 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2y，则 x4y2，原方程可化为：y27y+120，解得 y13，y24，当 y3 时，x23，x，当 y4 时，x24，x2原方程有四个根是：x1，x2，x32，x42，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题 （1）解方程： （x2+x）25（x2+x）+40； （2）已知实数 a，b 满足（a2+b2）23（a2+b2）100，试求 a2+b2的值 20已知：关于 x 的一元二次方程 x2（3m+1）x+2m2+m0 （1）求证：无论 m 取何值，这个方程总有实数
7、根； （2）若ABC 的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为 3，当ABC 为等腰三角形时，求 m的值及ABC 的周长 21某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50 元，连续两次降价后每千克 32 元，若每次下降的百分率相同 （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施， 若每千克涨价 1 元， 日销售量将减少 20 千克， 现该商场要保证每天盈利 6000 元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 22已知：如图，在ABC 中，B90，AB5cm，BC7cm点 P 从点
8、A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 （1）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 6cm2？ （2）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，PQB 的面积能否等于 8cm2？说明理由 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1解： （1）ax2+bx+c0 中，a 可能为 0，所以不一定是一元二次方程； （2）x24x8+x2化简后只含有一个未知数，是一元一次方程； （
9、3）1+（x1） （x+1）0 和（4） （k2+1）x2+kx+10 符合定义，是一元二次方程 一元二次方程的个数为 2 个 故选：B 2解：根据题意，知， ， 解方程得：m2 故选：B 3解：x28x48， x28x+1648+16， （x4）248+16， a4，b16， a+b20 故选：A 4解：x27x+100， （x2） （x5）0， x20，x50， x12，x25， 等腰三角形的三边是 2，2，5 2+25， 不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意； 等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+512； 即等腰三角形的周长是 12 故
10、选：A 5解：法 1：方程 x210 x+240， 分解得： （x4） （x6）0， 可得 x40 或 x60， 解得：x4 或 x6， 菱形两对角线长为 4 和 6， 则这个菱形的面积为4612； 法 2：设 a，b 是方程 x210 x+240 的两根， ab24， 则这个菱形的面积为ab12 故选：C 6解： 为 2x25x10 的实数根， 22510，即 225+1， 22+3+55+1+3+55（+）+3+1， 、 为方程 2x25x10 的两个实数根， +， 22+3+55+3（）+112 故选：B 7解：一元二次方程 a（x+m）2+n0（a0）的两根分别为3，1， 方程 a（x
11、+m2）2+n0（a0）中 x23 或 x21， 解得：x1 或 3， 即方程 a（x+m2）2+n0（a0）的两根分别为1 和 3， 故选：B 8解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 6000（1x）24860， 解得：x10.1，x21.9（舍去） 答：平均每次下调的百分率为 10% 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 9解：把 x1 代入方程 x2+5x+k0 得 1+5+k0， 解得 k6 故答案为6 10解：m、n 是方程 x2+2x10 的两根， m+n2，mn1，m2+2m10，n2+2n10， （m2+3m+3） （n2+3n+
12、3） （m2+2m1+m+4） （n2+2n1+n+4） （m+4） （n+4） mn+4（m+n）+16 1+4（2）+16 7， 故答案为：7 11解：a、b 是方程 2x2+5x+10 的两实数根， a+b，ab， a0，b0， + 故答案为： 12解：把 a 和a 分别代入一元二次方程 x23x+m0 和一元二次方程 x2+3xm0，得到两个新的方程a23a+m0和 a23am0，把相加得到 2a26a0，所以 a3 或 a0 13解：由题意得， （x+1）2（x+1） （x2）6， 整理得，3x+36， 解得，x1， 故答案为：1 14解：设人行通道的宽度为 x， 将脸矩形绿地平移，
13、如图所示， AB2x，GD3x，ED242x 由题意可列出方程：36246002x36+3x（242x） 解得：x2 或 x22（不合题意，舍去） 故答案为：2 15解：降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可多售出 2x 件，盈利的钱数50 x， 由题意得： （50 x） （30+2x）2100， 化简得：x235x+3000， 解得：x115，x220， 该商场为了尽快减少库存， 降的越多，越吸引顾客， 选 x20， 故答案为：20 16解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，依题意得： 1+x+x（1+x）144， 整理得：x2+2x1430， 解得：x111，x213（不合
14、题意，舍去） 144+111441728（人） 答：经过三轮传染后，一共有 1728 人感染德尔塔病毒 故答案为：1728 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 40 分）分） 17解： （1）x22x80， （x+2） （x4）0， 则 x+20 或 x40， 解得 x12，x24； （2）x（x1）+2（x1）0， （x1） （x+2）0， 则 x10 或 x+20， 解得 x11，x22 18解： （1）根据题意得（2m+1）24（m22）0， 解得 m， 所以 m 的最小整数值为2； （2）根据题意得 x1+x2（2m+1） ，x1x2m22， （x1x2）2+m221，
15、 （x1+x2）24x1x2+m221， （2m+1）24（m22）+m221， 整理得 m2+4m120，解得 m12，m26， m， m 的值为 2 19解： （1）设 yx2+x，则 y25y+40， 整理，得 （y1） （y4）0， 解得 y11，y24， 当 x2+x1 即 x2+x10 时，解得：x； 当当 x2+x4 即 x2+x40 时，解得：x； 综上所述，原方程的解为 x1，2，x3，4； （2）设 xa2+b2，则 x23x100， 整理，得 （x5） （x+2）0， 解得 x15，x22（舍去） ， 故 a2+b25 20 （1）证明：a1，b（3m+1） ，c2m2+
16、m， （3m+1）24（2m2+m）m2+2m+1（m+1）20， 无论 m 取何值，这个方程总有实数根； （2）解：设方程的两根为 x1，x2 当 3 为底边时，则两腰的长是方程的两根， （m+1）20， m1， x1+x23m+13（1）+120， 此种情况不合题意，舍去； 当 3 为腰时，把 x3 代入方程 x2（3m+1）x+2m2+m0 得：93（3m+1）+2m2+m0， 解得 m11，m23 当 m1 时，x1+x23m+14，ABC 的周长为 7； 当 m3 时，x1+x23m+110，此时腰长为 3，底为 7， 3+37， 此种情况不合题意，舍去 综上所述：m 的值为 1，A
17、BC 的周长为 7 21解： （1）设每次下降的百分率为 a，根据题意，得： 50（1a）232， 解得：a1.8（舍）或 a0.2， 答：每次下降的百分率为 20%； （2）设每千克应涨价 x 元，由题意，得 （10+x） （50020 x）6000， 整理，得 x215x+500， 解得：x15，x210， 因为要尽快减少库存，所以 x5 符合题意 答：该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应涨价 5 元 22解： （1）设 经过 x 秒以后PBQ 面积为 6 （5x）2x6 整理得：x25x+60 解得：x2 或 x3 答：2 或 3 秒后PBQ 的面积等于 6cm2 （2）当 PQ5 时，在 RtPBQ 中，BP2+BQ2PQ2， （5t）2+（2t）252， 5t210t0， t（5t10）0， t10（舍弃） ，t22， 当 t2 时，PQ 的长度等于 5cm （3）设经过 x 秒以后PBQ 面积为 8， （5x）2x8 整理得：x25x+80 253270 PQB 的面积不能等于 8cm2
