第二章一元二次方程 单元综合测试题(含答案)2022-2023学年北师大版数学九年级上册

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1、 第第 2 2 章一元二次方程章一元二次方程 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分)分) 1已知关于 x 的方程: (1)ax2+bx+c0; (2)x24x8+x2; (3)1+(x1) (x+1)0; (4) (k2+1)x2+kx+10 中,一元二次方程的个数为( )个 A1 B2 C3 D4 2关于 x 的一元二次方程(m1)x2+5x+m23m+20 的常数项为 0,则 m 等于( ) A1 B2 C1 或 2 D0 3 一元二次方程式 x28x48 可表示成 (xa)248+b 的形式, 其中 a、 b 为整数, 求 a+b 之值为何 ( ) A20 B12

2、 C12 D20 4一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27x+100 的两根,则该等腰三角形的周长是( ) A12 B9 C13 D12 或 9 5已知一元二次方程 x210 x+240 的两个根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的面积为( ) A6 B10 C12 D24 6若 、 为方程 2x25x10 的两个实数根,则 22+3+5 的值为( ) A13 B12 C14 D15 7已知一元二次方程 a(x+m)2+n0(a0)的两根分别为3,1,则方程 a(x+m2)2+n0(a0)的两根分别为( ) A1,5 B1,3 C3,1 D1,5 8我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价

3、对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方 4860 元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( ) A8% B9% C10% D11% 二填空题(共二填空题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分)分) 9若关于 x 的方程 x2+5x+k0 的一个根是 1,则 k 的值为 10已知:m、n 是方程 x2+2x10 的两根,则(m2+3m+3) (n2+3n+3) 11已知 a、b 是方程 2x2+5x+10 的两实数根,则式子的值为 12若 a 为一元二次方程 x23x+m0 的一个根,a 为一元二次

4、方程 x2+3xm0 的一个根,则 a 的值为 13对于实数 a,b,定义运算“”如下:aba2ab,例如,53525310若(x+1)(x2)6,则 x 的值为 14如图,某小区有一块长为 36m,宽为 24m 的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为 600m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为 m 15商场某种商品平均每天可销售 30 件,每件盈利 50 元为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施 经调查发现,每件商品每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件据此规律计算:每件商品降价 元时,商场日盈利可达到 2100 元 16德尔塔

5、(Delta)是一种全球流行的新冠病毒变异毒株,其传染性极强某地有 1 人感染了德尔塔,因为没有及时隔离治疗,经过两轮传染后,一共有 144 人感染了德尔塔病毒,如果不及时控制,照这样的传染速度,经过三轮传染后,一共有 人感染德尔塔病毒 三解答题(共三解答题(共 6 小题,满分小题,满分 40 分)分) 17解方程 (1)x22x80; (2)x(x1)+2(x1)0 18已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m220 (1)若该方程有两个实数根,求 m 的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为 x1,x2,且(x1x2)2+m221,求 m 的值 19阅读下面的材料: 解方程

6、 x47x2+120 这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设 x2y,则 x4y2,原方程可化为:y27y+120,解得 y13,y24,当 y3 时,x23,x,当 y4 时,x24,x2原方程有四个根是:x1,x2,x32,x42,以上方法叫换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题 (1)解方程: (x2+x)25(x2+x)+40; (2)已知实数 a,b 满足(a2+b2)23(a2+b2)100,试求 a2+b2的值 20已知:关于 x 的一元二次方程 x2(3m+1)x+2m2+m0 (1)求证:无论 m 取何值,这个方程总有实数

7、根; (2)若ABC 的两边的长是这个方程的两个实数根,第三边的长为 3,当ABC 为等腰三角形时,求 m的值及ABC 的周长 21某水果商场经销一种高档水果,原价每千克 50 元,连续两次降价后每千克 32 元,若每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率; (2)若每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施, 若每千克涨价 1 元, 日销售量将减少 20 千克, 现该商场要保证每天盈利 6000 元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元? 22已知:如图,在ABC 中,B90,AB5cm,BC7cm点 P 从点

8、A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 (1)如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发,那么几秒后,PBQ 的面积等于 6cm2? (2)如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发,那么几秒后,PQ 的长度等于 5cm? (3)在(1)中,PQB 的面积能否等于 8cm2?说明理由 参考答案参考答案 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分)分) 1解: (1)ax2+bx+c0 中,a 可能为 0,所以不一定是一元二次方程; (2)x24x8+x2化简后只含有一个未知数,是一元一次方程; (

9、3)1+(x1) (x+1)0 和(4) (k2+1)x2+kx+10 符合定义,是一元二次方程 一元二次方程的个数为 2 个 故选:B 2解:根据题意,知, , 解方程得:m2 故选:B 3解:x28x48, x28x+1648+16, (x4)248+16, a4,b16, a+b20 故选:A 4解:x27x+100, (x2) (x5)0, x20,x50, x12,x25, 等腰三角形的三边是 2,2,5 2+25, 不符合三角形三边关系定理,此时不符合题意; 等腰三角形的三边是 2,5,5,此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长是 2+5+512; 即等腰三角形的周长是 12 故

10、选:A 5解:法 1:方程 x210 x+240, 分解得: (x4) (x6)0, 可得 x40 或 x60, 解得:x4 或 x6, 菱形两对角线长为 4 和 6, 则这个菱形的面积为4612; 法 2:设 a,b 是方程 x210 x+240 的两根, ab24, 则这个菱形的面积为ab12 故选:C 6解: 为 2x25x10 的实数根, 22510,即 225+1, 22+3+55+1+3+55(+)+3+1, 、 为方程 2x25x10 的两个实数根, +, 22+3+55+3()+112 故选:B 7解:一元二次方程 a(x+m)2+n0(a0)的两根分别为3,1, 方程 a(x

11、+m2)2+n0(a0)中 x23 或 x21, 解得:x1 或 3, 即方程 a(x+m2)2+n0(a0)的两根分别为1 和 3, 故选:B 8解:设平均每次下调的百分率为 x,由题意,得 6000(1x)24860, 解得:x10.1,x21.9(舍去) 答:平均每次下调的百分率为 10% 故选:C 二填空题(共二填空题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分)分) 9解:把 x1 代入方程 x2+5x+k0 得 1+5+k0, 解得 k6 故答案为6 10解:m、n 是方程 x2+2x10 的两根, m+n2,mn1,m2+2m10,n2+2n10, (m2+3m+3) (n2+3n+

12、3) (m2+2m1+m+4) (n2+2n1+n+4) (m+4) (n+4) mn+4(m+n)+16 1+4(2)+16 7, 故答案为:7 11解:a、b 是方程 2x2+5x+10 的两实数根, a+b,ab, a0,b0, + 故答案为: 12解:把 a 和a 分别代入一元二次方程 x23x+m0 和一元二次方程 x2+3xm0,得到两个新的方程a23a+m0和 a23am0,把相加得到 2a26a0,所以 a3 或 a0 13解:由题意得, (x+1)2(x+1) (x2)6, 整理得,3x+36, 解得,x1, 故答案为:1 14解:设人行通道的宽度为 x, 将脸矩形绿地平移,

13、如图所示, AB2x,GD3x,ED242x 由题意可列出方程:36246002x36+3x(242x) 解得:x2 或 x22(不合题意,舍去) 故答案为:2 15解:降价 1 元,可多售出 2 件,降价 x 元,可多售出 2x 件,盈利的钱数50 x, 由题意得: (50 x) (30+2x)2100, 化简得:x235x+3000, 解得:x115,x220, 该商场为了尽快减少库存, 降的越多,越吸引顾客, 选 x20, 故答案为:20 16解:设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,依题意得: 1+x+x(1+x)144, 整理得:x2+2x1430, 解得:x111,x213(不合

14、题意,舍去) 144+111441728(人) 答:经过三轮传染后,一共有 1728 人感染德尔塔病毒 故答案为:1728 三解答题(共三解答题(共 6 小题,满分小题,满分 40 分)分) 17解: (1)x22x80, (x+2) (x4)0, 则 x+20 或 x40, 解得 x12,x24; (2)x(x1)+2(x1)0, (x1) (x+2)0, 则 x10 或 x+20, 解得 x11,x22 18解: (1)根据题意得(2m+1)24(m22)0, 解得 m, 所以 m 的最小整数值为2; (2)根据题意得 x1+x2(2m+1) ,x1x2m22, (x1x2)2+m221,

15、 (x1+x2)24x1x2+m221, (2m+1)24(m22)+m221, 整理得 m2+4m120,解得 m12,m26, m, m 的值为 2 19解: (1)设 yx2+x,则 y25y+40, 整理,得 (y1) (y4)0, 解得 y11,y24, 当 x2+x1 即 x2+x10 时,解得:x; 当当 x2+x4 即 x2+x40 时,解得:x; 综上所述,原方程的解为 x1,2,x3,4; (2)设 xa2+b2,则 x23x100, 整理,得 (x5) (x+2)0, 解得 x15,x22(舍去) , 故 a2+b25 20 (1)证明:a1,b(3m+1) ,c2m2+

16、m, (3m+1)24(2m2+m)m2+2m+1(m+1)20, 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (2)解:设方程的两根为 x1,x2 当 3 为底边时,则两腰的长是方程的两根, (m+1)20, m1, x1+x23m+13(1)+120, 此种情况不合题意,舍去; 当 3 为腰时,把 x3 代入方程 x2(3m+1)x+2m2+m0 得:93(3m+1)+2m2+m0, 解得 m11,m23 当 m1 时,x1+x23m+14,ABC 的周长为 7; 当 m3 时,x1+x23m+110,此时腰长为 3,底为 7, 3+37, 此种情况不合题意,舍去 综上所述:m 的值为 1,A

17、BC 的周长为 7 21解: (1)设每次下降的百分率为 a,根据题意,得: 50(1a)232, 解得:a1.8(舍)或 a0.2, 答:每次下降的百分率为 20%; (2)设每千克应涨价 x 元,由题意,得 (10+x) (50020 x)6000, 整理,得 x215x+500, 解得:x15,x210, 因为要尽快减少库存,所以 x5 符合题意 答:该商场要保证每天盈利 6000 元,那么每千克应涨价 5 元 22解: (1)设 经过 x 秒以后PBQ 面积为 6 (5x)2x6 整理得:x25x+60 解得:x2 或 x3 答:2 或 3 秒后PBQ 的面积等于 6cm2 (2)当 PQ5 时,在 RtPBQ 中,BP2+BQ2PQ2, (5t)2+(2t)252, 5t210t0, t(5t10)0, t10(舍弃) ,t22, 当 t2 时,PQ 的长度等于 5cm (3)设经过 x 秒以后PBQ 面积为 8, (5x)2x8 整理得:x25x+80 253270 PQB 的面积不能等于 8cm2

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