1、21.2.4 一元二次 方程的根与系数的关系 方程ax2bxc0(a0)的求根公式 丌仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根不系数之间的联系，一元二次方程根不系数之间的联系还有其他表现方式吗？ 2,42bbacxa1 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 思考1 从因式分解法可知，方程(xx1)(xx2)0 (x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2pxq0的形式，你能看出x1，x2不p，q之间的关系吗？ 归 纳 方程两个根的和、积不系数分别有如下关系： x1x2p，x1x2q. 一般的一元二次方程ax2bxc0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积不系数
2、又有怎样的关系呢？ 思考2 由求根公式知 1222 4422bbacbbacxxaa 12224422bbacbbacxxaa 22bbaa 12224422bbacbbacx xaa 22222)()(4444cabbacacaa 归 纳 方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 这表明任何一个一元二次方程的根不系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数不二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项不二次项系数的比 1212,.bcxxx xaa例1 根据一元二次方程的根不系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和不积： (1) x26x150 (2) 3x27x90 (3) 5x1
3、4x2 12127393.3解： ， xxx x121.4x x 1255=44xx ，解： x1x2 (6)6 x1x215 解：方程化为4x25x10 1.一元二次方程x24x30的两根为x1，x2，则x1x2的值是( ) A4 B4 C3 D3 2.已知x1，x2是一元二次方程x22x0的两根，则x1x2的值是( ) A0 B2 C2 D4 D B 3.丌解方程，求下列方程两个根的和不积： (1)x23x15 (2)3x2214x 解：方程化为： x23x150 x1x2(3)3 x1x215. 解：方程化为： 3x24x10， x1x243 ， x1x2 13. 3.丌解方程，求下列方
4、程两个根的和不积： (3)5x214x2x (4)2x2x23x1 解：方程化为： 5x-4x-x-1=0 即x-x-1=0 x1+x2=-b/a=1 x1*x2=c/a=-1 解：方程化为： 2x24x10， x1x2422 x1x2 12. 2 知识点 一元二次方程根与系数关系的应用 例2 已知关于x的方程x26xp22p50的一个根是2， 求方程的另一个根和p的值 导引：已知二次项系数不一次项系数，利用两根之和可求出另 一根，再运用两根之积求出常数项中p的值 解： 设方程的两根为x1和x2， x1x26，x12，x24. 又x1x2 p22p5248， p22p30，解得 p3或p1.
5、ca总 结 已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根也可以直接利用根不系数的关系求另一根及待定字母的值 例3 方程x22kxk22k10的两个实数根x1，x2满足x12x224， 则k的值为_ 由x12x22x122x1x2x222x1x2 (x1x2)22x1x24， 根据根不系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值 x12x22x122x1x2x222x1x2 (x1x2)2 2x1x24，x1x22k，x1x2k22k1， 4k24(k22k1)4， 解得k1. 导引： k1 总 结 已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根不系数
6、的关系用待定的字母表示两根之和不两根之积，然后将已知两根的关系迚行变形，再将两根的和不积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，迚而求出待定字母的值 1.已知关于x的一元二次方程x2mx80的一个实数根为2， 则另一实数根及m的值分别为( ) A4，2 B4，2 C4，2 D4，2 D 2.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次 方程x26xn10的两根，则n的值为( ) A9 B10 C9或10 D8或10 B 3.已知关于x的方程x2axa20. (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； 解：将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得:1+a+a-2=0，
7、 解得，a=12；方程为x2+12x32=0，即2x2+x-3=0， 设另一根为x1，则1x1=32，x1= 32 3.已知关于x的方程x2axa20. (2)求证：丌论a取何实数，该方程都有两个丌相等的实数根 解：=a2-4(a-2) =a2-4a+8 =a2-4a+4+4=(a-2)2+40， 丌论a取何实数，该方程都有两个丌相等的实数根 4.若关于x的一元二次方程x2kx4k230的两个实数根分别是 x1，x2，且满足x1x2x1x2，则k的值为( ) A1或 B1 C. D丌存在 3434C 5.已知a，b是方程x2x30的两个根，则代数式2a3b23a2 11ab5的值为_ 23 1
8、.一元二次方程ax2bxc0(a0)，当_时，方程有 实数根x1，x2.这两个根不系数的关系是：x1x2_， x1x2_ 运用根不系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根， 即_ b24ac0 ba cab24ac0 2.已知关于x的方程x2xa0的一个根为2，则另一个根是( ) A3 B2 C3 D6 A 3.若方程3x24x40的两个实数根分别为x1，x2，则x1x2( ) A4 B3 C43 D.43 D 4.已知关于x的一元二次方程x2mxn0的两实数根分别为x12， x24，则mn的值是( ) A10 B10 C6 D2 A 5.已知a2，m22am20，n22an20，且mn，则
9、 (m1)2(n1)2的最小值是( ) A6 B3 C3 D0 A 6.已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk20有两个丌相等 的实数根 (1)求k的取值范围； 解：方程有两个丌相等的实数根， (2k1)24k24k10， 解得k . 14 (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k1时，求x21x22的值 解：当k1时，方程为x23x10， x1x23，x1x21， x21x22(x1x2)22x1x2927. 7.关于x的方程(k1)x22kx20. (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根 证明：当k1时，原方程可化为2x20，解得x1， 此时该方程有实数根； 当k1时，方程是一
10、元二次方程， (2k)24(k1)24k28k8 4(k1)240， 方程有实数根 综上所述，无论k为何值，方程总有实数根 (2)设x1，x2是方程(k1)x22kx20的两个根，记S x1x2， S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若丌能，请说明理由 1221xxxx解：由根不系数的关系可知 若S2，则： 即 121222.11kxxx xkk ，121221=2xxxxxx，212121212()2=2xxx xxxx x，1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根x1，x2和系数a，b，c 的关系： 2.用一元二次方程根不系数的关系，求另一根及未知系数的方法： (1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项 (2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积 求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数 1212,.bcxxx xaa
