1、*2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 1掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2会利用根与系数的关系解决有关的问题(难点) 一、情景导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什 么联系？ (1)x22x0； (2)x23x40； (3)x25x60. 方程 x1 x2 x1x2 x1 x2 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系，求方程 3x26x10 的两根之和、两根之积 解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得 解：这里 a3，b6，c1. b24ac6243(1)36124
2、80， 方程有两个实数根 设方程的两个实数根是 x1，x2， 那么 x1x22，x1 x21 3. 方法总结：如果方程 ax2bxc0(a0)有两个实数根 x1，x2，那么 x1x2b a，x1x2 c a. 探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值 设 x1，x2是方程 2x24x30 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x12)(x22)； (2)x2 x1 x1 x2. 解析：先确定 a，b，c 的值，再求出 x1x2与 x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把 x1 x2与 x1x2的值整体代入求解即可 解：根据根与
3、系数的关系，得 x1x22，x1x23 2. (1)(x12)(x22)x1x22(x1x2)43 22(2)4 3 2； (2)x2 x1 x1 x2 x22x12 x1x2 （x1x2） 22x 1x2 x1x2 （2）22（3 2） 3 2 14 3 . 方法总结：先确定 a，b，c 的值，再求出 x1x2与 x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形， 把 x1x2与 x1x2的值整体代入求解即可 【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根 已知方程 5x2kx60 的一个根为 2，求它的另一个根及 k 的值 解析：由方程 5x2kx60 可知二次项系数和常数项，所以可根
4、据两根之积求出方程另一个 根，然后根据两根之和求出 k 的值 解：设方程的另一个根是 x1，则 2x16 5， x13 5.又x12 k 5， 3 52 k 5，k7. 方法总结：对于一元二次方程 ax2bxc0(a0，b24ac0)，当已知二次项系数和常数项 时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和 【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用 已知 、 是关于 x 的一元二次方程 x2(2m3)xm20 的两个不相等的实数根，且满 足1 1 1，求 m 的值 解析：利用韦达定理表示出 ，再由1 1 1 建立方程，求解 m 的值 解：、 是方程的两个不相等
5、的实数根， (2m3)，m2. 又1 1 （2m3） m2 1， 化简整理，得 m22m30. 解得 m3 或 m1. 当 m1 时，方程为 x2x10， 此时 1240，方程无解， m1 应舍去 当 m3 时，方程为 x29x90， 此时 92490， 方程有两个不相等的实数根 综上所述，m3. 易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母 m 的值，但一定要代入判别式验算，字母 m 的取值 必须使判别式大于 0，这一点很容易被忽略 三、板书设计 一元二次 方程的根 与系数的 关系 关系：如果方程ax2bxc0（a0） 有两个实数根x1，x2，那么x1x2 b a，x1x2 c a 应用 利用根与系数的关系求代数式的值 已知方程一根，利用根与系数的关 系求方程的另一根 判别式及根与系数的关系的综合应用 让学生经历探索， 尝试发现韦达定理， 感受不完全的归纳验证以及演绎证明 通过观察、 实践、 讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考 的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索 的精神通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.
