1、【复习课程】有理数 初一 数学 有理数 有理数的大小比较 绝对值 相反数 在数轴上比较数的大小 数轴 有理数章节知识结构 有理数 1. 定义定义：整数整数和和分数分数统称有理数统称有理数 (1) 一个有理数不是一个有理数不是整数整数就是就是分数分数 (2) 如果一个数既不是整数也不是分数，那么它一定如果一个数既不是整数也不是分数，那么它一定不是不是有理数有理数 2. 整数和分数整数和分数：正整数、：正整数、0、负整数统称整数正分数、负整数统称整数正分数、 负分数统称分数负分数统称分数 有理数 在在3.5， ，0， ，0.161 616中中，有理数共有，有理数共有( ) A5个个 B4个个 C3
2、个个 D2个个 导引：导引：判断有理数判断有理数要紧扣其定义，也就是看这个数要紧扣其定义，也就是看这个数是否是否是整数或是整数或分数分数. 2372 B 有理数有两种常用的分类方式有理数有两种常用的分类方式 (1)按按定义定义分类分类： 0 正正整整数数整整数数负负整整数数有有理理数数正正分分数数分分数数负负分分数数0 正正整整数数正正有有理理数数正正分分数数有有理理数数负负整整数数负负有有理理数数负负分分数数(2)按按性质性质分类：分类： 有理数 要点精析：要点精析： (1)在对有理数进行分类时，要严格按照同一分类标准，在对有理数进行分类时，要严格按照同一分类标准，做到做到 不重复不遗漏；不
3、重复不遗漏； (2)非负整数包括正整数和非负整数包括正整数和0，非正整数包括负整数和，非正整数包括负整数和0; (3)正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数在正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数在现阶段现阶段，正有理数就是，正有理数就是正数正数. 有理数 定义定义：把满足一定条件的：把满足一定条件的所有数所有数放在一起，就组成放在一起，就组成一类数一类数的集合的集合 (1) (1) 一类数的集合必须是符合条件的一类数的集合必须是符合条件的所有数所有数，不能遗漏不能遗漏 (2) (2) 若一类数的集合有无数个数，则表示这个数的若一类数的集合有无数个数，则表示这个数的集合时集合时，除写上
4、题，除写上题中中 给定给定的有限个数之外，必须加上的有限个数之外，必须加上省略号省略号 有理数 将将下列各数填入下图所示的相应的圈内下列各数填入下图所示的相应的圈内 332 ， ，31.43，- -1，0，2， 正数集合正数集合 整数集合整数集合 负数集合负数集合 导引：导引：圈中的公共部分的意义：各个集合的公共部分；题中圈中的公共部分的意义：各个集合的公共部分；题中2是是正数，也是整数；正数，也是整数；3，1既是整数，又是负数既是整数，又是负数. 3 3,2 420,3,11,3有理数 数轴 1.定义定义：规定了：规定了原点原点、正方向正方向和和单位长度单位长度的直线叫做数轴的直线叫做数轴
5、(1) 数轴是一条直线，可以向数轴是一条直线，可以向两端两端无限延伸无限延伸 (2) 三要素：三要素：原点、正方向、单位长度，原点、正方向、单位长度，三者缺一不可三者缺一不可 (3) 原点的选定、正方向的选取、单位长度的确定都是根原点的选定、正方向的选取、单位长度的确定都是根 据实际需要“规定”的，通常规定向右为正在解决据实际需要“规定”的，通常规定向右为正在解决 具体问题时，可灵活选取原点的位置和单位长度的大具体问题时，可灵活选取原点的位置和单位长度的大 小，一经选定就不能随意改动小，一经选定就不能随意改动 数轴 2.数轴的画法数轴的画法： 一画：画一条直线一画：画一条直线(一般是一般是水平
6、直线水平直线)； 二取：选取原点，并用这点表示数字二取：选取原点，并用这点表示数字0； 三定：确定正方向，用箭头表示三定：确定正方向，用箭头表示(一般规定向右为正一般规定向右为正)； 四统一：单位长度应统一；四统一：单位长度应统一； 五标数：在原点左右两边五标数：在原点左右两边依次依次标上对应的刻度数标上对应的刻度数 3.易错警示易错警示：在画数轴时常出现以下几种错误：在画数轴时常出现以下几种错误： (1) 没有正方向；没有正方向；(2)没有原点；没有原点； (3)单位长度不统一；单位长度不统一；(4)标数时顺序不对标数时顺序不对 数轴 下下图中，是数轴的是图中，是数轴的是( ) D （来自（
7、来自点拨点拨） 分析：分析： A中没有正方向，中没有正方向，B中原点左侧标数顺序错误，中原点左侧标数顺序错误，C 中单位长度不统一中单位长度不统一 数轴 数轴上的点与有理数的对应关系数轴上的点与有理数的对应关系 1.数轴的两个最基本的应用：数轴的两个最基本的应用： 一是一是知点读数，知点读数，二是二是知数画点，即知数画点，即： 它它是最直观的数形结合体是最直观的数形结合体 2.数轴上的点与有理数间的关系数轴上的点与有理数间的关系：数轴上的每一个点：数轴上的每一个点都表示都表示一个数，所有的一个数，所有的有理数都可以用数轴上的点来有理数都可以用数轴上的点来表示表示，但数轴上还有一部分点表示的不是
8、有，但数轴上还有一部分点表示的不是有理数，理数，它们之间它们之间不是一一对应的关系，比如不是一一对应的关系，比如这样的数也能这样的数也能在数轴在数轴上表示上表示 知知数数画画点点知知点点读读数数数数点点 形形 ，在在数轴上求两个点之间的距离数轴上求两个点之间的距离，只需要数一数，只需要数一数两个两个点之间相隔多少个点之间相隔多少个单单位长度位长度即可注意：距离即可注意：距离不可能不可能是负数是负数 1. 法则法则：在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的：在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大数大 2. 利用数轴比较大小关键有两步利用数轴比较大小关键有两步： 一一是是在数轴上标点；在数轴上标
9、点； 二是二是观察表示数的点在数轴上的位置观察表示数的点在数轴上的位置 在数轴上比较数的大小 相反数 1. 代数意义代数意义：只有：只有符号符号不同的两个数叫做互为相反数不同的两个数叫做互为相反数 特殊规定：特殊规定：0的相反数是的相反数是0. 2. 相反数的求法相反数的求法： (1)在一个省略正号的正数的前面添加负号，即在一个省略正号的正数的前面添加负号，即可得到可得到这个数的相反数这个数的相反数； (2)直接去掉负数的负号即可直接去掉负数的负号即可得到得到它的相反数，它的相反数，0的相反数是的相反数是0，任何有理，任何有理数有且数有且只有一只有一个相反数个相反数 几何意义几何意义：数轴上原
10、点两旁且到原点距离相等的两个点：数轴上原点两旁且到原点距离相等的两个点 所表示的数所表示的数互为相反数互为相反数 相反数 下列说法正确的是下列说法正确的是( ( ) ) A A2 2是相反数；是相反数； B B与与2 2互为相反互为相反数；数； C C3 3与与2 2互为相反互为相反数数 D D与与0.50.5互为相反互为相反数数 解析：解析：判断两个数是否互为相反数，按其定义从两个方面去看：符号判断两个数是否互为相反数，按其定义从两个方面去看：符号( (、) )和所含数字和所含数字( (相同相同) ) 相反数 化简一个带有多重符号的数，与它前面的“”化简一个带有多重符号的数，与它前面的“”
11、号号个数无关，与个数无关，与“”号个数有关，当“”号的“”号个数有关，当“”号的个数个数为奇数时，这个数为负，当为奇数时，这个数为负，当“”号的个数为“”号的个数为偶数时偶数时，这个数为正；即我们可以按照“奇负偶正”，这个数为正；即我们可以按照“奇负偶正”的的原则原则直接写出结果直接写出结果 绝对值 1. 一般地，数轴上表示数一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数的点与原点的距离叫做数a的的绝对值绝对值(absolute value)，记作，记作|a | .例如例如，10和和 10,它们与原点的距离都是它们与原点的距离都是10 个单位长度，个单位长度，所以所以10和和10的绝对值都是的绝
12、对值都是10，即，即|10| = 10，| 10 | = 10.显然显然|0|=0. 2.几何定义几何定义：一般地，数轴上表示数：一般地，数轴上表示数a的点与的点与原点原点的的距离距离叫做数叫做数a的绝对值的绝对值， 记记作作 3.代数定义代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的负数的绝对值是它的相反数绝对值是它的相反数； 0的绝对值是的绝对值是0；任意一；任意一个数个数的绝对值为唯一非负数的绝对值为唯一非负数用用式子式子表表 示示为：为： .a0000 .a aaaaa （ ）；（ ）；（ ）绝对值 写出写出下列各数的下列各数的绝对值：绝对值： ，0，
13、， ，4.5，5. 32132154求求一个数的绝对值的方法一个数的绝对值的方法：去掉绝对值符号时，：去掉绝对值符号时，必须必须按照“按照“先判后去先判后去”的原则，先判断这个数是正数、的原则，先判断这个数是正数、0或负数或负数，再根据绝对值的意义去掉绝对，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，总之值符号，总之要要确保确保其结果为非负数其结果为非负数且只有一个且只有一个 绝对值 1. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它是它的相反数；的相反数；0的绝的绝对值是对值是0.即即 （1）如果）如果a0，那么，那么 （3）如果）如果a0，那么，那么 2.
14、非负性非负性：任何有理数的绝对值都是：任何有理数的绝对值都是非负数非负数，即，即 =aa；=0a；=.aa0.a （2）如果）如果a=0，那么，那么 绝对值的性质绝对值的性质 若几个非负数的和为若几个非负数的和为0，则这几个数都为，则这几个数都为0. 有理数的大小比较 两个有理数比较大小的“三种情况”两个有理数比较大小的“三种情况”： (1)两数同号两数同号： (2)两数异号两数异号：正数大于负数：正数大于负数 (3)一数与一数与0 . 同同正正：绝绝对对值值大大的的大大，同同负负：绝绝对对值值大大的的反反而而小小0000. 正正数数与与 ：正正数数大大于于 ，负负数数与与 ：负负数数小小于于
15、将将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接号连接起来：起来： 2010.5312.22 ， ， ， ， 分析：分析：先把这些数准确地表示在同一条数轴上，按右边的先把这些数准确地表示在同一条数轴上，按右边的 点表示的数大于左边的点表示的数，将各数按从小点表示的数大于左边的点表示的数，将各数按从小 到大的顺序排列到大的顺序排列 解：解：将这些数在数轴上表示出来，如图所示将这些数在数轴上表示出来，如图所示 3120.50 12.22所所以以 已知已知 ，求，求a、b的值的值. 21 =0 ab已知已知 ，求，求a、b的值的值. |2|1|2| 0 因因为为和和 都都是是非非负负数数，所所以以，导导引引：aba|1| 0|2|1|0 2 0 ，又又 ，所所以以 ，baba1 0.b21 =0 ab201 0 解解根根据据题题意意可可知知： ， ，：ab2 1.所所以以： ， ab
