1、【复习课程】一元二次方程 初三 数学 一元二次方程章节知识结构一元二次方程章节知识结构 一元二次方程的概念 开平方法 配方法 公式法 因式分解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应用 一元二次方程的解法 一元二次方程的概念 定义：定义：等号等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数未知数的最高次数是的最高次数是2次的次的方程，叫做一元二次方程方程，叫做一元二次方程 要点精析：要点精析： (1)理解定义，要掌握三个关键点：方程是整式方程；理解定义，要掌握三个关键点：方程是整式方程；“一“一 元”元”是指方程中只含是指方程
2、中只含有一个未知数；“二次”是指该有一个未知数；“二次”是指该未知数未知数的最高次数是的最高次数是2. (2)一元二次方程的识别方法一元二次方程的识别方法：整理：整理前：整式方程，只含一个未知数前：整式方程，只含一个未知数； 整理整理后：未知数的最高次数是后：未知数的最高次数是2. 一般地一般地，任何一个关于，任何一个关于x的一元二次方程，的一元二次方程，经过整理经过整理，都能化成如下，都能化成如下形式：形式：ax2bxc0(a0)这种这种形式叫做形式叫做一元二次方程的一元二次方程的一般形式一般形式，其中其中ax2叫做二叫做二次项，次项，a是二次项的系数；是二次项的系数；bx叫做一次项，叫做一
3、次项，b是是一一次项次项的系数；的系数；c叫做常数项叫做常数项 要特别注意二次项系数要特别注意二次项系数a0这一条件，当这一条件，当a=0时，方程就时，方程就不是不是一元二次方程一元二次方程了了.当当b=0或或c=0时，方程在时，方程在a0的条件下的条件下，仍是，仍是一元二次方程，只不过是不一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程完全的一元二次方程. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 能能使一元二次方程左右两边相等的使一元二次方程左右两边相等的未知数未知数的的值叫做一元二次方程的解值叫做一元二次方程的解(根根) 要点要点精精析：析： (1)判定某个数是方程的根的必要条件：使方程判
4、定某个数是方程的根的必要条件：使方程左右两边左右两边相等相等 (2)根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否是否正确正确 (3)一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是都是方程的根方程的根 方程方程的根就是满足方程左右两边相等的的根就是满足方程左右两边相等的未知数的未知数的值，因此求含有字母系数值，因此求含有字母系数的一元二次方程中的的一元二次方程中的字母字母的值时，只需把已知方程的根代入原方程就可求的值时，只需把已知方程的根代入原方程就可求 出相关的待定字母的值出相关的待定字母的值 一元二次方程的解一元二
5、次方程的解(根根) 形如形如x=p( (p0)0)型方程的解法、型方程的解法、 (1) 当当p0时，根据平方根的意义，方程时，根据平方根的意义，方程() 有两个不等的实数根有两个不等的实数根x1 ，x2 ； (2) 当当p0时，方程时，方程()有两个相等的实数根有两个相等的实数根 x1x20； (3) 当当p0时，根据平方根的意义，方程时，根据平方根的意义，方程() 有两个不等的实数根有两个不等的实数根x1 ，x2- -； (2) 当当p0时，方程时，方程()有两个相等的实数根有两个相等的实数根 x1x2-； (3) 当当p0时，因为对任意实数时，因为对任意实数x，都有，都有x20，所以方程所
6、以方程()无实数根无实数根 开平方法 一元二次方程的解法 配方法 一元二次方程的解法 配方法解一元二次方程的一般步骤配方法解一元二次方程的一般步骤: : (1)移项(把常数项移到方程右边); (2)二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数); (3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方); (4)开平方; (5)解出方程的根. 配方是为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 公式法 一元二次方程的解法 解一元二次方程时,先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac0时,将a,b,c代入式子x= 242就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根
7、公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. (1)一元二次方程的根由系数a,b,c共同决定; (2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定a,b,c的值. 因式分解法 一元二次方程的解法 一元二次方程先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法解一元二次方程的步骤: : (1)将方程的右边化为0; (2)将方程的左边进行因式分解; (3)令每一个因式为0,转化为两个一元一次方程; (4)解一元一次方程,得原方程的解. 一元二次方程根的判别式
8、方程方程ax2+bx+c=0,(a0) 的的根的情况由根的情况由b2- -4ac决定决定：把：把b2- -4ac叫做一元二次叫做一元二次方程方程ax2+bx+c=0,(a0)的的根的根的判别式，根的判别式通常用希腊字母判别式，根的判别式通常用希腊字母表示，表示，即即 = b2- -4ac. 要点精析：要点精析： (1)根的判别式是在用配方法解一元二次方程的一般形式时，因为根的判别式是在用配方法解一元二次方程的一般形式时，因为b24ac的值决定了一元二次方程根的情况，所以将的值决定了一元二次方程根的情况，所以将b24ac命名为根的判别式命名为根的判别式 (2)计算根的判别式时，先将方程化成一般形
9、式，确定计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a，b，c后再计算后再计算 一元二次方程的根的个数的判断方法：一元二次方程的根的个数的判断方法： (1)当当0时，方程时，方程ax2bxc0(a0)有两个不有两个不相等的相等的实数根；实数根； (2)当当0时，方程时，方程ax2bxc0(a0)有两个有两个相等的实数相等的实数根；根； (3)当当0时，方程时，方程ax2bxc0(a0)无实数根无实数根 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 一元二次方程的根与系数之间的关系(韦达定理): 一元二次方程
10、一元二次方程axax2 2+ +bxbx+ +c=c=0(0(a a0)0)的两根为的两根为x x1 1, , , 则则x x1 1+ +x x2 2= =- -, ,x x1 1x x2 2= =. . 1.根与系数之间的关系在方程ax2+bx+c=0(a0)有根的前提下(b2-4ac0)才能够成立,运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负. 2.利用根与系数之间的关系可以不解方程而求出与根有关的代数式的值.比如12+ 22=(x1+x2)2-2x1x2,11+12=1+212,(x1+a)(x2+a)= x1x2+a(x1+x2)+a2等. 一元二次方程的应用 列一元二次方程
11、解实际问题的一般步骤：列一元二次方程解实际问题的一般步骤： (1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知要求，弄清已知 数数、未知数以及它们之间的关系、未知数以及它们之间的关系 (2)设未知数：一种方法是直接设法，另一种方法设未知数：一种方法是直接设法，另一种方法是间接是间接设法设法 (3)列代数式：用含有未知数列代数式：用含有未知数x的代数式表示出相关的未知量的代数式表示出相关的未知量 一元二次方程的应用 列一元二次方程解实际问题的一般步骤列一元二次方程解实际问题的一般步骤： (4)列方程：根据题目中已知量和未知量的关系列方程：根据题目中已
12、知量和未知量的关系列出方程列出方程 (5)解方程：利用配方法、公式法、因式分解法等解方程：利用配方法、公式法、因式分解法等求出求出未知量的值未知量的值 (6)检验：首先检验未知数的值是否满足所列的方程检验：首先检验未知数的值是否满足所列的方程， 其次检验它在实际问题中是否有意义其次检验它在实际问题中是否有意义 (7)写出答案：根据题意选择合理的答案写出答案：根据题意选择合理的答案 1. 增长率增长率问题问题 如果如果增长率中的基数为增长率中的基数为a，平均增长率为，平均增长率为x，则，则第一次第一次增长后的数量增长后的数量为为 a(1x)，第二次增长后的，第二次增长后的数量数量为为a(1x)2
13、，第，第n次增长后的数量为次增长后的数量为a(1x)n. 2. 传染传染问题问题 解决解决本类题目关键扣住两点：一是传染源，二本类题目关键扣住两点：一是传染源，二是传染是传染的速度若开始的速度若开始时传染源是时传染源是1，传染的速度，传染的速度是是 x，则，则一轮传染后是一轮传染后是1x ; 二轮传染时，传二轮传染时，传染源染源为为 1x，传染的速度还是，传染的速度还是x，则二轮传染后是，则二轮传染后是(1x)2. 用配方法证明：-4x2+8x-6的值恒小于0，并求它的最大值，由此你能否写出三个恒大于0的二次三项式？ 证明：证明：-4x2+8x-6=-4（x2-2x）-6=-4（x2-2x+1）+4-6， -4x2+8x-6=-4（x-1）2-2， 又-4（x-1）20，-20， -4（x-1）2-20， -4x2+8x-6的值恒小于0， x=1时，最大值为-2 恒大于0的二次三项式有：x2+10 x+43，3x2+6x+8，5x2-20 x+31 解方程：x2 x 12=0. 解： x2 x 12=0 (x3)(x4)0 x13，x24 解析： 通过观察方程特征，解该方程可以选择因式分解法，把该方程变 形为两个因式乘积的形式，从而求出方程的解.
