1、nnnnn nnnnn1212121212coscos, 面面面面角角： u nu nu nununsincos, 线线面面角角： u vu vu vuvuvcoscos, 线线线线角角： 复习回顾 (0,2 0,2 0,2 思考：二面角与平面的夹角范围一样吗？ 直接引入 前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题. 下面先看一道生活中的实际问题，思考如何转化为数学问题来进行解决. 例9 下图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同求降
2、落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N) 思考下列问题： 1.降落伞匀速下落，下落过程中，8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系？ 2.每根绳子的拉力和合力有什么关系？ 3.如何用向量方法解决这个问题？ 典例分析 8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量 nFnF32F nnFn FFnF n,.3,30 ,.2 解解： 如如图图 设设水水平平面面的的单单位位法法向向量量为为其其中中每每一一根根绳绳子子的的拉拉力力均均为为因因为为所所以以 在在 上上的的投投影影向向量量为为3884 32FF
3、nF n合合所所以以 根根绳绳子子拉拉力力的的合合力力,=1 9.89.8(N).FG 合合礼礼物物又又因因为为降降落落伞伞匀匀速速下下落落所所以以F nF4 3 |9.8,9.81.41(N).4 3 所所以以所所以以A B C D E F G P z x y PABCDABCDPDABCD PDDC EPCEFPBPCPAFPBEFDCPBPBDEDB/;(2),.(1);(3)10. 如如图图 在在四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形 侧侧棱棱底底面面是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证：平平面面求求平平面面求求平平面面与与平平面面的的证证：夹夹角角的的大大小小例例分析： 本
4、题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题 典例分析 DDA DC DPxyzDC,1. 解解： 以以 为为原原点点所所在在直直线线分分别别为为 轴轴、 轴轴、 轴轴建建立立如如图图所所示示的的空空间间直直角角坐坐标标系系 设设ACBDGEGAPE(1),.1 1(1,0,0),(0,0,1),0,.2 2证证明明：连连接接交交于于点点连连接接依依题题意意得得PAEGPAABCDGGEGPAEG11(1,
5、0, 1),0,2,1 1,02 222,/. 且且所所因因为为底底面面是是正正方方形形 所所以以点点即即是是它它的的中中心心，以以,/.EGEDBPAEDBPAEDB而而平平面面且且平平面面因因此此平平面面A B C D E F G P z x y A B C D E F G P z x y (2);PBEFD 平平面面求求证证：BPB(1,1,0),(1,1, 1)解解：依依题题意意得得,.EFPBEFDEEPBEFD 由由已已知知且且所所以以平平面面DEPB DEPBDE1 10,2 21100.22 又又故故， 所所以以(3)CPBPBD与与平平面面的的夹夹角角求求平平面面的的大大小小
6、. .PBEFPBDFEFDCPBPBD ,(2),.解解：已已知知由由可可知知故故是是平平面面与与平平面面的的夹夹角角,( , ,1)(1,1, 1)( , ,),1,PFkPBx y zkk kkxk yk zk 因因为为所所以以即即PB DFk kkkkkkkF0,(1,1, 1) ( , ,1)1310,11 1 2,.33 3 3 设设则则所所以以点点 的的坐坐标标为为Fx y zPFx y z( , , ),( , ,1).设设点点 的的坐坐标标为为则则A B C D E F G P z x y 1 11 110,.2 23 66EFE 又又点点 的的坐坐标标为为所所以以1 111
7、12,13 66333cos.26663FE FDEFDFEFD 所所以以60 ,60 .EFDCPBPBD所所以以即即平平面面与与平平面面的的夹夹角角大大小小为为 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把 运 算 结 果“翻译”成相应的几何意义 1.通过本节的学习，向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？你能用框图表示吗？ 课堂小结 2.解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法你能说出它们各自的特点吗？ 综合法综合法以以逻辑推理逻辑推理作为工具解决问题；作为工具解决问题；向量法向量法利用利用向量的概念及其向量的概念及其运算运算解决问题，如本节的例解决问题，如本节的例7、例、例9；坐标法坐标法利用利用数及其运算数及其运算来解决问题，来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例，如本节的例6，例，例8，例，例10对于具对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法
