第一章空间向量与立体几何 单元提升试卷(含答案解析)2022-2023学年人教A版(2019)选择性必修第一册

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1、第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)1已知空间中四点,则点D到平面ABC的距离为()ABCD02在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为()ABCD3若向量,则向量与的夹角为()A0BCD4若空间两直线与的方向向量分别为和,则两直线与垂直的充要条件为()A,()B存在实数k,使得CD5若构成空间的一个基底,则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是()ABCD6已知且,则x的值为()ABC3D-37如图,四面体中,分别为和的中点,且向量与向量的夹角为,则线段长为()ABC或D3或8四面体中,则()ABCD二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共

2、20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9以下说法正确的有()A对,且,就一定有A,B,C,D四点共面;B设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底;C若,则;D正方体,棱长为1,如图所示建立坐标系,则点在平面上10给出下列命题,其中正确的是()A任意向量,满足B在空间直角坐标系中,点关于坐标平面yOz的对称点是C若是空间的一个基底,则也是空间的一个基底D若为正四面体,G为的重心,则11设,为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有()ABCD12如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60,

3、M为与的交点,若,则下列正确的是()ABC的长为D第卷(非选择题 共90分)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13若空间两个单位向量、与的夹角都等于,则_14已知,则_.15正方形的边长是分别是和的中点,将正方形沿折成直二面角 (如图所示).为矩形内一点,如果和平面所成角的正切值为,那么点到直线的距离为_.16已知空间向量(1,1,0),(1,0,2),则在方向上的投影向量为_四、解答题(本题共6个小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17如图,在直三棱柱中,以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系(1)分别写出向量的坐标;(2)求平面的法向量;(3)求平面与平面夹

4、角的余弦值18如图,在直三棱柱中,点分别在棱和棱上,且(1)设为中点,求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值19如图,三棱锥,平面,且垂足在棱上,;(1)证明为直角三角形;(2)求点到平面的距离;20如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD底面ABCD,PD=AD=2,点E,F,G分别为PA,AB,BC的中点,平面EFGM棱PC=M(1)试确定的值,并证明你的结论;(2)求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值21如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,平面CDP,且(1)求证:平面平面ABCD;(2)若,求直线PB与平面ADP所成角的正弦值22在如图所示的五面体中,面是边长为

5、2的正方形,面,且,为的中点,N为CD中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)求点到平面的距离参考答案1C【解析】【分析】根据题意,求得平面的一个法向量,结合距离公式,即可求解.【详解】由题意,空间中四点,可得,设平面的法向量为,则,令,可得,所以,所以点D到平面ABC的距离为.故选:C.2B【解析】【分析】结合已知条件,利用对称的概念即可求解.【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为,则线段垂直于轴且的中点在轴,从而点关于轴对称的点的坐标为.故选:B.3D【解析】【分析】利用向量数量积的定义,直接计算即可.【详解】设向量与的夹角为,且,所以,所以,故选:D4C【解析】【分析】由空

6、间直线垂直时方向向量,即可确定充要条件.【详解】由空间直线垂直的判定知:.当时,即,两直线与垂直.而A、B、D说明与平行.故选:C5A【解析】【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.【详解】选项A:令,则,A正确;选项B:因为,所以不能构成基底;选项C:因为,所以不能构成基底;选项D:因为,所以不能构成基底故选:A.6B【解析】【分析】转化,由空间向量数量积的坐标表示即得解【详解】由题意,又故解得:故选:B7A【解析】【分析】取AC的中点E,可得,然后利用模长公式即得.【详解】取AC的中点E,连接ME、EN,又,分别为和的中点,MEBC,且,AD,且,向量与向量的夹角为,向量与向量的夹角为,

7、又,即线段长为.故选:A.8C【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得;【详解】解:因为,所以所以,所以,又,所以,所以,因为,所以;故选:C9ACD【解析】【分析】根据向量的基本定理即可判断.【详解】对于A,若 与 不共线,则可以将 与看作一组基底,由向量的基本定理可知 与 ,共面,即A,B,C,D在一个平面内;若 与 共线,则 , ,即A,D,B在同一直线上,故A,B,C,D也在一个平面内;故A正确;对于B, ,即 与 共面,故B错误;对于C,如下图: , ,故C正确;对于D,由图可知, , , , ,显然, , 与 共面,即E在平面 上,故D正确;故选:ACD.10CD【

8、解析】【分析】根据相等向量的概念即可判断选项A;根据空间向量的坐标系中,点关于坐标平面对称点的特征即可判断选项B;根据空间向量的基底的概念即可判断选项C;根据空间向量的线性运算和重心的定义即可判断选项D.【详解】A:因为与是一个标量,设,若要,则需要向量方向相同,但不一定相同,所以不一定成立,故A错误;B:点关于坐标平面的对称点为,故B错误;C:因为是空间的一个基底,所以不共面,假设共面,则存在实数使得,即,所以,方程组无解,所以不共面,所以也是空间的一个基底,故C正确;D:,则,又为的重心,所以,故,故D正确.故选:CD11AD【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可;【

9、详解】解:对于A:,故A正确;对于B:因为向量不能做除法,即无意义,故B错误;对于C:,故C错误;对于D:,故D正确;故选:AD12BD【解析】【分析】AB选项,利用空间向量基本定理进行推导即可;C选项,在B选项的基础上,平方后计算出,从而求出;D选项,利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意,依次分析选项:对于A选项,A错误,对于B选项,B正确:对于C选项,则,则,C错误:对于,则,D正确.故选:BD.13.【解析】【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为是单位向量,所以有,因为与的夹角都等于,所以,所以有,故答案为:14【解析】【分析】利用向量的坐标运算直接求解即可.

10、【详解】,故答案为:15#【解析】【分析】利用空间向量运算处理,根据直线夹角结合可得,再根据线面夹角运算求解【详解】如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系则,设则,则,即平面的一个法向量,则和平面所成角的正切值为,则,则点到直线的距离为故答案为:16【解析】【分析】根据投影向量的定义直接求解.【详解】空间向量(1,1,0),(1,0,2),则, ,所以在上的投影向量为,其坐标为.故答案为:.17(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)分别求出对应点的坐标,利用向量的坐标公式计算即可;(2)利用计算即可得出结果.(3)由(2)计算平面与平面法向量的夹角余弦值即可求得结果.(1),(2)设平面的法向

11、量为,取,则为平面的一个法向量,平面的法向量可写为;(3)由已知可得面,所以面的一个法向量为,平面与平面夹角的余弦值为.18(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取中点,连接、,即可得到且,从而得到,即可得证;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出线面角的正弦值;(1)证明:取中点,连接、,则,且,所以且,所以四边形为平行四边形,所以又平面,平面,所以平面(2)解:因为直三棱柱中,所以、两两垂直分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面法向量为,则,即,令,得到平面的一个法向量设直线与平面所成的角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为19(1)

12、证明见解析;(2);【解析】【分析】(1)建立空间坐标系,利用向量法即可证明PBC为直角三角形;(2)求出平面的法向量,利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值【详解】(1)以点E为坐标原点,以EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图的空间直角坐标系,如图:则,于是,即为直角三角形.(2)由(1)可得,故,设平面PBC的法向量为,则,即,取,则,平面PBC的一个法向量为,设点到平面的距离为d,则,所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查了空间坐标系,利用向量法求证线线垂直,点到平面的距离,属于中档题20(1),证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质,可得PBG

13、M,即可确定的值;(2)建立空间直角坐标系,求出平面EFGM与平面PAD的法向量,再利用向量的数量积可确定夹角的余弦值.(1)在中,因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EFPB又EF平面PBC,PB平面PBC,所以EF平面PBC因为EF平面EFG,平面EFG平面PBC=GM,所以EFGM所以PBGM在PBC中,因为点G为BC的中点,所以点M为PC的中点,即(2)因为底面ABCD为正方形,所以ADCD因为PD底面ABCD,ABCD,平面所以PDAD,PDCD如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),因为E,

14、F,G分别为PA,AB,BC的中点,所以E(1,0,1),F(2,1,0),G(1,2,0)所以设平面EFGM的法向量,则即令x=1,y=1,z=2,于是又因为平面PAD的法向量为,所以所以平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值为21(1)证明过程见解析(2)【解析】【分析】(1)先证明线线垂直,从而证明线面垂直,再证明面面垂直;(2)建立空间直角坐标系,用空间向量求解线面角.(1)因为平面CDP,平面CDP,所以,因为,且,所以,因为,所以,所以,因为,所以平面ABCD,因为平面ABCD,所以平面平面ABCD(2)因为底面ABCD是矩形,所以ADCD,由第一问可知:,平面ABCD,平面ABCD

15、,所以,所以以D为坐标原点,DE,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,因为,所以,设平面ADP的法向量,则 ,解得:,令得:,所以,设直线PB与平面ADP所成角为,则22(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)(2)(3)建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算可得;(1)证明:如图建立空间直角坐标系,则,所以,显然平面的法向量可以为,所以,即,又平面,所以平面;(2)解:因为,设平面的法向量为,则,令,则,所以,显然平面的法向量可以为,设二面角为,由图可知二面角为钝角,则,所以二面角的余弦值为;(3)解:由(2)知平面的法向量为,又,设点到平面的距离为,则所以点到平面的距离;

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