1、20222022 年广东省广州市天河区九年级数学二模试题年广东省广州市天河区九年级数学二模试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分 ）分 ） 1. 广州作为“志愿之城”，截至 2021 年底，全市实名注册志愿者人数达 4261700人，将 4261700 用科学记数法表示应为（ ） A. 4426.17 10 B. 542.617 10 C. 64.2617 10 D. 70.42617 10 2. 某品牌运动鞋经销商到某校初三 （2） 班抽样选取 9 位男生， 分别对他们的鞋码进行了查询， 记录数据是：39，42，41，4
2、2，42，41，43，42，44经销商对这组数据最感兴趣的是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 3. 下列运算正确的是（ ） A 257 B. 15510 xxx C. 222xyxy D. 11xx 4. 在ABC 中，AB=AC，B=70 ，则A=（ ） A. 40 B. 70 C. 50 D. 60 5. 如图是圆锥与圆柱的组合体（它们的底面重合） ，此组合体的主视图（ ） A. 轴对称图形但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形 6. 若点 A(1，a)，B(1，b)
3、，C(2，c)在反比例函数 y=23kx（k 为常数）的图象上，则 a，b，c的大小关系是（ ） A. abc B. bac C. cab D. acb 7. 把半径长为 2.5的球放在长方体纸盒内， 球的一部分露出盒外， 其截面如图所示， 已知4CD， 则EF （ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 8. 如图，RtABC 中，C=90 ，AB=5，tanB=43，若以点 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB刚好相切，则r 等于（ ） A. 3 B. 4 C. 2.4 D. 2.5 9. 已知关于 x的方程20 xbxc的两个根分别是-1和 3， 若抛物线22yxbxc与 y
4、轴交于点 A， 过A 作ABy轴，交抛物线于另一交点 B，则 AB的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 1.5 10. 如图， 在等腰直角三角形 ABC 中， ABC=90 ， AB=6， 线段 PQ 在斜边 AC上运动， 且 PQ=2 连接 BP，BQ则BPQ周长的最小值是（ ） A. 6 22 B. 2 192 C. 8 D. 4 52 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11. 已知50A ，则A的余角等于_ 12 计算：182_ 13. 方程1213xx的解是_ 14. 计算：322tan 60 _
5、15. 如图，正方形 ABCD边长为 3，点 E在边 AB 上，以 E为旋转中心，将 EC逆时针旋转 90 得到 EF，AD与 FE交于 P点若1tan3BCE，则 PF 的值为_ 16. 如图，在矩形 ABCD中，AB=8，BC=6，点 P 是边 AB 上的一个动点，连接 DP，若将DAP 沿 DP 折叠，点 A 落在矩形的对角线上，则 AP 的长为_ 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 ）分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 ） 17. 解不等式组：322124xxx 18. 如图，点 E，F线段 BC上
6、，ABCD，AB=DC，BF=CE求证：AFDE 19. 疫情防控，人人有责，众志成城，共克时艰根据防疫要求，同在一个社区的小明和小刚要进行核酸检测， 他们两人所在社区有 A， B， C三个核酸检测点， 请用列举法求他们两人恰好前往同一个检测点的概率 20. 已知11aAaaa （1）化简 A； （2）如图，在菱形 ABCD中，0ABa a，对角线2BD ，若ABD的周长为2 5，求 A 的值 21. 如图，在 RtABC中，C=90 （1）尺规作图：作A 的角平分线 AP 交 BC 于点 P； （保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，若 AC=5，BC=12，求 CP 的长 2
7、2. 冰墩墩是 2022年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销某超市经销一种冰墩墩的玩偶，每件成本为 60 元经市场调研，当该玩偶每件的销售价为 70 元时，每个月可销售 300件，若每件的销售价增加 1 元，则每个月的销售量将减少 10 件 （1）若该超市某月销售这种造型玩偶 200 件，求这个月每件玩偶的销售价 （2）若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润 4000元，求这个月每件玩偶的销售价 23. 如图，A，B 是双曲线 y=12x(x0)上任意两点，点 P在OAB内，且 PBy轴，PAx，若BOP 的面积为 4 （1）求AOP 的面积； （2）求ABP的面积 24. 已知抛物线
8、 y=ax2+bx+m（a，b，m 为常数，a0，m0）与 x 轴交于点 A(1，0)，B(m，0)，与 y 轴的交点为 C （1）当1a ，3m时， 求该抛物线的对称轴； 点 P为直线1yx 与抛物线对称轴交点，Q是线段 BC 上的一个动点（与点 B，C不重合） ，射线PQ 交抛物线于点 M，在点 Q 运动过程中，QMPQ是否存在最大值？请说明理由 （2）过点 C作直线 l平行于 x轴，E是直线 l上的动点，F是 y轴上的动点，2 2EF ，取 EF的中点 N，当 m 为何值时，BN 的最小值是22？ 25. 如图，已知Q 的半径为 2，在Q的对称轴 l1上取一点 O，使得 OQ=5（点 O
9、 在点 Q的下方） ，过 O作直线 l2l1，P为直线 l2上的一点，过点 P 作Q的切线 PA，PB，切点为 A，B，连接 AB （1）当 OP=OQ 时，求 PA 的长； （2）连接 PQ，当 PQAB最小时，求 PA的长； （3）试证明点 P在直线 l2上运动时，弦 AB 必经过一个定点 20222022 年广东省广州市天河区九年级数学二模试题年广东省广州市天河区九年级数学二模试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分 ）分 ） 1. 广州作为“志愿之城”，截至 2021 年底，全市实名注册志愿者人数达 4261700人
10、，将 4261700 用科学记数法表示应为（ ） A. 4426.17 10 B. 542.617 10 C. 64.2617 10 D. 70.42617 10 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正数；当原数的绝对值1时，n 是负数 【详解】解：将 4261700用科学记数法表示应为 4261700=64.2617 10 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其
11、中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 2. 某品牌运动鞋经销商到某校初三 （2） 班抽样选取 9 位男生， 分别对他们的鞋码进行了查询， 记录数据是：39，42，41，42，42，41，43，42，44经销商对这组数据最感兴趣的是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】经销商最感兴趣的是哪种鞋号的人最多，根据众数的意义可得答案 【详解】经销商最感兴趣的是哪种鞋号的人最多，而众数就是一组数据出现次数最多的数，所以经销商最感兴趣的是众数 故选：B 【点睛】本题考查了统计量中平均数、中位数、众数、方差意义，熟知这些数
12、据的意义是解题的关键 3. 下列运算正确的是（ ） A. 257 B. 15510 xxx C. 222xyxy D. 11xx 【答案】B 【解析】 分析】利用二次根式加减法则可解决 A 选项； 利用同底数幂除法法则可解决 B选项； 利用完全平方公式可解决 C选项； 利用去括号法则可解决 D选项 【详解】解：2和5不是同类二次根式，不能再进行加减，故 A 选项错误，不符合题意； 15515 510 xxxx ，故 B选项正确，符合题意； 2222xyxxyy，故 C选项错误，不符合题意； 11xx ，故 D选项错误，不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的加减、同底数幂除法、完全平
13、方公式和去括号法则等知识，对公式和法则正确的理解和运用是解决本题的关键 4. 在ABC 中，AB=AC，B=70 ，则A=（ ） A. 40 B. 70 C. 50 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论 【详解】解：AB=AC，B=70 ， C=B=70 ， A=180 -70 -70 =40 ， 故选：A 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 5. 如图是圆锥与圆柱的组合体（它们的底面重合） ，此组合体的主视图（ ） A. 是轴对称图形但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形又是中
14、心对称图形 D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】认真观察实物，可得这个几何体的主视图为长方形上面一个三角形，再根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可 【详解】解：组合体的主视图如图所示： 是轴对称图形但不是中心对称图形， 故选：A 【点睛】本题考查实物体的三视图还考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合 6. 若点 A(1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数 y=23kx（k 为常数）的图象上，则 a，b，c的大小关系是（ ） A.
15、abc B. bac C. cab D. acb 【答案】D 【解析】 【分析】根据 k 的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点 A（-1，a） ，B（1，b） ，C（2，c）所在的象限，确定 a、b、c 大小关系 【详解】解：k为常数， k2+30， 反比例函数 y=23kx（k 为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y随 x的增大而减小， 因此点 A（-2，a）在第三象限，而 B（1，b） ，C（2，c）在第一象限， a0，bc0， acb， 故选：D 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，考查当 k0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小的性质，利用图象法
16、比较直观 7. 把半径长为 2.5的球放在长方体纸盒内， 球的一部分露出盒外， 其截面如图所示， 已知4CD， 则EF （ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】作OHEF于点 H，连接 OF由垂径定理知12EHHFEF，由题意 OF为圆半径，OH为 CD与半径的差，利用勾股定理求出 HF，进而求出 EF 【详解】解：作OHEF于点 H，连接 OF EF是圆O的弦， OHEF， 12EHHFEF， 圆O的半径为 2.5，4CD， 4 2.5 1.5OH ，2.5OF ， 在Rt OHF中，222OHHFOF， 22222.51.52HFOFOH， 22
17、24EFHF 故选 C 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理的实际应用，熟练掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”是解题的关键 8. 如图，RtABC 中，C=90 ，AB=5，tanB=43，若以点 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB刚好相切，则r 等于（ ） A. 3 B. 4 C. 2.4 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过 C作 CDAB，交 AB 于点 D，在直角三角形 ABC中，由 AB的长，利用勾股定理求出 AC与BC的长，利用面积法求出 CD 的长，即为所求的 r 【详解】解：如图所示，过 C 作 CDAB，交 AB 于点 D， 在
18、 RtABC 中，AB=5，tanB=43，即ACBC=43， 设 AC=4k，则 BC=3k， 根据勾股定理得：AB2=BC2+AC2， 即 52=(3k)2+(4k)2， k=1， AC=4，BC=3， SABC=12BCAC=12ABCD， 12 3 4=12 5 CD， 解得：CD=2.4， 则 r=2.4 故选：C 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，正切函数以及三角形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键 9. 已知关于 x的方程20 xbxc的两个根分别是-1和 3， 若抛物线22yxbxc与 y 轴交于点 A， 过A 作ABy轴，交抛物线于另一交点 B，则 AB的长为（
19、 ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的两根求出 b、c的值，代入抛物线解析式，求出点 A 坐标，A、B两点纵坐标相同，从而求出 B点坐标，AB 的长即可求出 【详解】将-1，3 分别代入20 xbxc， 10930bcbc， 解得23bc ， 抛物线解析式为：226yxx， 与 y 轴交点为：A（0，6） ， ABy 轴，B的纵坐标为 6， 代入抛物线解得，120,2xx， B（2，6） AB=2-0=2 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线与 y 轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键 10. 如
20、图， 在等腰直角三角形 ABC 中， ABC=90 ， AB=6， 线段 PQ 在斜边 AC上运动， 且 PQ=2 连接 BP，BQ则BPQ周长的最小值是（ ） A. 6 22 B. 2 192 C. 8 D. 4 52 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点 D作 DEAC，且点 E在 AD上方，DE=2，连接 BE 交 AC于点 P，取 PQ=2，连接 BE，DQ，BDB，P，E 三点共线，此时BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小 【详解】解：如图，过点 A作 ADBC，过点 C作 CDAB，两直线相交于点点 D； 过点 D作 DEAC，且点 E在 AD上方，DE=2，连接 BE
21、交 AC于点 P，取 PQ=2，连接 DQ，BD， 四边形 ABCD为正方形，点 Q是对角线 AC上的一点，AB=6， BQ=QD，BDAC，BD=AC=62， DEPQ，DE=PQ， 四边形 PQDE为平行四边形， PE=DQ=BQ， B，P，E 三点共线， 此时BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小 BDAC， BDDE，即BDE=90 ， BE=22BDDE=219， BPQ周长的最小值为 219+2， 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形、正方形的性质是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题
22、 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11. 已知50A ，则A的余角等于_ 【答案】40 【解析】 【分析】利用 90 减去A即可直接求解 【详解】解：A的余角为：90 -50 =40 故答案是：40 【点睛】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于 90 （直角） ，就说这两个角互为余角即其中一个角是另一个角的余角，理解定义是关键 12. 计算：182_ 【答案】22 【解析】 【分析】先化简18，再合并同类二次根式即可 【详解】解：182 3 22 2 2 故答案为：22 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键 13. 方程1213xx的解是_ 【答案】2x 【
23、解析】 【分析】按照解分式方程的方法步骤解方程即可 【详解】解：1213xx， 方程两边同乘3 (1)x x得，32(1)xx， 解整式方程得，2x ， 检验：当2x 时，3 (1)=3 22+1 =180 x x ， 2x 是原方程的解， 故答案为：2x 【点睛】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用解分式方程的方法步骤解答，注意解分式方程要检验 14. 计算：322tan 60 _ 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案 【详解】解：3222tan 608( 3)835 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 15
24、. 如图，正方形 ABCD边长为 3，点 E在边 AB 上，以 E为旋转中心，将 EC逆时针旋转 90 得到 EF，AD与 FE交于 P点若1tan3BCE，则 PF 的值为_ 【答案】103 【解析】 【分析】先根据1tan3BEBCEBC求出 BE，即可求出 AE，根据勾股定理求出 CE，可知 EF，然后在RtAEP 中，求出 AP，EP，即可得出答案 【详解】四边形 ABCD是正方形， AB=BC=3，B=A=90 在 RtBCE中，1tan3BEBCEBC， BC=3， BE=1， AE=AB-BE=2 在 RtBCE中，22223110CEBCBE， 10EFCE. AEP=CEB=
25、90，CEB+BCE=90， AEP=BCE， 1tantan3APAEPBCEAE AE=2， 23AP 在 RtAEP中，222222 102( )33PEAEAP， 2 10101033PFEFPE 故答案为：103 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等，求出1tan3AEP是解题的关键 16. 如图，在矩形 ABCD中，AB=8，BC=6，点 P 是边 AB 上的一个动点，连接 DP，若将DAP 沿 DP 折叠，点 A 落在矩形的对角线上，则 AP 的长为_ 【答案】3 或92 【解析】 【分析】在分两种情况探讨：点 A 落在矩形对角线 BD 上，点
26、 A落在矩形对角线 AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案 【详解】解：点 A落在矩形对角线 BD上的点 E处，如图所示 AB=8，AD=6， BD=10， 根据折叠的性质，AD=ED=6，AP=EP，A=PED=90 ， BE=4， 设 AP=x，则 BP=8-x， BP2=BE2+PE2， （8-x）2=x2+42， 解得：x=3， AP=3； 点 A落在矩形对角线 AC上点 F处，如图所示： 由折叠的性质可知 PD 垂直平分 AF， BAC+FAD=PDA+FAD=90 BAC=PDA tanBAC=tanPDA BCAPABAD，即686AP AP=92 综上所
27、述 AP 的长为 3 或92 故答案为：3或92 【点睛】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及解直角三角形；依据翻折的性质找准相等的量是解题的关键 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 ）分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 ） 17. 解不等式组：322124xxx 【答案】x3 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【详解】解：解不等式 3x-22x+1，得：x3， 解不等式-2x0)上任意两点，点 P在OAB内
28、，且 PBy轴，PAx，若BOP 的面积为 4 （1）求AOP 的面积； （2）求ABP的面积 【答案】 （1）4 （2）8 【解析】 【分析】 （1）设 B (m，12m)， A (n，12n)，则 P(m，12n)，由BOP的面积为 4推出 n=3m，利用三角形面积公式即可求解； （2）同理，利用三角形面积公式即可求解 【小问 1 详解】 解：A，B是双曲线 y=12x(x0)上任意两点， 设 B (m，12m)， A (n，12n)，则 P(m，12n)， AP=n-m，BP=12m-12n， BOP的面积为 4 12BPxP=12(12m-12n) m=4， n=3m， AOP的面积=
29、12APyP=12(n-m) 12n=4； 【小问 2 详解】 解：同（1）ABP的面积=12APBP=12(n-m)(12m-12n) =12(3m-m)(12m-123m) =8 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 24. 已知抛物线 y=ax2+bx+m（a，b，m 为常数，a0，m0）与 x 轴交于点 A(1，0)，B(m，0)，与 y 轴的交点为 C （1）当1a ，3m时， 求该抛物线的对称轴； 点 P为直线1yx 与抛物线对称轴的交点，Q是线段 BC上的一个动点（与点 B，C不重合） ，射线PQ 交抛物线于点 M，在点 Q 运动过程中，
30、QMPQ是否存在最大值？请说明理由 （2）过点 C作直线 l平行于 x轴，E是直线 l上的动点，F是 y轴上的动点，2 2EF ，取 EF的中点 N，当 m 为何值时，BN 的最小值是22？ 【答案】 （1）抛物线的对称轴为直线 x=-1；存在，理由见解析 （2）当 m的值为-32或-12时，BN 的最小值是22 【解析】 【分析】 （1）将 A（1，0）代入抛物线的解析式，再由配方法可求出该抛物线的对称轴； 过点 M作 MGx 轴交 BC于点 G，设点 M(a，a2+2a-3)，根据二次函数的性质求得当 a=-32时，MG 有最大值，最大值为94，再证明BPQGMQ，利用相似三角形的性质即可
31、求解； （2）得出 CN=12EF=2求出 BC=-2m，当 BC2，即 m-1 时，当 BC2，即-1m0 时，根据 BN的最小值可分别求出 m 的值即可 【小问 1 详解】 解：当 a=1，m=-3 时，抛物线的解析式为 y=x2+bx-3 抛物线经过点 A（1，0） ， 0=1+b-3， 解得 b=2， 抛物线的解析式为 y=x2+2x-3 y=x2+2x-3=（x+1）2-4， 抛物线的对称轴为直线 x=-1； 存在，理由如下： 由抛物线的对称轴为直线 x=-1， 点 P为直线 y=x1 与抛物线对称轴的交点， 点 P的坐标为(-1，0)， 点 A(1，0)，抛物线的对称轴为直线 x=
32、-1， 点 B(-3，0)， 令 x=0，y=x2+2x-3=-3， 点 C(0，-3)， 设直线 BC的解析式为 y=kx-3， 把点 B(-3，0)代入得 0=-3k-3， k=-1， 直线 BC的解析式为 y=-x-3， 过点 M 作 MGx轴交 BC于点 G， 设点 M(a，a2+2a-3)，且(-3a0) ， 把点 G(xG，a2+2a-3)代入 y=-x-3，得 a2+2a-3=-xG-3， xG=-a2-2a， 点 G(-a2-2a，a2+2a-3)， MG=-a2-2a-a=-a2-3a=-(a+32)2+94， -10， 当 a=-32时，MG有最大值，最大值为94， BPM
33、G，B(-3，0)，P (-1，0)， BPQGMQ， QMMGPQBP， B(-3，0)，P (-1，0)， BP=2， 当 a=-32时，QMPQ存在最大值=942=98； 【小问 2 详解】 解：由 N 是 EF 的中点，连接 CN，CB，得 CN=12EF=2 根据题意，点 N在以点 C为圆心、2为半径的圆上， 由点 B（m，0） ，点 C（0，m） ，得 BO=-m，CO=-m， 在 RtBCO中，BC=22BOCO=-2m 当 BC2，即 m-1 时，满足条件的点 N在线段 BC上 BN 的最小值为 BC-NC=-2m-2=22，解得 m=-32； 当 BC2， 即-1m0时， 满
34、足条件的点 N落在线段 BC 的延长线上， BN 的最小值为 NC-BC=2- （-2m）=22， 解得 m=-12 当 m的值为-32或-12时，BN的最小值是22 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 25. 如图，已知Q 的半径为 2，在Q的对称轴 l1上取一点 O，使得 OQ=5（点 O 在点 Q的下方） ，过 O作直线 l2l1，P为直线 l2上的一点，过点 P 作Q的切线 PA，PB，切点为 A，B，连接 AB （1）当 OP=OQ 时，求 PA 的长； （2）连接 PQ，当
35、PQAB最小时，求 PA的长； （3）试证明点 P在直线 l2上运动时，弦 AB 必经过一个定点 【答案】 （1）PA 的长为6； （2）PA的长为 1； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）证明 RtAPQRtBPQ(HL)，先用勾股定理求得 PQ的长，再利用勾股定理求解即可； （2）利用面积法得到 PQAB=4AP，要使 PQAB 最小，AP最小即可，当 PQ最小时，AP最小，由垂线段最短可知：当 P与 O 重合时，PQ 最短，据此求解即可； （3）证明MQNOQP 和AMQPAQ，根据相似三角形的性质得到 QA2=NQOQ，求得 NQ=4 55，据此求解即可 【小问 1 详解】 解：
36、如图，连接 AQ、BQ、PQ，PQ与 AB交于点 M，OQ 与 AB 交于点 N， PA、PB 为Q的切线， PAQA，PBQB， PAQ=PBQ=90 ， 在 RtAPQ和 RtBPQ中， QPQPQAQB， RtAPQRtBPQ(HL)， PA=PB，APQ=BPQ， APB为等腰三角形，PQ平分APB， ABPQ， OPOQ，OP=OQ=5， PQ=2222( 5)( 5)OPOQ=10， AQ=BQ=2， AP=2222( 10)2PQAQ=6； 【小问 2 详解】 解：SPAQ=12PQAM=12APAQ，SBPQ=12PQBM=12PBBQ， 12QPAM+12PQBM=12APA
37、Q+12PBBQ， 12QPAB=2AP， PQAB=4AP， 要使 PQAB最小，AP最小即可， AP=2224PQAQPQ， 当 PQ最小时，AP 最小， 由垂线段最短可知：当 P与 O 重合时，PQ最短， 即：PQ最短=5， 此时，AP=2( 5)4=1， PQAB 最小时，AP的长为 1； 【小问 3 详解】 解：QMN=QOP=90 ，MQN=OQP， MQNOQP， NQQMPQQO， PQQM=NQ OQ， AQM=PQA，AMQ=PAQ=90 ， AMQPAQ， QAMQQPAQ， PQQM=QA2， QA2=NQOQ， 22=NQ5， NQ=4 55， 无论点 P在 l2上运动到何处，NQ的长都不变，为4 55， 弦 AB 过 QO上一点，且距离 Q的长为4 55， 即：弦 AB必过一个定点 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
