1、2019 年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （3 分） 等于（ ）A4 B4 C4 D2562 （3 分）cos30的值是（ ）A B C D3 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）A圆锥 B圆柱 C球 D三棱柱4 （3 分）下列四个等式，正确的是（ ）A3a 32a26a 6 B3x 24x212x 2C2x 23x26x 4 D5y 33y515y 155 （3 分）据统计，某校某班 30 名同学
2、3 月份最后一周每天按时做数学“小测题”的学生数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）A25 和 30 B25 和 29 C28 和 30 D28 和 296 （3 分）下列对二次函数 yx 2+x 的图象的描述，正确的是（ ）A对称轴是 y 轴 B开口向下C经过原点 D顶点在 y 轴右侧7 （3 分）我校举行春季运动会系列赛中，九年级（1）班、 （2）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（2）班的得分为 6：5；乙同学说：（1）班的得分比（2）班的得分的 2 倍少 40 分；若设（1）班的得分为 x
3、分， （2）班的得分为 y 分，根据题意所列方程组应为（ ）第 2 页（共 24 页）A BC D8 （3 分）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）AAB BAC CAC BD DAB BC9 （3 分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎打车总费用y（单位：元）与行驶里程 x（单位：千米）的函数关系如图所示如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为（ ）A33 元 B36 元 C40 元 D42 元10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，M、N 是对角线 AC 上的两个动点，
4、P 是正方形四边上的任意一点，且 AB4，MN2，设 AMx ，在下列关于 PMN 是等腰三角形和对应 P 点个数的说法中，当 x0（即 M、A 两点重合）时， P 点有 6 个；当 P 点有 8 个时，x2 2；当 PMN 是等边三角形时，P 点有 4 个；当 0 x4 2 时，P 点最多有 9 个其中结论正确的是（ ）第 3 页（共 24 页）A B C D二、填空题（每小题 3 分，共 18 分 ）11 （3 分）不等式 3x10 的解集是 12 （3 分）方程 的根是 13 （3 分）如果一次函数 ykx2（k 是常数
5、，k 0）的图象经过点（2，0） ，那么 y 的值随 x 的增大而 （填“减小”或“增大” ）14 （3 分）在三角形 ABC 中，C90，AC8，BC6，D，E，F 分别是AB， BC，CA 的中点， G 是重心，则 GD 15 （3 分）在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，BC 12，AD8正方形 EFGH 的顶点E、F 分别在 AB、AC 上，H、G 在 BC 上那么正方形 EFGH 的边长是 16 （3 分）如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不
6、重合） ，M 是 CD 的中点，过点 C 作 CPAB 于点 P，若 CD3，AB8，PMl，则 l 的最大值是 三、解答题（共 9 小题，满分 102 分）17 （9 分）计算：（1） （ ） 1 +（ 3.14） 0+第 4 页（共 24 页）（2） 18 （9 分）已知求证：（a 2+b2m2）y 2+2mnb2y+（n 2a 2）b 2019 （10 分）如图，已知ABC 中，ABBC 5，tanABC （1）利用直尺和圆规作线段 BC 的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求 BD20 （
7、10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y （k0）的图象经过点A（5 ， ）与点 B（2，m ） ，抛物线 yax 2+bx+c（a 0） ，经过原点 O，顶点是B（2 ，m） ，且与 x 轴交于另一点 C（n，0）（1）求反比例函数的解析式与 m 的值；（2）求抛物线的解析式与 n 的值21 （12 分）如图，圆 O 的半径为 1，六边形 ABCDEF 是圆 O 的内接正六边形，从A，B ，C ，D，E，F 六点中任意取两点，并连接成线段（1）求线段长为 2 的概率；（2）求线段长为 的概率22 （12 分）某商店订购了 A，B 两种商品，A 商品 28 元/千克，B 商品 2
8、4 元/千克，若 B第 5 页（共 24 页）商品的数量比 A 商品的 2 倍少 20 千克，购进两种商品共用了 2560 元，求两种商品各多少千克？23 （12 分）如图，已知在O 中，AB 是O 的直径，AC8，BC 6（1）求O 的面积；（2）若 D 为O 上一点，且 ABD 为等腰三角形，求 CD 的长24 （14 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，AD，BC 的延长线交于点 E，F 是 BD 延长线上一点，CDE CDF60（1）求证：ABC 是等边三角形；（2）判断 DA，DC，DB 之间的数量关系，并证明你的结论25 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx
9、2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） ，点B（1， 0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式：（2）若点 P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t，连接PA、PC、AC求 ACP 的面积 S 关于 t 的函数关系式求 ACP 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标第 6 页（共 24 页）第 7 页（共 24 页）2019 年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （3 分） 等于（ ）A4 B4 C4 D2
10、56【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出 16 的算术平方根是多少即可【解答】解： 4故选：B【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 被开方数 a 是非负数； 算术平方根 a 本身是非负数求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找2 （3 分）cos30的值是（ ）A B C D【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：cos30 ，故选：D【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键3 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（
11、 ）A圆锥 B圆柱 C球 D三棱柱【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥主视图和左视图为三角形可得第 8 页（共 24 页）此几何体为圆锥故选：A【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查4 （3 分）下列四个等式，正确的是（ ）A3a 32a26a 6 B3x 24x212x 2C2x 23x26x 4 D5y 33y515y 15【分析】各项利用单项式乘以单项式法则计算，即可作出判断【解答】解：A、3a 32a26a 5，本选项错误；B、3
12、x 24x212x4，本选项错误；C、2x 23x26x 4，本选项正确；D、5y 33y515y 8，本选项错误故选：C【点评】此题考查了单项式乘以单项式法则，熟练掌握法则是解本题的关键5 （3 分）据统计，某校某班 30 名同学 3 月份最后一周每天按时做数学“小测题”的学生数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）A25 和 30 B25 和 29 C28 和 30 D28 和 29【分析】根据众数和中位数的定义求解可得【解答】解：将这组数据重新排列为 25，26，27，28，29，29，30，则这组数据的中位数为 28，众数为
13、 29，故选：D【点评】此题考查了学生对中位数，众数的概念及其运用，它们都是反映数据集中趋势的指标6 （3 分）下列对二次函数 yx 2+x 的图象的描述，正确的是（ ）A对称轴是 y 轴 B开口向下C经过原点 D顶点在 y 轴右侧【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题第 9 页（共 24 页）【解答】解：二次函数 yx 2+x（x+ ） 2 ，a1，对称轴是直线 x ，故选项 A 错误，该函数图象开口向上，故选项 B 错误，当 x0 时，y0，即该函数图象过原点，故选项 C 正确，顶点坐标是（ ， ） ，故选项 D 错
14、误，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答7 （3 分）我校举行春季运动会系列赛中，九年级（1）班、 （2）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（2）班的得分为 6：5；乙同学说：（1）班的得分比（2）班的得分的 2 倍少 40 分；若设（1）班的得分为 x 分， （2）班的得分为 y 分，根据题意所列方程组应为（ ）A BC D【分析】设（1）班得 x 分， （2）班得 y 分，根据：（1）班与（2）班得分比为6：5；（1）班得分比（2）班得分的 2 倍少 39 分列出方程组【解答】解：设（1）班得
15、 x 分， （2）班得 y 分，由题意得 故选：D【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，列出方程8 （3 分）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）AAB BAC CAC BD DAB BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案【解答】解：A、AB ，A+B180，所以AB90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、AC 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；第 10 页（共 24 页）C、ACBD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确；D、ABBC，所以B
16、 90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定9 （3 分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎打车总费用y（单位：元）与行驶里程 x（单位：千米）的函数关系如图所示如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为（ ）A33 元 B36 元 C40 元 D42 元【分析】待定系数法求出 x8 时 y 关于 x 的函数解析式，再求出 x22 时 y 的值即可【解答】解：当行驶里程 x8 时，设 ykx+b，将（8，12） 、 （11，18）代入，得： ，解
17、得： ，y2x4，当 x22 时，y222440，如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为 40 元；故选：C【点评】本题主要考查一次函数的图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，M、N 是对角线 AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且 AB4，MN2，设 AMx ，在下列关于 PMN 是等腰三角形和第 11 页（共 24 页）对应 P 点个数的说法中，当 x0（即 M、A 两点重合）时， P 点有 6 个；当 P 点有 8 个时，x2 2；当 PMN 是等边三角形时，P 点有
18、 4 个；当 0 x4 2 时，P 点最多有 9 个其中结论正确的是（ ）A B C D【分析】利用图象法即可解决问题；【解答】解：如图，当 x0（即 M、A 两点重合）时， P 点有 6 个；故正确；当 P 点有 8 个时，当 0x 1 或 1x4 4 或 2x4 1或 4 1x4 2 时，P 点有 8 个故错误；第 12 页（共 24 页）如图，当 PMN 是等边三角形时，P 点有 4 个；故正确；当 0 x4 2 时，P 点最多有 8 个故错误故选：B【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
19、中考常考题型二、填空题（每小题 3 分，共 18 分 ）11 （3 分）不等式 3x10 的解集是 x 【分析】先移项、再化系数为 1 即可求解【解答】解：3x10，3x1，x 故答案为：x 【点评】考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号； 移项；合并同类项； 化系数为 112 （3 分）方程 的根是 x1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x 21，解得：x1 或 x1，经检验 x1 是增根，分式方程的解为 x1
20、，故答案为：x1第 13 页（共 24 页）【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验13 （3 分）如果一次函数 ykx2（k 是常数，k 0）的图象经过点（2，0） ，那么 y 的值随 x 的增大而 增大 （填“减小”或“增大” ）【分析】将点（2，0）代入 ykx2，求出 k1，根据一次函数的性质即可求解；【解答】解：将点（2，0）代入 ykx2，k1，y 的值随 x 的增大而增大；故答案为增大；【点评】本题考查一次函数的性质；熟练掌握 k 对函数 x 与 y 值的影响是解题的关键14 （3 分）在三角形 ABC 中，C90，AC8，BC6，D，E，
21、F 分别是AB， BC，CA 的中点， G 是重心，则 GD 【分析】先利用勾股定理求出斜边 AB 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 CD，然后利用重心的性质求出 CD【解答】解：在三角形 ABC 中，C90，AC8，BC6，AB 10，D 是 AB 的中点，CD AB5D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，G 是重心，GD CD 故答案为 【点评】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1也考查了勾股定理与直角三角形斜边上的中线的性质15 （3 分）在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，BC 12，
22、AD8正方形 EFGH 的顶点E、F 分别在 AB、AC 上，H、G 在 BC 上那么正方形 EFGH 的边长是 4.8 第 14 页（共 24 页）【分析】利用正方形的性质可知 EFBC，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得AFE ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长【解答】解：四边形 EFGH 是正方形，EFBC，AEF ABC，又ADBC，ADBC，EF HGEH， ，设 EHx，则 AK8x ， ，解得：x4.8，EH4.8这个正方形的边长为 4.8故答案为：4.8【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地
23、中考考查相似三角形常见题型16 （3 分）如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合） ，M 是 CD 的中点，过点 C 作 CPAB 于点 P，若 CD3，AB8，PMl，则 l 的最大值是 4 第 15 页（共 24 页）【分析】求出 C，M，O，P，四点共圆，连接 PM，则 PM 为E 的一条弦，当 PM 为直径时 PM 最大，所以 PMCO4 时 PM 最大【解答】解：连接 CO，MO，CPOCMO90，C，M，O，P，四点共圆，且 CO 为直径（E 为圆心） ，连接 PM，则 PM 为E 的一条弦，当 PM 为直径时 PM 最大，所以 PMC
24、O4 时 PM最大即 PMmax4【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，圆内接四边形性质的应用，关键是找出符合条件的 CD 的位置，题目比较好，但是有一定的难度三、解答题（共 9 小题，满分 102 分）17 （9 分）计算：（1） （ ） 1 +（ 3.14） 0+（2） 【分析】 （1）本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果（2）直接代入特殊角的三角函数，再计算加减即可【解答】解：（1）原式2+121；（2）原式 3+ 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此
25、类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算第 16 页（共 24 页）18 （9 分）已知求证：（a 2+b2m2）y 2+2mnb2y+（n 2a 2）b 20【分析】先把式代入 式可以去掉 x，然后整理 y 的函数，就可以很容易证明了【解答】证明：把代入，得，b 2（m 2y2+2mny+n2）+a 2y2a 2b2，m 2b2y2+2mnb2y+n2b2+a2y2a 2b20，（a 2+b2m2） y2+2mnb2y+（n 2a 2）b 20【点评】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把式代入式可以去掉 x，然后整理 y 的函数19 （10
26、分）如图，已知ABC 中，ABBC 5，tanABC （1）利用直尺和圆规作线段 BC 的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求 BD【分析】 （1）利用基本作图作 DE 垂直平分 BC；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DECE BC ，DEBC，再利用三角形函数求出 DE，然后利用勾股定理计算出 BD 的长【解答】解：（1）如图，DE 为所作；第 17 页（共 24 页）（2）DE 垂直平分 BC，DECE BC ，DEBC，在 Rt BDE 中，tan B ，DE ，BD 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图
27、（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了解直角三角形20 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y （k0）的图象经过点A（5 ， ）与点 B（2，m ） ，抛物线 yax 2+bx+c（a 0） ，经过原点 O，顶点是B（2 ，m） ，且与 x 轴交于另一点 C（n，0）（1）求反比例函数的解析式与 m 的值；（2）求抛物线的解析式与 n 的值【分析】 （1）将 A（5， ）代入反比例函数 y 求出 k 的值，进而确定关系式，将点 B（2，m）代入可求出 m 的值；（2）抛物线过原点（0，0）
28、 ，顶点为 B（2，4）可列方程组解出 a、b、c 的值，确定解析式，根据抛物线与 x 轴的交点 d 求法，可求出点 C 的坐标，确定 n 的值【解答】解：（1）将 A（5， ）代入 y 得：k 8反比例函数的关系式为：y把 B（2，m）代入得： m ，m4第 18 页（共 24 页）因此反比例函数的关系式为：y ，m 4（2）抛物线 yax 2+bx+c 过原点 O（0，0） ，顶点是 B（2，4） ， 解得：抛物线为：yx 24x ；当 y0 时，即x 24x 0，解得：x 10，x 24，C（4，0） ，即 n4因此抛物线的解析式为 yx 24x
29、 ；n4【点评】此题主要考查了待定系数法，待定系数法是确定函数关系式的常用方法；函数图象上的点的坐标适合函数的解析式；抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标的求法，可以转化为：由解析式当 y0 或 x0，求相应的 x、y 的值21 （12 分）如图，圆 O 的半径为 1，六边形 ABCDEF 是圆 O 的内接正六边形，从A，B ，C ，D，E，F 六点中任意取两点，并连接成线段（1）求线段长为 2 的概率；（2）求线段长为 的概率【分析】 （1）连接 AE，过点 F 作 FNAE 于点 N，得出AOB 是等边三角形，得出OAABBC CDDE EFAE1，FAE30，由直角三角形的性质得出 AN，
30、AE ，同理：AC ，画树状图，共有 30 个等可能的结果，线段长为 2 的结果有 6 个，由概率公式即可得出结果；（2）由树状图可知，共有 30 个等可能的结果，线段长为 的结果有 12 个，由概率公式即可得出结果【解答】解：（1）连接 AE，过点 F 作 FNAE 于点 N，如图 1 所示：圆 O 的半径为 1，六边形 ABCDEF 是圆 O 的内接正六边形，第 19 页（共 24 页）AOB 60，OAOB 1，AFE120 ，AD2，AOB 是等边三角形，OAABBC CD DE EFAE1，FAE 30，AN ，AE同理：AC ，画树状图如图 2 所示：共有 30 个等可能的结果，线
31、段长为 2 的结果有 6 个，线段长为 2 的概率为 ；（2）由树状图可知，共有 30 个等可能的结果，线段长为 的结果有 12 个，线段长为 的概率为 【点评】此题主要考查了树状图法求概率、正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出 AE 的长和画出树状图是解题的关键22 （12 分）某商店订购了 A，B 两种商品，A 商品 28 元/千克，B 商品 24 元/千克，若 B商品的数量比 A 商品的 2 倍少 20 千克，购进两种商品共用了 2560 元，求两种商品各多少千克？【分析】设该商店购进 A 商品 x 千克，购进 B 商品 y 千克，根据“购进 B 商品的数量比A 商品的 2 倍少 2
32、0 千克，购进两种商品共用了 2560 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论第 20 页（共 24 页）【解答】解：设该商店购进 A 商品 x 千克，购进 B 商品 y 千克，依题意，得： ，解得： 答：该商店购进 A 商品 40 千克，购进 B 商品 60 千克【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键23 （12 分）如图，已知在O 中，AB 是O 的直径，AC8，BC 6（1）求O 的面积；（2）若 D 为O 上一点，且 ABD 为等腰三角形，求 CD 的长【分析】 （1）先利用圆周角定理得到ACB90再利用勾股定
33、理计算出 AB，然后利用圆的面积公式计算；（2）作直径 DDAB，BHCD 于 H，如图，利用垂径定理得到 ，再证明ADB 为等腰直角三角形得到 DB AB5 ，利用BCH 为等腰直角三角形得到CHBH BC3 ，则根据勾股定理可计算出 DH 4 ，所以 CD7 ，然后利用勾股定理计算 CD即可【解答】解：（1）AB 是 O 的直径，ACB90AC8，BC6，AB10 O 的面积5 225 ；（2）作直径 DDAB，BHCD 于 H，如图，则 ，ADBD ，ACDBCD45，AB 是O 的直径，ADB90，第 21 页（共 24 页）ADB 为等腰直角三角形，DB AB5 ，易得BCH 为等腰
34、直角三角形，CHBH BC3 ，在 Rt BDH 中，DH 4 ，CDCH +DH3 +4 7 ，DD是O 的直径，DCD90，CD ，综上所述，CD 的长为 或 7 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了勾股定理24 （14 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，AD，BC 的延长线交于点 E，F 是 BD 延长线上一点，CDE CDF60（1）求证：ABC 是等边三角形；（2）判断 DA，DC，DB 之间的数量关系，并证明你的结论【分析】 （1）根据圆内接四边形的性质得到CDEABC60，根据圆周角定理、等边三角形
35、的判定定理证明；（2）在 BD 上截取 PDAD，证明APBADC，根据全等三角形的性质证明结论第 22 页（共 24 页）【解答】 （1）证明：CDE CDF60，CDEEDF60，四边形 ABCD 内接于O，CDEABC60，由圆周角定理得，ACBADBEDF60，ABC 是等边三角形；（2）解：DA+DCDB，理由如下：在 BD 上截取 PDAD，ADP60，APD 为等边三角形，ADAP，APD60，APB 120，在APB 和ADC 中，APB ADC（AAS） ，BPCD，BDBP+PDCD+AD【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握
36、圆内接四边形的性质是解题的关键25 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） ，点B（1， 0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式：（2）若点 P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t，连接PA、PC、AC第 23 页（共 24 页）求 ACP 的面积 S 关于 t 的函数关系式求 ACP 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标【分析】 （1）由点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2） 过点 P 作 PQy 轴交直线 AC 于点 Q，先求出直线 AC 解析式为 yx+3，设P
37、（t，t 22t+3） ，Q（t，t+3） ，据此得 PQt 23t，根据 SS PQC +SPQA 可得答案；根据二次函数的性质和中所求代数式求解可得；【解答】解：（1）抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） ，点 B（1，0）两点， ，解得： ，抛物线的解析式为 yx 22x +3（2） 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， ，解得： ，直线 AC 的解析式为 yx+3，过点 P 作 PQ y 轴交直线 AC 于点 Q，设 P（t，t 22t+3） ，Q（t，t +3） ，PQt 22t+3t3t 23t ，第 24 页（共 24 页）SS PQC +SPQA S ，t 时，ACP 的面积最大，最大值是 ，此时 P 点坐标为（ ， ） 【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、二次函数的性质
