1、2022中考压轴考点必杀题：二次函数1（2021江苏扬州二模）如图，在ABC中，ABC90，点P从点B向点A运动，点Q从点A向点C运动，两点同时出发，当点P到达点A时停止（同时点Q也停止），连接PQ，以PQ为边顺时针方向作正方形PQEF已知AB10，tanA，BPAQ（1）若点P运动到AB中点处，求正方形PQEF的边长；（2）若点E落在ABC的一边上，求BP长；（3）在点P、Q的运动过程中，APQ的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由2（2021江苏盐城三模）【阅读理解】设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”例如：如图1，矩形中
2、，若，则称为边的“和谐点”【解题运用】已知，点在矩形内部，且，（1）设是边的“和谐点”，则_边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接，求的值（2）若是边的“和谐点”，连接，当时，求的值；（3）如图2，若是边的“和谐点”，连接；，求的最大值3（2021江苏苏州一模）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图像记作抛物线E，现有点和抛物线E上的点，请完成下列任务；【尝试】判断点A是否在抛物线E上【发现】对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_【应用】以为边作矩形，使得其中一个顶点落在y轴上：若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符
3、合条件的t的值4（2021江苏无锡一模）如图，抛物线ymx24mxn（m0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tanCAO3，sinCBO（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设D为抛物线对称轴上一点当BCD的外接圆的圆心在BCD的边上时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围5（2021江苏一模）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD，A(3，0)，B(2，0)，D在y轴上直线l从出发，以每秒1个单位长度的速度沿向左平移，分别与交于设的面积为S，直线l平移时间为（1）求点C的坐标（2）求S与t的函
4、数表达式；（3）过点B作，垂足为G，连接，设的面积为的面积为，当时，若点在内部（不包括边），求a的取值范围6（2021江苏苏州一模）题一：已知二次函数：（为常数），当取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”我们发现：是当取不同数值时，此二次函数的图像的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是_问题二：已知直线交轴于点.交y轴于点，抛物线（为常数）图像的顶点为（1）如图1，若点在的内部（不包括边界），求的取值范围；（2）如图2，当抛物线的图像经过点A，时，在抛物线上（的下方）是否存在点使？若存在，求出点的横坐标；若不存在请说明理由7（2021江苏常州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数
5、的图像与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作交x轴于点C，交抛物线于点D，连接将线段沿线段平移得到（点E与点A对应、点F与点B对应），连接（1）填空：线段_；（2）若点F恰好落在直线l上，求的长；（3）连接并延长交抛物线于点Q，若，求点Q的坐标8（2021江苏苏州一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点C，P为线段上一动点，将射线绕P逆时针方向旋转后与函数图像交于点Q（1）求二次函数的表达式；（2）当P在二次函数对称轴上时，求此时的长； （3）求线段的最大值；（4）抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在
6、，请说明理由9（2021江苏南通二模）定义：有一条边等于这条边上高的两倍的三角形叫做底倍高三角形，这条边叫做这个三角形的倍底在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），点B（4，8），ABC是以AB为倍底的底倍高三角形（1）概念理解请你根据上述定义举一个底倍高三角形的例子；（2）问题探究设点P（m，m2），其中2m4，当PC取最小值时，求点C的坐标；（3）应用拓展已知I的半径为1，圆心I在直线yx6上，且点C在I上，设圆心I的横坐标为a，试直接写出a的取值范围10（2021江苏南京二模）已知二次函数（为常数，且）（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图像上两点、，点和点间（含点、）的
7、图像上有一点，将点纵坐标的最大值和最小值的差记为当时，若点和点关于二次函数对称轴对称，求的值；若存在点和点使得的值是4，则的取值范围是_11（2021江苏南京二模）已知二次函数（1）若图像经过点的值为_；无论为何值，图像一定经过另一个定点_（2）若图像与轴只有1个公共点，求与的数量关系（3）若该函数图像经过，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的的取值范围12（2021江苏连云港一模）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C（1）如图1，若，求抛物线的解析式；为抛物线上一点，连接、，若，求点P的坐标；（2）如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连，若，求点D的纵坐标1
8、3（2021江苏泰州二模）在平面直角坐标系中，点、是二次函数图像上的两个点（1）当时，求该二次函数图像与x轴的交点坐标：（2）当时，判断的值是否随着a的变化而变化？若不变，求的值；若变化，说明理由；若，求t的值；（3）若，且，求出所有符合条件的正整数m的值；14（2021江苏镇江二模）如图1，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点、与y轴交于点C，点P是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AP、BP将沿直线AP翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标；（3）如图2，过点P作轴交抛物线于点E、F，连接AC，交线段EF于M，AC、OF交于点
9、N求的最大值15（2021江苏连云港二模）如图，二次函数的图像与x轴交于点A、B，已知与y轴交于点，该抛物线的顶点为点D（1）二次函数的表达式为 ，点D的坐标为 ；（2）连接BC在抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；若是抛物线上动点，则是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标的取值范围；若不存在，说明理由16（2021江苏徐州二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D是线段BC上一动点，点D关于AC、AB的对称点分别为点M、N，连接MN交线段AC、AB于E、F求MFNE最小值；（3）点J是抛
10、物线顶点，连接JC、JA，点H为抛物线对称轴上一动点，设纵坐标为m，过点H的直线交边CJ于P，交边JA于Q，若对于每个确定的m值，有且只有一个JQP与JCA相似，请直接写出m的取值范围17（2021江苏扬州二模）小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：yx，若x0时，xx21；若x0时，xx+1小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究（1）下列关于该函数图像的性质正确的是 ；（填序号）y随x的增大而增大；该函数图像关于y轴对称；当x0时，函数有最小值为1；该函数图像不经过第三象限（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数图像；若关于x的方程2x+cx有两个互不相等的实数根，请结合函数图像，直接
11、写出c的取值范围是 ；（3）若点（a，b）在函数yx3图像上，且a2，则b的取值范围是 18（2021江苏盐城二模）如图坐标系中，矩形ABCD的边BC在 y轴上，B（0，8），BC10，CD5，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转使点C落在x轴上现已知抛物线yax2bxc（a0）过点D、C和原点O（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形ABCD沿直线BC翻折，点A的对应点为M，请判断点M是否在所给抛物线上，并简述理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使POC2CBD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；19（2021江苏淮安二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点
12、C(1)求抛物线的解析式；(2)求直线AC的解析式；(3)试探究：在抛物线上是否存在一点P，使是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点Q是x轴上一动点，将ACQ沿CQ翻折，得DCQ，连接BD，请直接写出BD的最小值20（2021江苏盐城一模）如图1，一次函数y=-x-3的图像与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线y=ax+bx+c与x轴交于另一点B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC，若点D为BC的中点求直线AD的表达式；以AC为直径作M交直线AD于点N，求点N的坐标；（3）如图3，若点E为AB的
13、中点，点F为抛物线上一点，直线EF与AC所夹锐角为，且tan=，求点F的坐标（直接写出坐标）21（2021江苏苏州一模）立志成为数学家的波波，根据黄金分割点的概念和勾股定理研究出如下定义：如图1，点M，N在线段上，点M在点N的左侧，若线段，满足，则称点M、N是线段的钻石分割点（1）【类比探究】如图2，D、E是、上两点，且，M、N是边的钻石分割点，连接、分别交于点G、H求证：G、H是线段的钻石分割点（2）【知识迁移】如图3，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F证明：E、F是线段的钻石分割点（3）【拓展应用】如图4，已知
14、一次函数与坐标轴交于A、B两点，与二次函数交于C、D两点，若C、D是线段的钻石分割点，求m的值22（2021江苏苏州二模）如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E（1）求二次函数的解析式；（2）移动点P，求线段的最大值；（3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标23（2021江苏淮阴中学新城校区一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）和点B（0，2），点P为二次函数图像上一动点且在直线AB上方，作PC平行于y轴交AB于点C，连接PB，O
15、C图1图2备用图(1)求二次函数的表达式；(2)当线段PC=2时，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下：判断四边形PBOC的形状，并说明理由；如图2，将四边形PBOC沿射线BA平移得到四边形，直线与x轴交于点D，连接，当为等腰三角形时，直接写出点D的坐标.24（2021江苏扬州二模）如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为cm/s（当P、Q两个点中有一个点到达终点时，即停止）连接PQ，设P的运动的时间为t（单位：s）设CQ=y，运动时间为x（s），y与x函数关系如图所示：解
16、答下列问题：（1）的值_；当_时，；（2）设面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某一时刻使得为等腰三角形，如果存在请直接写出t的值，如果不存在请说明理由（4）如图3连接BQ、CP交于点E，求当时，t的值25（2021江苏盐城二模）我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如，两点）作轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在轴上的“足距”，记作根据该约定，完成下列各题：（1）若点，当点，在函数的图象上时，_；当点，在函数的图象上时，_（2）若反比例函数（）的图象上有两点，当时，求正整数的值（3）在（2）条件下抛物线与轴交于，两点，与轴交于点如图，点是该抛物
17、线的顶点，点是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接、，当时，求的值26（2021江苏盐城三模）如图，直线y2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）（1）求抛物线的解析式（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H当DPHCAD时，求t的值；过点H作HMBD，垂足为点M，过点P作PN
18、BD交线段AB于点N在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由27（2021江苏常州二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接（1）填空：_；（2）设抛物线的顶点是D，连接，将绕点B顺时针旋转，当射线经过点D时，射线与抛物线交于点P，求点P的坐标；（3）设E是x轴上位于点B右侧的一点，F是第一象限内一点，轴且，点H是线段上一点，以、为邻边作矩形，垂足为T，连接，若与相似，求的长28（2021江苏淮安二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2+bx的图象与x
19、轴交于O、A两点，其顶点B的坐标为（2，6）（1）求a、b的值；（2）如图1，点C是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接BO、CO，当OBC是以BC为腰的等腰三角形时，求点C的坐标；（3）如图2，P是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接OP，与对称轴交于点M，点Q在OP上，满足，设点P的横坐标为n；请用含n的代数式表示点Q的坐标（，）；连接BQ，OB，当OBQ的面积为15时，求点P的坐标；当POA2OBM时，直接写出点P的横坐标29（2021江苏镇江二模）已知抛物线交x轴于点和点，其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为，射线沿着直线翻折，交l于点F，如图（1）所示（1）_，_；（
20、2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，且，求证：（3）在（2）的条件下，直接写出的值=_；直接写出点P的坐标（_，_）30（2021江苏盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x2，点A的坐标为（1，0）（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC当PCBACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2022中考压轴考点必杀题
21、：二次函数1（2021江苏扬州二模）如图，在ABC中，ABC90，点P从点B向点A运动，点Q从点A向点C运动，两点同时出发，当点P到达点A时停止（同时点Q也停止），连接PQ，以PQ为边顺时针方向作正方形PQEF已知AB10，tanA，BPAQ（1）若点P运动到AB中点处，求正方形PQEF的边长；（2）若点E落在ABC的一边上，求BP长；（3）在点P、Q的运动过程中，APQ的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）或；（3）存在，10【解析】【分析】（1）如图1中，过点作于利用勾股定理求解即可（2）分两种情形：如图中，当点落在上时，证明，由此构建方程求
22、解即可如图中，过点作于，于设由，推出，由此构建方程求解即可（3）如图3中，设，过点作于构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可【详解】解：（1）如图1中，过点作于，正方形的边长为（2）如图中，当点落在上时，如图中，过点作于，于设，四边形是矩形，在中，在中，综上所述，满足条件的的值为或（3）存在理由：如图3中，设，过点作于在中，时，的面积最大，最大值为10【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题2（2021江苏盐城三
23、模）【阅读理解】设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”例如：如图1，矩形中，若，则称为边的“和谐点”【解题运用】已知，点在矩形内部，且，（1）设是边的“和谐点”，则_边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接，求的值（2）若是边的“和谐点”，连接，当时，求的值；（3）如图2，若是边的“和谐点”，连接；，求的最大值【答案】（1）是；PA=5；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）连接、，根据“和谐点”的定义及矩形的性质可得，利用SAS可证明，得，即可得出结论；过点P作PEAD于E，延长EP交BC于G，作PFAB于F，根据“和谐点”的定义可得EG为AD的垂直
24、平分线，可得PF=4，PG=10-PE，根据列方程可求出PE的长，利用勾股定理即可得答案；（2）先由“和谐点”的定义得，点在和的垂直平分线上，过点作于，于，求出，再证，可得，设，则，解得：或，再利用勾股定理，即可求解；（3）过点作于，再证明，设，则，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可得出结论【详解】（1）是边的“和谐点”，理由如下：如图1，连接、，是边的“和谐点”，四边形是矩形，在和中，是边的“和谐点”，故答案为：是过点P作PEAD于E，延长EP交BC于G，作PFAB于F，是边的“和谐点”，EG为AD的垂直平分线，PF=4，PG=10-PE，即20+4（10-PE）=16PE，解得：P
25、E=3，PA=，（2）是边的“和谐点”，由（1）可知：也是边的“和谐点”，点在和的垂直平分线上，如图2，过点作于，于，四边形是矩形，四边形是矩形，且在矩形内部，设，则，解得：或，当时，当时，的值为或（3）如图3，过点作于，由（2）知：点在和的垂直平分线上，设，则，当时，有最大值25，有最大值，当时，的最大值是【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质、定义及判定定理是解题关键3（2021江苏苏州一模）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图像记作抛物线E，现有点和抛物
26、线E上的点，请完成下列任务；【尝试】判断点A是否在抛物线E上【发现】对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_【应用】以为边作矩形，使得其中一个顶点落在y轴上：若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符合条件的t的值【答案】（1）在抛物线上，（2）（2，0）和（1，6）（3）或或或【解析】【分析】【尝试】把点A坐标代入即可判断；【发现】把点代入，求出n是定值，可判断抛物线所过定点；【发现】如图，作矩形ABC1D1和矩形ABC2D2，过点B作BKy轴于K，过点D1作D1Gx轴于G，过点C2作C2Hy轴于H，过点B作BMx轴于M，C2H与BM交于点T分两种情形求出C、D两点坐标，
27、再利用待定系数法求出t的值即可【详解】【尝试】在抛物线上，x2时，yt（46+2）+（1t）（4+4）0，点A（2，0）在抛物线E上【发现】由得，即，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，即，将（1，n）代入yt（x23x+2）+（1t）（2x+4），得nt（1+3+2）+（1t）（2+4）6，n的值为6结合【尝试】，抛物线E总过定点A（2，0）和B（1，6）故答案为：A（2，0）和B（1，6）【应用】如图，作矩形ABC1D1和矩形ABC2D2，过点B作BNy轴于N，过点D1作D1Gx轴于G，过点C2作C2Hy轴于H，过点B作BMx轴于M，C2H与BM交于点T AM3，BM6，BN1，N
28、BC1+NBA=90，MBA+NBA=90，NBC1=MBA，BNC1=BMA=90，NBC1MBA，即，解得C1N，C1（0，），由平移可得D1（3，），同理，由OAD2MBA，得到，可得OD21，D2（0，1），由平移可得C2（3，5），抛物线总是经过A、B，符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0，）代入yt（x23x+2）+（1t）（2x+4），得到t，当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入yt（x23x+2）+（1t）（2x+4），得到t，当抛物线经过A、B、C2时，将C2（3，5）代入yt（x23x+2）+（1t）（2x+4），得到
29、t当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，1）代入yt（x23x+2）+（1t）（2x+4），得到t，综上所述，满足条件的t的值为或或或【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，灵活应用待定系数法确定函数解析式，属于中考压轴题4（2021江苏无锡一模）如图，抛物线ymx24mxn（m0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tanCAO3，sinCBO（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设D为抛物线对称轴上一点当BCD
30、的外接圆的圆心在BCD的边上时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围【答案】（1），对称轴是直线；（2）D（2，5）或D（2，）或（0，）或D（2，-1）； 或【解析】【分析】（1）先根据 ， ，得到OC=3OA，CBO=45，则OC=OB，再求出抛物线对称轴为 ，OC=n， ， ，A（，0），B（n，0），由此求出n的值即可求出抛物线的解析式；（2）当BCD的外接圆圆心在BCD边上时，BCD是直角三角形，设D（2，t），则 ，然后分别讨论当B、C、D为直角顶点时，利用勾股定理求解；由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，BCD是锐角三角形，其中D1是
31、C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置【详解】解：（1）由题意可知，COA=90， ， OC=3OA，CBO=45，OC=OB，抛物线ymx24mxn（m0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，C（0，n），抛物线对称轴为 ，OC=n， ， ，A（，0），B（n，0）， ，n=3，C（0，3），B（3，0），A（1，0），把A（1，0）代入抛物线解析式得： ，m=1，抛物线解析式为 ；（2）当BCD的外接圆圆心在BCD边上时，BCD是直角三角形，D为抛物线对称轴上的一点，设D（2，a）C（0，3）B（3，0
32、）， ，当C为直角顶点时，即，解得a=5，D（2，5）；当D为直角顶点时，即，解得 ，D（2，）或（0，）；当B为直角顶点时，即，解得a=-1，D（2，-1）；综上所述：D（2，5）或D（2，）或（0，）或D（2，-1）；由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置， 或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，两点距离公式，勾股定理，二次函数与直角三角形的综合，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解5（2021江苏一模）如图，在平面直角
33、坐标系中，已知菱形ABCD，A(3，0)，B(2，0)，D在y轴上直线l从出发，以每秒1个单位长度的速度沿向左平移，分别与交于设的面积为S，直线l平移时间为（1）求点C的坐标（2）求S与t的函数表达式；（3）过点B作，垂足为G，连接，设的面积为的面积为，当时，若点在内部（不包括边），求a的取值范围【答案】（1）C(5，4)；（2）；（3）【解析】【分析】（1）AB=2-(-3)=5=AD=CD，则OD=4，即可求解；（2）由DEFDCB，则，即可求解；（3）S1+S2=GFh=t4=t=S，求得t=2.5，得到直线l的表达式为y=x+，由点P的坐标知，点P在直线y=-x+4上，联立求出交点坐标
34、，进而求解【详解】解：（1）A(3，0)，B(2，0)，OA=3，OB=2，菱形ABCD，AB=2-(-3)=5=AD=CD，OD=4，C(5，4)；（2）由题意可知：CE=t，DE=5t，SDBC=CDOD=54=10，lBC，DEFDCB，；（3）设直线l与x轴交于点K，则BK=CE=t，lBC，EFD=CBD=CDB，EF=DE=5t，lAD，故GKB=DAO，则tanGKB=tanDAO=，sinGKB=，则sinGBK=，则KG=BKsinGBK=t，则GF=5-(5-t)-t=t，设点B到AD的距离为h，则SABD=ABOD=ADh，则h=OD=4，S1+S2=GFh=t4=t=S
35、，由（2）得：S=；，解得：(舍去)或，此时，CE=BK=，OK=2-，故点E（，4），K（，0）；设直线l的表达式为y=x+b，解得，故直线l的表达式为y=x+，P(1a，a+3)，设x=1a，y=a+3，可得y=x+4，当x=0时，y=4即点P在函数y=x+4的图像上，且图像经过点D联立并解得，两个函数的交点坐标为（，），则0xP，则01-a，解得-a1【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系6（2021江苏苏州一模）题一：已知二次函数：（为常数），当取不
36、同的值时，其图像构成一个“抛物线系”我们发现：是当取不同数值时，此二次函数的图像的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是_问题二：已知直线交轴于点.交y轴于点，抛物线（为常数）图像的顶点为（1）如图1，若点在的内部（不包括边界），求的取值范围；（2）如图2，当抛物线的图像经过点A，时，在抛物线上（的下方）是否存在点使？若存在，求出点的横坐标；若不存在请说明理由【答案】问题一：；问题二：（1）的取值范围是；（2）存在，点的横坐标为.【解析】【分析】问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为（m，2m），故设xm，则y2m2x，即可求解；问题二：（1）当顶点在y2x上和直线AB的交点左侧时，点C
37、在的内部（不包括边界），即可求解；（2）证明BQPABOABP，则PBPQ，即可求解【详解】解：问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为（m，2m），故设xm，则y2m2x，故答案为：y2x；问题二：yx2交x轴于点A，交y轴于点B，点A、B的坐标分别为（3，0）、（0，2）（1）由问题一知，顶点在y2x上，则当顶点在y2x上和直线AB的交点左侧时，点C在RtAOB的内部（不包括边界）， 故m的取值范围为0m；（2）由，解得：，抛物线：，过点作轴平行线交于点，则，又，设点的坐标为，则点的坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，由得，解得，或（舍去）所以，点的横坐标为.【点睛】主要考查了二次函数的解析式
38、的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系7（2021江苏常州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作交x轴于点C，交抛物线于点D，连接将线段沿线段平移得到（点E与点A对应、点F与点B对应），连接（1）填空：线段_；（2）若点F恰好落在直线l上，求的长；（3）连接并延长交抛物线于点Q，若，求点Q的坐标【答案】（1）；（2）6；（3）【解析】【分析】（1）根据函数解析式求出A点的坐标，即可求出OA的长；（2）添加辅助线过点E作于G
39、，根据已知点，求出直线CD和直线AD的解析式线段沿线段平移得到，可通过求得到，进而得到E点的坐标，求AF=AG+GF=AG+EG（3）添加辅助线过点D作于H，由三角函数值得到，再利用勾股定理求出G点坐标，得到直线DF的解析式，与二次函数解析式联立，即可求出交点Q【详解】解：（1）二次函数顶点是A 线段（2）如图，过点E作于G，设直线的函数表达式是，把和代入得解得 解得或（舍去）设直线的函数表达式是，把和代入得解得 ，线段沿线段平移得到，点E的横坐标是4把，代入得， （3）如图，设交直线l于点G，过点D作于H， 设，则在中，则，解得 设直线的函数表达式是，把和代入得解得解得或，（舍去）【点睛】本
40、题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、解直角三角形等综合性较强，属压轴题8（2021江苏苏州一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点C，P为线段上一动点，将射线绕P逆时针方向旋转后与函数图像交于点Q（1）求二次函数的表达式；（2）当P在二次函数对称轴上时，求此时的长； （3）求线段的最大值；（4）抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在；或【解析】【分析】（1）将A（1，0），B（4，0）代入，列方程组求a、b的值；（2）作直线yx1，证明直线PQ与直线y
41、x1平行，由A（1，0），B（4，0）求出抛物线的对称轴为直线x，再求出点P在直线x上时直线PQ的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，由此求出点Q的坐标，再求出线段PQ的长；（3）先说明点P与点A重合时，线段PQ的长最大，用此时直线PQ的解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出点Q的坐标，再求出线段PQ的长；（4）存在符合条件的点，分两种情况，一是以PQ为平行四边形的一边，另一是以PQ为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质，用直线PQ的解析式与抛物线的解析式组成方程组，用解方程组的方法求解【详解】（1）把A（1，0），B（4，0）代入，得，解得，该二次函数的表达式为（2）如图1，作QEx轴于点E，作直线yx1交y轴于点F，则F（0，1），且该直线过点A（1，0），OAOF，AOF90，OAFBPQ45，PQAF，设直线PQ的解析式为直线yxc，由A（1，0），B（4，0）得，抛物线的对称轴为直线x，当点P落在直线x上，则P（，0），c0，解得c，yx，由，得，（不符合题意，舍去），PQEQ（3）如图2，当1x4时，EQ的长随x的增大而减小当点P与点A（1，0）重合时，EQ的长最大，PQ的长也最大，此时直线PQ的解析式为yx1，由，得，（不符合题意，舍去），此时EQ4，PQEQ4，PQ的最大值为4（4）存在如图3，
