1、江苏省扬州市广陵区二校联考2020-2021学年高二下期中数学试题一单选题（共8题，每题5分）1. 甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局.用表示甲得分，则表示（ ）A. 甲赢三局B. 甲赢一局C. 甲、乙平局三次D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次2. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种3. 水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为（ ）A. B. C. D. 4. 某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”
2、的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用012表示手术不成功，3456789表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812832569683271989730537925907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）A 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 已知复数则（ ）A. B. C. D. 6. 将边长为的正方形沿对角线折成大小为的二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是（ ）A. 异面直线与所成的角为B. 是等边三角形C. 面积的最小值为D. 四面体的外接球的体积为7.
3、定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 8. 已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值,则下列结论中正确的是A. 存在 ,使得B. 存在，使得C. 的最大值为D. 的最大值为二多选题（共5题，每题至少两个正确答案，每题5分）9. 下列命题中错误的有（ ）A. 若复数满足，则是虚数；B. 若复数，则其虚部不存在；C. “”是“”的充分不必要条件；D 若复数满足，则.10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
4、以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：C. 由“第行所有数之和为”猜想：D. 由“，”猜想11. 在正方体中，分别为，的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 二面角的正切值为C. 异面直线与所成角的余弦值为D. 点到平面的距离是点到平面的距离的2倍12. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）A. 函数在时，取得极小值B. 对于，恒成立C. 若，则D. 若，对于恒成立，则最大值为，的最小值为1三填空题（共4题，每题5分）13. 若复数满足，则的最大值为_.14. 二
5、项式的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值，则展开式中项的系数是_.15. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，则：（1）球的表面积为_；（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_16. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_四解答题（共6题，第17题10分，其余每题各12分）17. 已知是复数，和都是实数.（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.18. 从，等6人中选出4人排成一排.（1）若必须被选中，有多少种排法？（2）若，三人不全被选中，有多少种排法？19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.（1）求证：平面；（
6、2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求四棱锥的体积.20. 已知函数（）（1）当时，求的单调区间；（2）若过点可作函数图像的三条不同切线，求实数的取值范围.21. 设整数，记f(x，y)=.（1）若令f(x，1)=.求：；.（2）若f(x，y)的展开式中与两项的系数相等，求的值.22. 已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，对，证明：；若恒成立，求实数范围；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围.江苏省扬州市广陵区二校联考2020-2021学年高二下期中数学试题一单选题（共8题，每题5分）1. 甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（ ）
7、A. 甲赢三局B. 甲赢一局C. 甲、乙平局三次D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】【分析】列举出的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，故有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选：D.2. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.【详解】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.故选：D【点睛】
8、本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.3. 水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出圆的面积，求导即可求得.【详解】由题意可知,水滴接触水面后半径R与时间t的关系为R=3t，则圆的面积.对t求导可得：，令t=2可得2s末时圆面积的变化速率为.故选：B4. 某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用012表示手术不成功，3456789表示手术成功，再以每3个随机数
9、为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812832569683271989730537925907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5【答案】C【解析】【分析】从随机数中观察得出三个数都是大于2的组数，从而可得概率【详解】10组随机数中，代表“3例心脏手术全部成功”的有569，683，989，537，共4个，因此概率为故选：C5. 已知复数则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘除法求解即可.【详解】.故选：A【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题.6. 将边长为的正方形沿对角线折成大
10、小为的二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是（ ）A. 异面直线与所成的角为B. 是等边三角形C. 面积的最小值为D. 四面体的外接球的体积为【答案】C【解析】【分析】证明可判断A；可知，求出各边长可判断B；证明，求出最小值可得三角形面积最小值可判断C；由题意可得点即为四面体外接球的球心，半径为的长，计算球的体积可判断D，进而可得正确选项.【详解】如图：设正方形对角线相交于点，则为和的中点，对于A：因为，所以， ，所以面，因为面，所以，即异面直线与所成的角为，故选项A不正确；对于B：， ，所以即为二面角的平面角，可得，因为，可得，所以是等边三角形，可得，而，所以不是等边三角形，故选项B不
11、正确；对于C：因为面，面，所以，当时，最小，由选项B知：是边长为 等边三角形，所以最小为，所以面积的最小值为，故选项C正确；对于D：因为，所以点即为四面体外接球的球心，且外接球半径为，所以外接球的体积为，故选项D不正确；故选：C7. 定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得的范围，从而确定它们的大小【详解】，由得，即，由得，令，恒成立，所以在递增，又，所以在上存在唯一零点，所以，则得，即
12、，令，或时，时，所以在和上是增函数，在上是减函数，而，所以上有唯一零点，所以综上故选：B【点睛】本题考查导数新定义，用导数研究方程的根，解题关键是理解新定义，对方程根的研究，通过引入新函数，利用导数确定函数的单调性，结合零点存在定理得出根（零点）的范围，从而比较大小8. 已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值,则下列结论中正确的是A. 存在 ,使得B. 存在，使得C. 的最大值为D. 的最大值为【答案】C【解析】【详解】依题，当时，递增，不可能有极大值点（若有极值也是极小值），此时有解，即有两个不等的正根，得：，由，分析得的极大值点为，在递增，在递减，当取得
13、极大值，又，即，令，原命题转化为恒成立， ，在上递增，所以的最大值为， 对、错，又，即不存在极大值点，排除，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.二多选题（共5题，每题至少两个正确答案，每题5分）9. 下列命题中错误的有（ ）A. 若复数满足，则是虚数；B. 若复数，则其虚部不存在；C. “”是“”的充分不必要条件；D. 若复
14、数满足，则.【答案】BD【解析】【分析】根据复数的定义、实数的性质判断A，由算数的分类判断B，根据充分必要条件的定义判断C，由实数的性质判断D，错误的可举反例【详解】时，因此当时，一定是虚数，A正确；若是实数，则它作为复数，其虚部为0，不是不存在，B错误；时，满足，但时，也满足，因此C正确；当时，但，D错故选：BD10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数
15、的和”猜想：C. 由“第行所有数之和为”猜想：D. 由“，”猜想【答案】ABC【解析】【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.11. 在正方体中，分别为，的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 二面角的正切值为C. 异面直线与所成角的余弦值为D. 点到平面的距离是点到平面的距离的2倍【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A：由以及与不垂直，可知A错误；对于选项B：根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知B正确；对于选项C：求出的余
16、弦值可知C正确；对于选项D：利用等体积法，可求得结果.【详解】对于选项A：因为，所以不是等腰三角形，所以与不垂直，因为，所以与不垂直，故A错误；对于选项B：过作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，而，平面，所以平面，平面，因此，所以是二面角的平面角，设正方体的棱长为2，因为与相似，所以有，在中，故B正确；对于选项C：因为，所以异面直线与所成的角为，设正方体的棱长为2，则，在中，故C正确；对于选项D：设正方体的棱长为2，设点到平面的距离与点到平面的距离分别为，,则，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：对于B，利用线面垂直的判定定理求解是关键，对于D，利用等体积法，求点到平面的距离与
17、点到平面的距离的比值是关键.12. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）A. 函数时，取得极小值B. 对于，恒成立C. 若，则D. 若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1【答案】BD【解析】【分析】利用导数，结合极值的定义、函数的单调性、导数的几何意义进行逐一判断即可.【详解】，当时，所以函数单调递减，而，所以不是函数的极值点，故选项A不正确；当时，函数单调递减，有，所以选项B正确；构造函数，由上可知：当，恒成立，所以，因此函数在时，单调递减，因此当时，所以选项C不正确；由上可知：函数在时，单调递减，所以有，因此的最大值为，由，有，函数在原点处的切线为：，所以有，因此的最小值为1，所以本选项
18、正确，故选：BD【点睛】关键点睛：利用导数判断函数的单调性，导数的几何意义是解题的关键.三填空题（共4题，每题5分）13. 若复数满足，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】设复数在复平面内对应点的坐标为：，由可知：点在以为圆心，半径为2的圆上，表示该圆上的点到的距离，因此的最大值为：，故答案为：14. 二项式的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值，则展开式中项的系数是_.【答案】【解析】【分析】先根据条件确定的值，再根据二项展开式通项公式求结果.【详解】因为仅有第九项的二项式系数取得最大值，所以展开式有项，所以，可得，因为二
19、项式展开式的通项为：，所以，可得，所以展开式中项的系数是，故答案为：15. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，则：（1）球的表面积为_；（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_【答案】 . . 【解析】分析】（1）根据垂直关系,可将三棱锥可放入以为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,进而求解即可；（2）易得为底面的外接圆圆心,当截面时,截面面积最小,即截面为平面,求解即可.【详解】（1）由题,根据勾股定理可得,则可将三棱锥可放入以为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即,则,所以球的表面积为；（2）由题,因为,所以为底面的外接圆圆心,
20、当截面时,截面面积最小,即截面为平面,则外接圆半径为,故截面面积为故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查球的表面积,考查转化思想,考查空间想象能力.16. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将问题转化为不等式对任意的恒成立，即恒成立，也即对任意的恒成立构造函数，则有，根据函数的单调性及和的取值范围可得所求结果【详解】由得，即对任意的恒成立设，则恒成立，又，当时，单调递减；当时，单调递增画出图象为当时，此时函数单调递增，即，所以恒成立，恒成立设，则，则当时，单调递增；当时，单调递减，当时，由，结合函数的图象可得，即恒成立综上可得实
21、数的取值范围是故答案为【点睛】本题难度较大，解题的关键是将所给的不等式进行变形，得到的形式，然后构造出函数，得到恒成立，通过函数的单调性及和的取值进一步得到所求，考查分析问题和解决问题的能力四解答题（共6题，第17题10分，其余每题各12分）17. 已知是复数，和都是实数.（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，代入和化简，由它们都是实数可得；（2）设，代入方程，由复数相等的定义计算可得【详解】（1）设，所以，所以，所以；（2）设，又，所以，解得所以18. 从，等6人中选出4人排成一排.（1）若必须被选中，有多少种排法？（2）若，三人不
22、全被选中，有多少种排法？【答案】（1）240；（2）288.【解析】【分析】（1）运用排列定义进行求解即可；（2）根据题意运用分类计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可.【详解】（1）从，等6人中选出4人排成一排，因为必须被选中，所以有种排法；（2）当，三人中只有一人被选中，则有，当，三人中只有二人被选中，则有，因此，三人不全被选中，有种不同的排法.19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取棱的中点，连接，根据面面垂直的性质
23、定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面角的定义进行求解即可；（3）把四棱锥的体积转化为三棱锥的体积进行求解即可.【详解】（1）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，平面，所以平面；（2）解：连接，由（1）中平面，可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，所以，直线与平面所成角的正弦值为.（3）因为平面，又平面，故，所以，所以因为平面，平面，所以,所以，所以.20. 已知函数（）（1）当时，求的单调区间；（2）若过点可作函数图像的三条不同切线，求实数的取值范围.【答案】（1）单调区间：，；（2）
24、.【解析】【分析】（1）求出当时f(x)的导数，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（2）设点是函数f(x)图象上的切点,求得切线的方程，代入点，可得方程有三个不同的实数解，设，求出导数，利用极值列不等式即可实数的取值范围.【详解】（1）当时，.令，解得：；令，解得：或；所以的单增区间为，的单减区间为和.（2）设点是函数f(x)图象上的切点，则过点A的切线斜率，所以过点A的切线方程为. 因为点在该切线上，所以.若过点可作函数图像的三条不同切线，则关于t的方程有三个不同的实数根.记，则其图像与x轴由三个不同的交点.令，解得：t=0或t=a.由三次函数的图像可知：只需，即，即，解得
25、：.所以实数a的范围为.21. 设整数，记f(x，y)=.（1）若令f(x，1)=.求：；.（2）若f(x，y)的展开式中与两项的系数相等，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）利用赋值法，令，即可求出；利用倒序相加求和法，以及二项式系数的性质即可求出； （2）由，利用二项式定理可知， 项仅出现在时的展开式中，可求得 项系数，再利用项仅出现在的展开式中，可求得 项系数，即可列式求解【详解】（1） 因为f(x，1)=. 所以. 由 得，设T=，则 T=.两式相加得，所以 ，即= （2）因为，其中 项仅出现在时的展开式中， 项系数为；而 项仅出现在时的展开式中， 项系数为，因此有 ，
26、注意到，化简得，故只能是 为奇数且.解得.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，倒序相加求和法的应用，以及利用指定项的系数求参数，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题22. 已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，对，证明：；若恒成立，求实数的范围；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断函数的单调性，利用函数的单调性进行证明即可；构造新函数，利用导数判断所构造函数的单调性分类讨论进行求解即可；（2）对函数进行求导，根据导函数的正负性，结合零点的性质分类讨论进行求解即可.【详解】（
27、1）当时，于是，.又因为，当时，且.故当时，即.所以，函数为上的增函数，于是，.因此，对，；时，恒成立，恒成立.令，.当时，由（1）可知，在上为增函数，恒成立.成立.当时，由（1）可知在上增.而又.存在，使得.0极小值.（舍去）.综上，.（2）由题意在上存在极值，则在上存在零点，当时，为上的增函数，注意到，所以，存在唯一实数，使得成立.于是，当时，为上的减函数；当时，为上的增函数；所以为函数的极小值点；当时，在上成立，所以在上单调递增，所以在上没有极值；当时，在上成立，所以在上单调递减，所以在上没有极值，综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题一般利用构造函数法，利用导数得到函数的单调性，根据单调性进行求解.
