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江苏省扬州市广陵区二校联考2020-2021学年高二下期中数学试题(含答案解析)

1、江苏省扬州市广陵区二校联考2020-2021学年高二下期中数学试题一单选题(共8题,每题5分)1. 甲、乙两人下象棋,赢了得分,平局得分,输了得分,共下三局.用表示甲得分,则表示( )A. 甲赢三局B. 甲赢一局C. 甲、乙平局三次D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次2. 把4本不同的书分给3名同学,每个同学至少一本,则不同的分发数为( )A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种3. 水滴在水面上形成同心圆,边上的圆半径以的速度向外扩大,则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为( )A. B. C. D. 4. 某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”

2、的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数,由于成功率是0.7,故我们用012表示手术不成功,3456789表示手术成功,再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数:812832569683271989730537925907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )A 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 已知复数则( )A. B. C. D. 6. 将边长为的正方形沿对角线折成大小为的二面角,点为线段上的一动点,下列结论正确的是( )A. 异面直线与所成的角为B. 是等边三角形C. 面积的最小值为D. 四面体的外接球的体积为7.

3、定义方程的实根叫做函数的“新驻点”,若函数,的“新驻点”分别为,则,的大小关系为( )A. B. C. D. 8. 已知为自然对数的底数,设函数存在极大值点,且对于的任意可能取值,恒有极大值,则下列结论中正确的是A. 存在 ,使得B. 存在,使得C. 的最大值为D. 的最大值为二多选题(共5题,每题至少两个正确答案,每题5分)9. 下列命题中错误的有( )A. 若复数满足,则是虚数;B. 若复数,则其虚部不存在;C. “”是“”的充分不必要条件;D 若复数满足,则.10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.

4、以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想:B. 由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想:C. 由“第行所有数之和为”猜想:D. 由“,”猜想11. 在正方体中,分别为,的中点,则下列结论中正确的是( )A. B. 二面角的正切值为C. 异面直线与所成角的余弦值为D. 点到平面的距离是点到平面的距离的2倍12. 已知函数,下列结论中正确的是( )A. 函数在时,取得极小值B. 对于,恒成立C. 若,则D. 若,对于恒成立,则最大值为,的最小值为1三填空题(共4题,每题5分)13. 若复数满足,则的最大值为_.14. 二

5、项式的展开式中,仅有第九项的二项式系数取得最大值,则展开式中项的系数是_.15. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上,平面,则:(1)球的表面积为_;(2)若是的中点,过点作球的截面,则截面面积的最小值是_16. 设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是_四解答题(共6题,第17题10分,其余每题各12分)17. 已知是复数,和都是实数.(1)求复数;(2)设关于的方程有实根,求纯虚数.18. 从,等6人中选出4人排成一排.(1)若必须被选中,有多少种排法?(2)若,三人不全被选中,有多少种排法?19. 如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,为等边三角形,平面平面,.(1)求证:平面;(

6、2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求四棱锥的体积.20. 已知函数()(1)当时,求的单调区间;(2)若过点可作函数图像的三条不同切线,求实数的取值范围.21. 设整数,记f(x,y)=.(1)若令f(x,1)=.求:;.(2)若f(x,y)的展开式中与两项的系数相等,求的值.22. 已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,对,证明:;若恒成立,求实数范围;(2)若函数在上存在极值,求实数的取值范围.江苏省扬州市广陵区二校联考2020-2021学年高二下期中数学试题一单选题(共8题,每题5分)1. 甲、乙两人下象棋,赢了得分,平局得分,输了得分,共下三局.用表示甲的得分,则表示( )

7、A. 甲赢三局B. 甲赢一局C. 甲、乙平局三次D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】【分析】列举出的所有可能的情况,由此可得出合适的选项.【详解】甲、乙两人下象棋,赢了得分,平局得分,输了得分,故有两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次,故选:D.2. 把4本不同的书分给3名同学,每个同学至少一本,则不同的分发数为( )A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】根据题意可知一名同学分得两本书,其余两名同学各分得一本书,利用排列组合数进行计算.【详解】根据题意可知一名同学分得两本书,其余两名同学各分得一本书,不同的分发数为种.故选:D【点睛】

8、本题考查简单的排列组合问题,属于基础题.3. 水滴在水面上形成同心圆,边上的圆半径以的速度向外扩大,则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出圆的面积,求导即可求得.【详解】由题意可知,水滴接触水面后半径R与时间t的关系为R=3t,则圆的面积.对t求导可得:,令t=2可得2s末时圆面积的变化速率为.故选:B4. 某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数,由于成功率是0.7,故我们用012表示手术不成功,3456789表示手术成功,再以每3个随机数

9、为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数:812832569683271989730537925907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5【答案】C【解析】【分析】从随机数中观察得出三个数都是大于2的组数,从而可得概率【详解】10组随机数中,代表“3例心脏手术全部成功”的有569,683,989,537,共4个,因此概率为故选:C5. 已知复数则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘除法求解即可.【详解】.故选:A【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题.6. 将边长为的正方形沿对角线折成大

10、小为的二面角,点为线段上的一动点,下列结论正确的是( )A. 异面直线与所成的角为B. 是等边三角形C. 面积的最小值为D. 四面体的外接球的体积为【答案】C【解析】【分析】证明可判断A;可知,求出各边长可判断B;证明,求出最小值可得三角形面积最小值可判断C;由题意可得点即为四面体外接球的球心,半径为的长,计算球的体积可判断D,进而可得正确选项.【详解】如图:设正方形对角线相交于点,则为和的中点,对于A:因为,所以, ,所以面,因为面,所以,即异面直线与所成的角为,故选项A不正确;对于B:, ,所以即为二面角的平面角,可得,因为,可得,所以是等边三角形,可得,而,所以不是等边三角形,故选项B不

11、正确;对于C:因为面,面,所以,当时,最小,由选项B知:是边长为 等边三角形,所以最小为,所以面积的最小值为,故选项C正确;对于D:因为,所以点即为四面体外接球的球心,且外接球半径为,所以外接球的体积为,故选项D不正确;故选:C7. 定义方程的实根叫做函数的“新驻点”,若函数,的“新驻点”分别为,则,的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出导函数,由导函数与原函数相等列出方程,直接解得,再引入新函数,利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间,得的范围,从而确定它们的大小【详解】,由得,即,由得,令,恒成立,所以在递增,又,所以在上存在唯一零点,所以,则得,即

12、,令,或时,时,所以在和上是增函数,在上是减函数,而,所以上有唯一零点,所以综上故选:B【点睛】本题考查导数新定义,用导数研究方程的根,解题关键是理解新定义,对方程根的研究,通过引入新函数,利用导数确定函数的单调性,结合零点存在定理得出根(零点)的范围,从而比较大小8. 已知为自然对数的底数,设函数存在极大值点,且对于的任意可能取值,恒有极大值,则下列结论中正确的是A. 存在 ,使得B. 存在,使得C. 的最大值为D. 的最大值为【答案】C【解析】【详解】依题,当时,递增,不可能有极大值点(若有极值也是极小值),此时有解,即有两个不等的正根,得:,由,分析得的极大值点为,在递增,在递减,当取得

13、极大值,又,即,令,原命题转化为恒成立, ,在上递增,所以的最大值为, 对、错,又,即不存在极大值点,排除,故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值,属于难题.求函数极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数;(3) 解方程求出函数定义域内的所有根;(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值.二多选题(共5题,每题至少两个正确答案,每题5分)9. 下列命题中错误的有( )A. 若复数满足,则是虚数;B. 若复数,则其虚部不存在;C. “”是“”的充分不必要条件;D. 若复

14、数满足,则.【答案】BD【解析】【分析】根据复数的定义、实数的性质判断A,由算数的分类判断B,根据充分必要条件的定义判断C,由实数的性质判断D,错误的可举反例【详解】时,因此当时,一定是虚数,A正确;若是实数,则它作为复数,其虚部为0,不是不存在,B错误;时,满足,但时,也满足,因此C正确;当时,但,D错故选:BD10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想:B. 由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数

15、的和”猜想:C. 由“第行所有数之和为”猜想:D. 由“,”猜想【答案】ABC【解析】【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确;,故D错误.故选:ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理,属于基础题.11. 在正方体中,分别为,的中点,则下列结论中正确的是( )A. B. 二面角的正切值为C. 异面直线与所成角的余弦值为D. 点到平面的距离是点到平面的距离的2倍【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A:由以及与不垂直,可知A错误;对于选项B:根据线面垂直的判定定理和性质,结合二面角的定义可知B正确;对于选项C:求出的余

16、弦值可知C正确;对于选项D:利用等体积法,可求得结果.【详解】对于选项A:因为,所以不是等腰三角形,所以与不垂直,因为,所以与不垂直,故A错误;对于选项B:过作,垂足为,连接,因为平面,平面,所以,而,平面,所以平面,平面,因此,所以是二面角的平面角,设正方体的棱长为2,因为与相似,所以有,在中,故B正确;对于选项C:因为,所以异面直线与所成的角为,设正方体的棱长为2,则,在中,故C正确;对于选项D:设正方体的棱长为2,设点到平面的距离与点到平面的距离分别为,,则,所以,故D正确.故选:BCD.【点睛】关键点睛:对于B,利用线面垂直的判定定理求解是关键,对于D,利用等体积法,求点到平面的距离与

17、点到平面的距离的比值是关键.12. 已知函数,下列结论中正确的是( )A. 函数时,取得极小值B. 对于,恒成立C. 若,则D. 若,对于恒成立,则的最大值为,的最小值为1【答案】BD【解析】【分析】利用导数,结合极值的定义、函数的单调性、导数的几何意义进行逐一判断即可.【详解】,当时,所以函数单调递减,而,所以不是函数的极值点,故选项A不正确;当时,函数单调递减,有,所以选项B正确;构造函数,由上可知:当,恒成立,所以,因此函数在时,单调递减,因此当时,所以选项C不正确;由上可知:函数在时,单调递减,所以有,因此的最大值为,由,有,函数在原点处的切线为:,所以有,因此的最小值为1,所以本选项

18、正确,故选:BD【点睛】关键点睛:利用导数判断函数的单调性,导数的几何意义是解题的关键.三填空题(共4题,每题5分)13. 若复数满足,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据复数模的几何意义,结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】设复数在复平面内对应点的坐标为:,由可知:点在以为圆心,半径为2的圆上,表示该圆上的点到的距离,因此的最大值为:,故答案为:14. 二项式的展开式中,仅有第九项的二项式系数取得最大值,则展开式中项的系数是_.【答案】【解析】【分析】先根据条件确定的值,再根据二项展开式通项公式求结果.【详解】因为仅有第九项的二项式系数取得最大值,所以展开式有项,所以,可得,因为二

19、项式展开式的通项为:,所以,可得,所以展开式中项的系数是,故答案为:15. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上,平面,则:(1)球的表面积为_;(2)若是的中点,过点作球的截面,则截面面积的最小值是_【答案】 . . 【解析】分析】(1)根据垂直关系,可将三棱锥可放入以为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,进而求解即可;(2)易得为底面的外接圆圆心,当截面时,截面面积最小,即截面为平面,求解即可.【详解】(1)由题,根据勾股定理可得,则可将三棱锥可放入以为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即,则,所以球的表面积为;(2)由题,因为,所以为底面的外接圆圆心,

20、当截面时,截面面积最小,即截面为平面,则外接圆半径为,故截面面积为故答案为:(1);(2)【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查球的表面积,考查转化思想,考查空间想象能力.16. 设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将问题转化为不等式对任意的恒成立,即恒成立,也即对任意的恒成立构造函数,则有,根据函数的单调性及和的取值范围可得所求结果【详解】由得,即对任意的恒成立设,则恒成立,又,当时,单调递减;当时,单调递增画出图象为当时,此时函数单调递增,即,所以恒成立,恒成立设,则,则当时,单调递增;当时,单调递减,当时,由,结合函数的图象可得,即恒成立综上可得实

21、数的取值范围是故答案为【点睛】本题难度较大,解题的关键是将所给的不等式进行变形,得到的形式,然后构造出函数,得到恒成立,通过函数的单调性及和的取值进一步得到所求,考查分析问题和解决问题的能力四解答题(共6题,第17题10分,其余每题各12分)17. 已知是复数,和都是实数.(1)求复数;(2)设关于的方程有实根,求纯虚数.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)设,代入和化简,由它们都是实数可得;(2)设,代入方程,由复数相等的定义计算可得【详解】(1)设,所以,所以,所以;(2)设,又,所以,解得所以18. 从,等6人中选出4人排成一排.(1)若必须被选中,有多少种排法?(2)若,三人不

22、全被选中,有多少种排法?【答案】(1)240;(2)288.【解析】【分析】(1)运用排列定义进行求解即可;(2)根据题意运用分类计数原理,结合排列和组合的定义进行求解即可.【详解】(1)从,等6人中选出4人排成一排,因为必须被选中,所以有种排法;(2)当,三人中只有一人被选中,则有,当,三人中只有二人被选中,则有,因此,三人不全被选中,有种不同的排法.19. 如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,为等边三角形,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】【分析】(1)取棱的中点,连接,根据面面垂直的性质

23、定理,结合线面垂直的判定定理进行证明即可;(2)根据线面角的定义进行求解即可;(3)把四棱锥的体积转化为三棱锥的体积进行求解即可.【详解】(1)证明:取棱的中点,连接,依题意,得,又因为平面平面,平面平面,所以平面,又平面,故,又已知,平面,所以平面;(2)解:连接,由(1)中平面,可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形,且为的中点,所以,又,在中,所以,直线与平面所成角的正弦值为.(3)因为平面,又平面,故,所以,所以因为平面,平面,所以,所以,所以.20. 已知函数()(1)当时,求的单调区间;(2)若过点可作函数图像的三条不同切线,求实数的取值范围.【答案】(1)单调区间:,;(2)

24、.【解析】【分析】(1)求出当时f(x)的导数,由导数大于0,可得增区间;由导数小于0,可得减区间;(2)设点是函数f(x)图象上的切点,求得切线的方程,代入点,可得方程有三个不同的实数解,设,求出导数,利用极值列不等式即可实数的取值范围.【详解】(1)当时,.令,解得:;令,解得:或;所以的单增区间为,的单减区间为和.(2)设点是函数f(x)图象上的切点,则过点A的切线斜率,所以过点A的切线方程为. 因为点在该切线上,所以.若过点可作函数图像的三条不同切线,则关于t的方程有三个不同的实数根.记,则其图像与x轴由三个不同的交点.令,解得:t=0或t=a.由三次函数的图像可知:只需,即,即,解得

25、:.所以实数a的范围为.21. 设整数,记f(x,y)=.(1)若令f(x,1)=.求:;.(2)若f(x,y)的展开式中与两项的系数相等,求的值.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)利用赋值法,令,即可求出;利用倒序相加求和法,以及二项式系数的性质即可求出; (2)由,利用二项式定理可知, 项仅出现在时的展开式中,可求得 项系数,再利用项仅出现在的展开式中,可求得 项系数,即可列式求解【详解】(1) 因为f(x,1)=. 所以. 由 得,设T=,则 T=.两式相加得,所以 ,即= (2)因为,其中 项仅出现在时的展开式中, 项系数为;而 项仅出现在时的展开式中, 项系数为,因此有 ,

26、注意到,化简得,故只能是 为奇数且.解得.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,赋值法,倒序相加求和法的应用,以及利用指定项的系数求参数,意在考查学生的数学运算能力,属于中档题22. 已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,对,证明:;若恒成立,求实数的范围;(2)若函数在上存在极值,求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)对函数进行求导,根据导函数的正负性判断函数的单调性,利用函数的单调性进行证明即可;构造新函数,利用导数判断所构造函数的单调性分类讨论进行求解即可;(2)对函数进行求导,根据导函数的正负性,结合零点的性质分类讨论进行求解即可.【详解】(

27、1)当时,于是,.又因为,当时,且.故当时,即.所以,函数为上的增函数,于是,.因此,对,;时,恒成立,恒成立.令,.当时,由(1)可知,在上为增函数,恒成立.成立.当时,由(1)可知在上增.而又.存在,使得.0极小值.(舍去).综上,.(2)由题意在上存在极值,则在上存在零点,当时,为上的增函数,注意到,所以,存在唯一实数,使得成立.于是,当时,为上的减函数;当时,为上的增函数;所以为函数的极小值点;当时,在上成立,所以在上单调递增,所以在上没有极值;当时,在上成立,所以在上单调递减,所以在上没有极值,综上所述,使在上存在极值的的取值范围是.【点睛】方法点睛:对于不等式恒成立问题一般利用构造函数法,利用导数得到函数的单调性,根据单调性进行求解.