1、 2021 年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（三）年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（三） 一、选择题（一、选择题（124 分）分） 1 （4 分）18 的倒数的相反数是（ ） A18 B18 C118 D118 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A + = + B2 3 =6 Cx5x6x30 D （x2）5x10 3 （4 分）2020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22 纳米0.000000022 米，将 0.000000022 用科
2、学记数法表示为（ ） A2.2108 B2.2108 C0.22107 D22109 4 （4 分）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则1 的度数为（ ） A30 B45 C55 D60 5 （4 分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛那么应选（ ）去 甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 90 85 方差 50 42 50 42 A甲 B乙 C丙 D丁 6 （4 分）如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，OCOA，OC 交 AB 于点 P若BPC70，则A
3、BC 的度数等于（ ） A75 B70 C65 D60 7 （4 分）关于 x 的方程（x1） （x+2）p2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A两个正根 B两个负根 C一个正根，一个负根 D无实数根 8 （4 分）如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是弦，若BCD36，则ABD 等于（ ） A54 B56 C64 D66 9 （4 分）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y=的图象如图所示，则一次函数 y=xb 的图象可能是（ ） A B C D 10 （4 分）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片
4、展平后再次折叠，使点A 落在 EF 上的点 A处， 得到折痕 BM， BM 与 EF 相交于点 N 若直线 BA交直线 CD 于点 O， BC5，EN1，则 OD 的长为（ ） A123 B133 C143 D153 11 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，点 F 是 BC 边上一点，连接 AF，以 AF 为对角线作正方形 AEFG，边FG 与正方形 ABCD 的对角线 AC 相交于点 H，连接 DG以下四个结论： EABGAD； AFCAGD； 2AE2AHAC； DGAC 其中正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12 （4 分）如图，四边形 ABCD 中，ABC
5、D，ABC60，ADBCCD4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足AMD90，则点 M 到直线 BC 的距离的最小值为（ ） A23 B32 C33 2 D23 1 二、填空题（二、填空题（64 分）分） 13 （4 分）如图，直线 y=52x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到A1O1B，则点 A1的坐标是 14 （4 分） 九章算术是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程七中记载： “今有牛五、 羊二， 直金十两 牛二、 羊五， 直金八两 牛、 羊各一只直金几何？”题目大意是： 5 头
6、牛、 2 只羊共值金 10 两 2 头牛、 5 只羊共值金 8 两 1 头牛和 1 只羊值金 两 15 （4 分）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园， “国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在 A 处时，船上游客发现岸上 P1处的临皋亭和 P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶 600m 到达 B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西 15方向；当游船继续向正东方向行驶 400m 到达 C 处时，游客发现临皋亭在北偏西 60方向则临皋亭 P1处与遗爱亭 P2处之间的距离为 （计算结果保留根号） 16 （4 分）如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，
7、点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为 17 （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结论：abc0；若点 C 的坐标为（1，2） ，则ABC 的面积可以等于 2；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3其中正确结论的序号为 18（4 分） 如图， 直线 AM 的解析式为 yx+1 与 x 轴交于点 M，
8、与 y 轴交于点 A， 以 OA 为边作正方形 ABCO，点 B 坐标为（1，1） 过点 B 作 EO1MA 交 MA 于点 E，交 x 轴于点 O1，过点 O1作 x 轴的垂线交 MA于点 A1，以 O1A1为边作正方形 O1A1B1C1，点 B1的坐标为（5，3） 过点 B1作 E1O2MA 交 MA 于 E1，交 x 轴于点 O2，过点 O2作 x 轴的垂线交 MA 于点 A2以 O2A2为边作正方形 O2A2B2C2，则点 B2021的坐标 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （11 分） （1）解不等式23 +1212，并在数轴上
9、表示其解集 （2）先化简，再求代数式(1 2+1) 212+2的值，其中 x4cos301 20 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数在图象与反比例函数 y=（k0）的图象在第二象限交于点 A（3，m） ，B（n，2）两点 （1）当 m1 时，求一次函数的解析式 （2）若点 E 在 x 轴上，满足AEB90，且 AE2m，分别连接 OA，OB，求OAB 的面积 21 （10 分）某单位食堂为全体 960 名职工提供了 A，B，C，D 四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好 情况，单位随机抽取 240 名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种） ”问卷调查根据调查结果绘制
10、了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的 240 人中最喜欢 A 套餐的人数为 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 ； （2）依据本次调查的结果，估计全体 960 名职工中最喜欢 B 套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员” ，求甲被选到的概率 22 （11 分）倡导垃圾分类，共享绿色生活为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出 A型和 B 型两款垃圾分拣机器人，已知 2 台 A 型机器人和 5 台 B 型机器人同时工作 2h 共分拣垃圾 3.6 吨，3 台 A 型机器人和 2 台 B 型机器人同时工作 5h 共分拣垃
11、圾 8 吨 （1）1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ （2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 A 型和 B 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾 20 吨设购买 A 型机器人 a 台（10a45） ，B 型机器人 b 台，请用含 a 的代数式表示 b； （3）机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于 30 台 购买数量不少于 30 台 A 型 20 万元/台 原价购买 打九折 B 型 12 万元/台 原价购买 打八折 在（2）的条件下，设购买总费用为 w 万元，问如何购买使得总费用 w 最少？请说明理由 23 （12 分）如图 1，已
12、知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AEADEC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F，AFAB （1）求证：BDEC； （2）如图 2，连接 AG，已知：EG8，DG2，求 AG 的长 24 （12 分）问题背景 如图（1） ，已知ABCADE，求证：ABDACE； 尝试应用 如图（2） ，在ABC 和ADE 中，BACDAE90，ABCADE30，AC 与 DE相交于点 F，点 D 在 BC 边上，=3，求的值； 拓展创新 如图（3） ，D 是ABC 内一点，BADCBD30，BDC90，AB4，AC23，直接写出 AD 的长 25 （13 分）在平面直角坐
13、标系 xOy 中，已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2） 如图 1， 点 D 为第四象限抛物线上一点， 连接 AD， BC 交于点 E， 连接 BD， 记BDE 的面积为 S1，ABE 的面积为 S2，求12的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点 P，Q，使PQBCAB？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年山东省泰安市新泰市中考数学综
14、合能力训练试卷（三）年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（三） 答案与解析答案与解析 一、选择题（一、选择题（12×4 分）分） 1 （4 分）18 的倒数的相反数是（ ） A18 B18 C118 D118 【分析】直接利用倒数以及相反数的定义分析得出答案 【解答】解：18 的倒数为：118，则118的相反数是：118 故选：C 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A + = + B2 3 =6 Cx5x6x30 D （x2）5x10 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、 + = + ，不符合题意； B、原式6a，不符合题意； C、原式x11，不符合题
15、意； D、原式x10，符合题意 故选：D 3 （4 分）2020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22 纳米0.000000022 米，将 0.000000022 用科学记数法表示为（ ） A2.2108 B2.2108 C0.22107 D22109 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：将 0.00
16、0000022 用科学记数法表示为 2.2108 故选：B 4 （4 分）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则1 的度数为（ ） A30 B45 C55 D60 【分析】根据平行线的性质即可得到结论 【解答】解：ABCD， 1D45， 故选：B 5 （4 分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛那么应选（ ）去 甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 90 85 方差 50 42 50 42 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人
17、中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案 【解答】解：乙= 丙甲= 丁， 四位同学中乙、丙的平均成绩较好， 又乙2丙2， 乙的成绩比丙的成绩更加稳定， 综上，乙的成绩好且稳定， 故选：B 6 （4 分）如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，OCOA，OC 交 AB 于点 P若BPC70，则ABC 的度数等于（ ） A75 B70 C65 D60 【分析】先利用对顶角相等和互余得到A20，再利用等腰三角形的性质得到OBAA20，然后根据切线的性质得到 OBBC，从而利用互余计算出ABC 的度数 【解答】解：OCOA， AOC90， APOBPC70， A907020， OAOB，
18、 OBAA20， BC 为O 的切线， OBBC， OBC90， ABC902070 故选：B 7 （4 分）关于 x 的方程（x1） （x+2）p2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A两个正根 B两个负根 C一个正根，一个负根 D无实数根 【分析】先把方程（x1） （x+2）p2化为 x2+x2p20，再根据 b24ac1+8+4p20 可得方程有两个不相等的实数根，由2p20 即可得出结论 【解答】解：关于 x 的方程（x1） （x+2）p2（p 为常数） ， x2+x2p20， b24ac1+8+4p29+4p20， 方程有两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，方程
19、的两个根的积为2p20， 一个正根，一个负根， 故选：C 8 （4 分）如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是弦，若BCD36，则ABD 等于（ ） A54 B56 C64 D66 【分析】 根据 AB 是O 的直径， 可得ADB90， 根据同弧所对圆周角相等可得DABBCD36，进而可得ABD 的度数 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90， DABBCD36， ABDADBDAB， 即ABD90DAB903654 故选：A 9 （4 分）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y=的图象如图所示，则一次函数 y=xb 的图象可能是（ ） A B C D
20、【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出 a0、b0、c0，由此即可得出 0，b0，即可得出一次函数 y=xb 的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论 【解答】解：二次函数开口向下， a0； 二次函数的对称轴在 y 轴右侧，左同右异， b 符号与 a 相异，b0； 反比例函数图象经过一三象限，c0， 0，b0， 一次函数 y=xb 的图象经过二三四象限 故选：B 10 （4 分）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平后再次折叠，使点A 落在 EF 上的点 A处， 得到折痕 BM， BM 与 EF 相交于点 N 若
21、直线 BA交直线 CD 于点 O， BC5，EN1，则 OD 的长为（ ） A123 B133 C143 D153 【分析】方法一：根据中位线定理可得 AM2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得 AMAN2，过 M 点作 MGEF 于 G，可求 AG，根据勾股定理可求 MG，进一步得到 BE，再根据平行线分线段成比例可求 OF，从而得到 OD 方法二：连接 AA根据折叠的性质，易得ABA为等边三角形，进而得出ABMABMABC30，进而求解 方法 3：利用斜边中线等于斜边一半求解 【解答】解一：EN1， 由中位线定理得 AM2， 由折叠的性质可得 AM2， ADEF， AMBANM， AMB
22、AMB， ANMAMB， AN2， AE3，AF2 过 M 点作 MGEF 于 G， NGEN1， AG1， 由勾股定理得 MG= 22 12= 3， BEDFMG= 3， OF：BE2：3， 解得 OF=233， OD= 3 233=33 故选：B 解二：连接 AA EN1， 由中位线定理得 AM2， 对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF， AAAB， 把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A处，得到折痕 BM， ABAB，ABMABM， ABA为等边三角形， ABABAAAAB60， 又ABCBAM90， ABMABMABC30， BM2AM4，A
23、B= 3AM23 =CD 在直角OBC 中，C90，OBC30， OCBCtanOBC533=533， ODCDOC23 533=33 故选：B 方法 3：N 是 BM 中点， BNNA， NBANAB， 又ABNABN， 又BEN90， ABNNBAABN30， 又EN1， AMAM2AN， BE= 3，ABDC23，OBC30，BC5， OC=533， DO23 533=33 故选：B 11 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，点 F 是 BC 边上一点，连接 AF，以 AF 为对角线作正方形 AEFG，边FG 与正方形 ABCD 的对角线 AC 相交于点 H，连接 DG以下四个结论：
24、EABGAD； AFCAGD； 2AE2AHAC； DGAC 其中正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由正方形的性质可得EAGBAD90，FAGAFGDACACB45，AF= 2AG，AC= 2AD，可得EABDAG，可判断；由=2 =，FACDAG，可证FACDAG，可判断；通过证明AFHACF，可得=，可判断；由相似三角形的性 质可得ADGACB45，可得AND90，可判断；即可求解 【解答】解：四边形 ABCD，四边形 AEFG 都是正方形， EAGBAD90，FAGAFGDACACB45，AF= 2AG，AC= 2AD， EAGBAGBADBAG， EA
25、BDAG，故正确； AF= 2AG，AC= 2AD， =2 =， FAGCAD45， FACDAG， FACDAG，故正确， ADGACB45， 延长 DG 交 AC 于 N， CAD45，ADG45， AND90， DGAC，故正确， FACFAH，AFGACF45， AFHACF， =， AF2AHAC， 2AE2AHAC，故正确， 故选：D 12 （4 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABC60，ADBCCD4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足AMD90，则点 M 到直线 BC 的距离的最小值为（ ） A23 B32 C33 2 D23 1 【分析】 取 AD 的
26、中点 O， 连接 OM， 过点 M 作 MEBC 交 BC 的延长线于 E， 过点 O 作 OFBC 于 F，交 CD 于 G，则 OM+MEOF求出 OM，OF 即可解决问题 【解答】解：取 AD 的中点 O，连接 OM，过点 M 作 MEBC 交 BC 的延长线于 E，过点 O 作 OFBC于 F，交 CD 于 G，则 OM+MEOF AMD90，AD4，OAOD， OM=12AD2， ABCD， GCFB60， DGOCGF30， ADBC， DABB60， ADCBCD120， DOG30DGO， DGDO2， CD4， CG2， OG2ODcos3023，GF= 3，OF33， ME
27、OFOM33 2， 当 O，M，E 共线时，ME 的值最小，最小值为 33 2 故选：C 二、填空题（二、填空题（6×4 分）分） 13 （4 分）如图，直线 y=52x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到A1O1B，则点 A1的坐标是 （4，125） 【分析】首先根据直线 AB 来求出点 A 和点 B 的坐标，A1的横坐标等于 OB，而纵坐标等于 OBOA，即可得出答案 【解答】解：在 =52 + 4中，令 x0 得，y4， 令 y0，得0 =52 + 4，解得 x= 85， A（85，0） ，B（0，4） ， 由旋转可得AOB
28、A1O1B，ABA190， ABOA1BO1，BO1A1AOB90，OAO1A1=85，OBO1B4， OBO190， O1Bx 轴， 点 A1的纵坐标为 OBOA 的长，即为 485=125； 横坐标为 O1BOB4， 故点 A1的坐标是（4，125） ， 故答案为： （4，125） 14 （4 分） 九章算术是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程七中记载： “今有牛五、 羊二， 直金十两 牛二、 羊五， 直金八两 牛、 羊各一只直金几何？”题目大意是：5 头牛、2 只羊共值金 10 两2 头牛、5 只羊共值金 8 两1 头牛和 1 只羊值金 187
29、 两 【分析】设 1 头牛值金 x 两，1 只羊值金 y 两，利用总价单价数量，结合“5 头牛、2 只羊共值金 10两；2 头牛、5 只羊共值金 8 两” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，由+可得 7x+7y18，方程两边同时除以 7 即可求出结论 【解答】解：设 1 头牛值金 x 两，1 只羊值金 y 两， 依题意得：5 + 2 = 102 + 5 = 8， +得：7x+7y18， x+y=187， 即 1 头牛和 1 只羊值金187两 故答案为：187 15 （4 分）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园， “国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在
30、A 处时，船上游客发现岸上 P1处的临皋亭和 P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶 600m 到达 B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西 15方向；当游船继续向正东方向行驶 400m 到达 C 处时，游客发现临皋亭在北偏西 60方向则临皋亭 P1处与遗爱亭 P2处之间的距离为 （8002 4006）m （计算结果保留根号） 【分析】如图，作 P1MAC 于 M，设 P1Mx，在两个直角三角形中，利用三角函数即可 x 表示出 AM与 CM，根据 ACAM+CM 即可列方程，从而求得 P1M 的长，进一步求得 AP1的长，作 BNAP2于 N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出 AN
31、 与 P2N，求得 P1N，从而求得 P1P2 【解答】解：作 P1MAC 于 M， 设 P1Mxm， 在 RtP1AM 中，P1AB45， AMP1Mxm， 在 RtP1CM 中，P1CA30， MC= 3P1M= 3xm， AC1000 m， x+3 =1000，解得 x500（3 1） （m） ， P1M500（3 1）m， P1A=122=500（6 2）m， 作 BNAP2于 N， P2AB45，P2BA75， P260， 在 RtABN 中，P1AB45，AB600 m BNAN=22AB3002（m） ， P1N500（6 2）3002 =（5006 8002） （m） ， 在
32、RtP2BN 中，P260， P2N=33BN=333002 =1006 （m） ， P1P21006 （5006 8002）（8002 4006） （m） 故临摹亭 P1处与遗爱亭 P2处之间的距离是（8002 4006）m， 故答案为： （8002 4006）m 16 （4 分）如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为 412 【分析】连接 CD，证明DCHDBG，则 S四边形DGCHSBDC，求得扇形 FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得 【解答】解：连
33、接 CD， CACB，ACB90， B45， 点 D 为 AB 的中点， DC=12ABBD1，CDAB，DCA45， CDHBDG，DCHB， 在DCH 和DBG 中， = = = ， DCHDBG（ASA） ， S四边形DGCHSBDC=12SABC=1212ABCD=1421=12 S阴影S扇形DEFSBDC=901236012=412 故答案为412 17 （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结论：abc0；若点 C 的坐标为（1，2） ，则ABC 的面积可以等于 2；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是
34、抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3其中正确结论的序号为 【分析】根据函数的图象和性质即可求解 【解答】解：抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ab0，而 c0，故 abc0，正确，符合题意； ABC 的面积=12AByC=12AB22，解得：AB2，则点 A（0，0） ，即 c0 与图象不符，故错误，不符合题意； 函数的对称轴为 x1， 若 x1+x22， 则12（x1+x2）1，则点 N 离函数对称轴远，故 y1y2， 故错误，不符合题意； 抛物线经过点（3，1） ，则 yax2+bx+c+1
35、过点（3，0） ， 根据函数的对称轴该抛物线也过点（1，0） ，故方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3，故正确，符合题意； 故答案为： 18（4 分） 如图， 直线 AM 的解析式为 yx+1 与 x 轴交于点 M， 与 y 轴交于点 A， 以 OA 为边作正方形 ABCO，点 B 坐标为（1，1） 过点 B 作 EO1MA 交 MA 于点 E，交 x 轴于点 O1，过点 O1作 x 轴的垂线交 MA于点 A1，以 O1A1为边作正方形 O1A1B1C1，点 B1的坐标为（5，3） 过点 B1作 E1O2MA 交 MA 于 E1，交 x 轴于点 O2，过点 O2作 x 轴的垂线交 MA
36、 于点 A2以 O2A2为边作正方形 O2A2B2C2，则点 B2021的坐标 （2320211，32021） 【分析】由 B 坐标为（1，1）根据题意可得 A1的坐标，进而可得 B1的坐标，继续求得 B2，B3，B4的坐标，根据这 4 个点的坐标得出规律，再按规律进行计算即可解答 【解答】解：点 B 坐标为（1，1） ， OAABBCCOCO11， A1（2，3） ， A1O1A1B1B1C1C1O23， B1（5，3） ， A2（8，9） ， A2O2A2B2B2C2C2O39， B2（17，9） ， 同理可得：B3（53，27， ） ， B4（161，81） ， . 由上可知，Bn（23
37、n1，3n） ， 当 n2021 时，点 B2021的坐标为： （2320211，32021） ， 故答案为： （2320211，32021） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （11 分） （1）解不等式23 +1212，并在数轴上表示其解集 （2）先化简，再求代数式(1 2+1) 212+2的值，其中 x4cos301 【分析】 （1）根据解一元一次不等式的一般步骤解出不等式，在数轴上表示其解集； （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值求出 x，代入计算即可 【解答】解： （1）23x+1212x， 移项，得2
38、3x12x 12， 解得：x3， 在数轴上表示解集如图所示； （2）原式（:1:12:1）(+1)(1)2(+1) =1+12;1 =2+1， 当 x4cos301432123 1 时，原式=2231+1=33 20 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数在图象与反比例函数 y=（k0）的图象在第二象限交于点 A（3，m） ，B（n，2）两点 （1）当 m1 时，求一次函数的解析式 （2）若点 E 在 x 轴上，满足AEB90，且 AE2m，分别连接 OA，OB，求OAB 的面积 【分析】 （1）将点 A 坐标代入反比例函数解析式中求出 k，进而得出点 B 坐标，最后用待定系数
39、法求出直线 AB 的解析式； （2）先判断出 BFAE，进而得出AEGRtBFG（AAS） ，得出 AGBG，EGFG，即 BEBG+EGAG+FGAF，再求出 m= 23n，进而得出 BF2+23n，MNn+3，即 BEAFn+3，再判断出AMEENB，根据相似三角形的性质得出 ME=23BN，最后用勾股定理求出 m，根据梯形的面积公式即可得出结论 【解答】解： （1）当 m1 时，点 A（3，1） ， 点 A 在反比例函数 y=的图象上， k313， 反比例函数的解析式为 y= 3； 点 B（n，2）在反比例函数 y= 3图象上， 2n3， n= 32， 设直线 AB 的解析式为 yax+
40、b，则3 + = 132 + = 2， =23 = 3， 直线 AB 的解析式为 y=23x+3； （2）如图，过点 A 作 AMx 轴于 M，过点 B 作 BNx 轴于 N，过点 A 作 AFBN 于 F，交 BE 于 G， 则四边形 AMNF 是矩形， FNAM，AFMN， A（3，m） ，B（n，2） ， BF2m， AE2m， BFAE， 在AEG 和BFG 中， = = = 90 = ， AEGBFG（AAS） ， AGBG，EGFG， BEBG+EGAG+FGAF， 点 A（3，m） ，B（n，2）在反比例函数 y=的图象上， k3m2n， m= 23n， BFBNFNBNAM2m
41、2+23n，MNn（3）n+3， BEAFn+3， AEM+MAE90，AEM+BEN90， MAENEB， AMEENB90， AMEENB， =2;:3=2:23:3=23， ME=23BN=43， 在 RtAME 中，AMm，AE2m，根据勾股定理得，AM2+ME2AE2， m2+（43）2（2m）2， m=59， k3m= 53， 2n= 53， n= 56， A（3，59） ，B（56，2） ， AM=59，OM3，BN2，ON=56， MN=136， OAB 的面积S四边形AMNB+SBNOSAOMS四边形AMNB=12（AM+BN） MN=12 （59+2） 136=289108
42、 21 （10 分）某单位食堂为全体 960 名职工提供了 A，B，C，D 四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取 240 名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种） ”问卷调查根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的 240 人中最喜欢 A 套餐的人数为 60 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 108 ； （2）依据本次调查的结果，估计全体 960 名职工中最喜欢 B 套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员” ，求甲被选到的概率 【分析】 （1）用被调查的职工人数乘以最喜欢 A 套餐人数
43、所占百分比即可得其人数；再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出 C 对应人数，继而用 360乘以最喜欢 C 套餐人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以样本中最喜欢 B 套餐的人数所占比例即可得； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案 【解答】解： （1）在抽取的 240 人中最喜欢 A 套餐的人数为 24025%60（人） ， 则最喜欢 C 套餐的人数为 240（60+84+24）72（人） ， 扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 36072240=108， 故答案为：60、108； （2）估计全体 960 名职工中最喜欢 B 套餐的
44、人数为 96084240=336（人） ； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为 6， 甲被选到的概率为612=12 22 （11 分）倡导垃圾分类，共享绿色生活为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出 A型和 B 型两款垃圾分拣机器人，已知 2 台 A 型机器人和 5 台 B 型机器人同时工作 2h 共分拣垃圾 3.6 吨，3 台 A 型机器人和 2 台 B 型机器人同时工作 5h 共分拣垃圾 8 吨 （1）1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ （2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 A 型和 B 型垃圾分拣
45、机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾 20 吨设购买 A 型机器人 a 台（10a45） ，B 型机器人 b 台，请用含 a 的代数式表示 b； （3）机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于 30 台 购买数量不少于 30 台 A 型 20 万元/台 原价购买 打九折 B 型 12 万元/台 原价购买 打八折 在（2）的条件下，设购买总费用为 w 万元，问如何购买使得总费用 w 最少？请说明理由 【分析】 （1）设 1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时各分拣垃圾 x 吨和 y 吨，根据题意列出方程组即可求出答案 （2）根据题意列出方程即可求出答案 （3）根据 a 的
46、取值，求出 w 与 a 的函数关系，从而求出 w 的最小值 【解答】解： （1）设 1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时各分拣垃圾 x 吨和 y 吨， 由题意可知：(2 + 5) 2 = 3.6(3 + 2) 5 = 8， 解得： = 0.4 = 0.2， 答：1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时各分拣垃圾 0.4 吨和 0.2 吨 （2）由题意可知：0.4a+0.2b20， b1002a（10a45） （3）当 10a30 时， 此时 40b80， w20a+0.812（1002a）0.8a+960， 当 a10 时，此时 w 有最小值，w968， 当 30a35
47、 时， 此时 30b40， w0.920a+0.812（1002a）1.2a+960， 当 a35 时，此时 w 有最小值，w918， 当 35a45 时， 此时 10b30， w0.920a+12（1002a）6a+1200 当 a45 时， w 有最小值，此时 w930， 答：选购 A 型号机器人 35 台时，总费用 w 最少，此时需要 918 万元 23 （12 分）如图 1，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AEADEC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F，AFAB （1）求证：BDEC； （2）如图 2，连接 AG，已知：EG8，DG2，求 AG
48、 的长 【分析】 （1）由 SAS 证出AEFADB，得AEFADB，从而可推出结论； （2）在线段 EG 上取点 P，使 EPDG，由 SAS 证出AEPADG 得 APAG，EAPDAG，进而可得PAG 为等腰直角三角形，再由 EGDGEGEPPG= 2AG，即可求解 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上， EAFDAB90， 又AEAD，AFAB， AEFADB（SAS） ， AEFADB， GEB+GBEADB+ABD90， EGB90， BDEC； （2）如图，在线段 EG 上取点 P，使 EPDG， 在AEP 与ADG 中， = = = ，
49、AEPADG（SAS） ， APAG，EAPDAG， PAGPAD+DAGPAD+EAPDAE90， PAG 为等腰直角三角形， EGDGEGEPPG= 2AG， 2AG826， AG=62= 32 24 （12 分）问题背景 如图（1） ，已知ABCADE，求证：ABDACE； 尝试应用 如图（2） ，在ABC 和ADE 中，BACDAE90，ABCADE30，AC 与 DE相交于点 F，点 D 在 BC 边上，=3，求的值； 拓展创新 如图（3） ，D 是ABC 内一点，BADCBD30，BDC90，AB4，AC23，直接写出 AD 的长 【分析】问题背景 由题意得出=，BACDAE，则B
50、ADCAE，可证得结论； 尝试应用 连接 EC，证明ABCADE，由（1）知ABDACE，由相似三角形的性质得出=3，ACEABDADE，可证明ADFECF，得出=3，则可求出答案 拓展创新 过点 A 作 AB 的垂线，过点 D 作 AD 的垂线，两垂线交于点 M，连接 BM，证明BDCMDA，由相似三角形的性质得出=，证明BDMCDA，得出=3，求出 BM6，由勾股定理求出 AM，最后由直角三角形的性质可求出 AD 的长 【解答】问题背景 证明：ABCADE， =，BACDAE， BADCAE，=， ABDACE； 尝试应用 解：如图 1，连接 EC， BACDAE90，ABCADE30，
