1、2021 年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（一）年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（一） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分）分） 1|2021|的相反数是（ ） A2021 B C2021 D 2下列运算中，正确的是（ ） Aa2a3a5 B2aa2 C （a+b）2a2+b2 D2a+3b5ab 3一条信息在一周内被转发 0.0000218 亿次，将数据 0.0000218 用科学记数法表示为（ ） A2.1810 6 B2.18106 C21.810 5 D2.1810 5 4如图，在 RtABC 中，CM 平分AC
2、B 交 AB 于点 M，且 MN 平分AMC，若 AN1（ ） A4 B6 C D8 5 某班组织了一次读书活动， 统计了10 名同学在一周内的读书时间， 他们一周内的读书时间累计如表 （ ） 一周内累计的读 书时间（小时） 5 8 10 14 人数（个） 1 4 3 2 A8 B7 C9 D10 6如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若 O 的半径为 4，则 PA 的长为（ ） A4 B2 C3 D2.5 7一元二次方程 y2y0 配方后可化为（ ） A （y+）21 B （y）21 C （y+）2 D （y）2
3、 8已知O 的直径 CD10cm，AB 是O 的弦，ABCD，且 AB8cm，则 AC 的长为（ ） A2cm B4cm C2cm 或 4cm D2cm 或 4cm 9 如图， 函数 yax22x+1 和 yaxa （a 是常数， 且 a0） 在同一平面直角坐标系的图象可能是 （ ） A B C D 10如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，垂足为 F，则 tanBDE 的值是（ ） A B C D 11如图，正方形 ABCD 中，AB6，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是（ ） A1 B1.5 C2 D2.5 12如图，AOB60，点 P 是AOB 内的定点且
4、 OP，则PMN 周长的最小值是（ ） A B C6 D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分）分） 13方程组的解是 14如图，O 为坐标原点，OAB 是等腰直角三角形，点 B 的坐标为（0，2） ，将该三角形沿 x 轴向右 平移得到 RtOAB（2，2） ，则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 15如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，升旗台底部到教学楼底 部的距离 DE7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i1：0.75，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC1 米， 则旗杆 AB 的高度约为 （参考数
5、据：sin580.85，cos580.53，tan581.6） 16如图，已知O 的半径是 2，点 A、B、C 在O 上，则图中阴影部分面积为 17如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴的交点 B 在（0，2）与（0，3） 之间（不包括这两点） ；9a+3b+c0；若点 M（，y1） ，点 N（，y2）是函数图象上的两点，则 y1y2；a其中正确结论有 18我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数” （如 1，3，6，10）和“正方形数” （如 1，4，9，16） ，在小于 200 的数中，最大的“正方形数”为 n，则 m+n 的
6、值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个题，满分个题，满分 78 分）分） 19 （10 分） （1）化简求值：，已知 x+y4，xy （2）解不等式组： 20 （10 分）如图，一次函数 ykx+b（k、b 为常数，k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点（n 为常数，且 n0）的图象在第二象限交于点 CCDx 轴，垂足为 D （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为 E，求CDE 的面积； （3）直接写出不等式 kx+b的解集 21 （10 分）2020 年 6 月 26 日是第 33 个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况
7、，从广安市某 校 800 名学生中随机抽取部分学生进行调查， 并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图 请 根据统计图回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有 人，估计该校 800 名学生中“比较了解”的学生有 人 （2）请补全条形统计图 （3） “不了解”的 4 人中有 3 名男生 A1，A2，A3，1 名女生 B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这 4 人进行了培训，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到 2 名男生的概率 22 （10 分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出如图，线段 EF、折 线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1（元
8、） 、生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关 系 （1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式； （2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式； （3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？ 23 （12 分）已知在 RtABC 中，BAC90，CD 为ACB 的平分线，使点 B 落在点 B处，连接 AB， 延长 CD 交 BB于点 E，设ABC2（045） （1）如图 1，若 ABAC，求证：CD2BE； （2）如图 2，若 ABAC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含 的式子表示） ； （3）如图 3，将（2）
9、中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（+45） ，得到线段 FC，设COE 的面积为 S1，COF 的面积为 S2，求（用含 的式子表示） 24 （13 分）如图，已知AOB60，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，它的两条边分别与直线 OA、 OB 相交于点 D、E （1）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1） ，请猜想 OE+OD 与 OC 的数量关系，并说明 理由； （2）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，到达图 2 的位置， （1）中的结论是否成立？并说明 理由； （3）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上
10、述结论是否成立？请在图 3 中画出图 形，若成立；若不成立，线段 OD、OE 与 OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想 25 （13 分）如图，抛物线与 x 轴交于 B、C 两点，与 y 轴交于 A 点，BAC90，AB2 （1）求经过点 A、B、C 的抛物线的解析式； （2）点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，设所得PAC 的面积为 S，相应的点 P 有 且只有 2 个？ （3）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标 2021 年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（一）年山东省泰安市新泰
11、市中考数学综合能力训练试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分）分） 1|2021|的相反数是（ ） A2021 B C2021 D 【分析】根据相反数的概念解答即可 【解答】解：|2021|2021， 2021 的相反数是2021， 故选：C 2下列运算中，正确的是（ ） Aa2a3a5 B2aa2 C （a+b）2a2+b2 D2a+3b5ab 【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排 除法求解 【解答】解：A、a2a3a5，正确； B、2aaa；
12、 C、 （a+b）2a4+2ab+b2，错误； D、7a+3b2a+3b； 故选：A 3一条信息在一周内被转发 0.0000218 亿次，将数据 0.0000218 用科学记数法表示为（ ） A2.1810 6 B2.18106 C21.810 5 D2.1810 5 【分析】绝对值小于 1 的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法 不同的是其所使用的是负指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00002182.1810 8 故选：D 4如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，且 MN
13、平分AMC，若 AN1（ ） A4 B6 C D8 【分析】根据题意，可以求得B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得 NC 的长，从而可以 求得 BC 的长 【解答】解：在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，且 MN 平分AMC， AMNNMCB，NCMBCMNMC， ACB2B，NMNC， B30， AN1， MN8， ACAN+NC3， BC6， 故选：B 5 某班组织了一次读书活动， 统计了10 名同学在一周内的读书时间， 他们一周内的读书时间累计如表 （ ） 一周内累计的读 书时间（小时） 5 8 10 14 人数（个） 1 4 3 2 A8 B7 C9 D
14、10 【分析】根据中位数的概念求解 【解答】解：共有 10 名同学， 第 5 名和第 6 名同学的读书时间的平均数为中位数， 则中位数为：9 故选：C 6如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若 O 的半径为 4，则 PA 的长为（ ） A4 B2 C3 D2.5 【分析】直接利用切线的性质得出PDO90，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案 【解答】解：连接 DO， PD 与O 相切于点 D， PDO90， C90， DOBC， PDOPCB， ， 设 PAx，则， 解得：x6， 故 PA4 故选：A 7一元二
15、次方程 y2y0 配方后可化为（ ） A （y+）21 B （y）21 C （y+）2 D （y）2 【分析】根据配方法即可求出答案 【解答】解：y2y0 y2y y2y+1 （y）22 故选：B 8已知O 的直径 CD10cm，AB 是O 的弦，ABCD，且 AB8cm，则 AC 的长为（ ） A2cm B4cm C2cm 或 4cm D2cm 或 4cm 【分析】先根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 【解答】解：连接 AC，AO， O 的直径 CD10cm，ABCD， AMAB，ODOC5cm， 当 C 点位置如图 3 所示时， OA5cm，AM4cm，
16、OM4（cm） ， CMOC+OM5+32（cm） ， AC4； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM3cm， OC5cm， MC632（cm） ， 在 RtAMC 中，AC（cm） 故选：C 9 如图， 函数 yax22x+1 和 yaxa （a 是常数， 且 a0） 在同一平面直角坐标系的图象可能是 （ ） A B C D 【分析】 可先根据一次函数的图象判断 a 的符号， 再判断二次函数图象与实际是否相符， 判断正误即可 【解答】解：A、由一次函数 yaxa 的图象可得：a025x+1 的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数 yaxa 的图象可得：a022x+1 的图
17、象应该开口向上，对称轴 x，故选项正 确； C、由一次函数 yaxa 的图象可得：a022x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x，和 x 轴的 正半轴相交； D、由一次函数 yaxa 的图象可得：a072x+1 的图象应该开口向上，故选项错误 故选：B 10如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，垂足为 F，则 tanBDE 的值是（ ） A B C D 【分析】证明BEFDAF，得出 EFAF，EFAE，由矩形的对称性得：AEDE，得出 EF DE，设 EFx，则 DE3x，由勾股定理求出 DF2x，再由三角函数的定义即可得出 答案 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， A
18、DBC，ADBC， 点 E 是边 BC 的中点， BEBC， BEFDAF， ， EFAF， EFAE， 点 E 是边 BC 的中点， 由矩形的对称性得：AEDE， EFDE，则 DE3x， DF2x， tanBDE； 故选：A 11如图，正方形 ABCD 中，AB6，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是（ ） A1 B1.5 C2 D2.5 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 RtAFERtADE；在直角ECG 中，根据勾股定 理即可求出 DE 的长 【解答】解：如图，连接 AE， ABADAF，DAFE90， 在 RtAFE 和 RtADE 中， ， RtAFERtA
19、DE， EFDE， 设 DEFEx，则 EC6x G 为 BC 中点，BC6， CG2， 在 RtECG 中，根据勾股定理 2+9（x+3）2， 解得 x2 则 DE2 故选：C 12如图，AOB60，点 P 是AOB 内的定点且 OP，则PMN 周长的最小值是（ ） A B C6 D3 【分析】作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N，如图，利用轴 对称的性质得 MPMC， NPND， OPODOC， BOPBOD， AOPAOC， 所以COD 2AOB120， 利用两点之间线段最短判断此时PMN 周长最小， 作 OHCD 于 H，则 CH
20、DH， 然后利用含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 CD 即可 【解答】解：作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D、OB 于 M、N， 则 MPMC，NPND，BOPBOD， PN+PM+MNND+MN+MCDC，CODBOP+BOD+AOP+AOC2AOB120， 此时PMN 周长最小， 作 OHCD 于 H，则 CHDH， OCH30， OHOC， CHOH， CD2CH3 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分）分） 13方程组的解是 【分析】利用加减消元法求解可得 【解答】解：， ，得：3y3， 解得：y3， 将 y
21、1 代入，得：x14， 解得：x3， 所以方程组的解为， 故答案为： 14如图，O 为坐标原点，OAB 是等腰直角三角形，点 B 的坐标为（0，2） ，将该三角形沿 x 轴向右 平移得到 RtOAB（2，2） ，则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 4 【分析】利用平移的性质得出 AA的长，根据等腰直角三角形的性质得到 AA对应的高，再结合平行 四边形面积公式求出即可 【解答】解：点 B 的坐标为（0，2） ，将该三角形沿 x 轴向右平移得到 RtOAB，2） ， AABB2， OAB 是等腰直角三角形， A（，） ， AA对应的高， 线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 2
22、8 故答案为：4 15如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，升旗台底部到教学楼底 部的距离 DE7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i1：0.75，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC1 米， 则旗杆 AB 的高度约为 13.1 米 （参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.6） 【分析】延长 AB 交 ED 的延长线于 M，作 CJDM 于 J则四边形 BMJC 是矩形在 RtCDJ 中求出 CJ、DJ，再根据 tanAEM构建方程即可解决问题 【解答】解：如图，延长 AB 交 ED 的延长线于 M则四边形 BMJC 是矩形 在 RtC
23、JD 中， 设 CJ4k，DJ6k， 则有 9k2+16k54， k， BMCJ，BCMJ4，EMMJ+DJ+DE， 在 RtAEM 中，tanAEM， 1.6， 解得 AB13.6 故旗杆 AB 的高度约为 13.1 米 故答案为：13.1 米 16如图，已知O 的半径是 2，点 A、B、C 在O 上，则图中阴影部分面积为 【分析】连接 OB 和 AC 交于点 D，根据菱形及直角三角形的性质先求出 AC 的长及AOC 的度数，然 后求出菱形 ABCO 及扇形 AOC 的面积，则由 S扇形AOCS菱形ABCO可得答案 【解答】解：连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示： 圆的半径为 2，
24、OBOAOC2， 又四边形 OABC 是菱形， OBAC，OD， 在 RtCOD 中利用勾股定理可知：CD，AC2CD2， sinCOD， COD60，AOC2COD120， S菱形ABCOOBAC5， S扇形AOC， 则图中阴影部分面积为 S扇形AOCS菱形ABCO2， 故答案为：2 17如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴的交点 B 在（0，2）与（0，3） 之间（不包括这两点） ；9a+3b+c0；若点 M（，y1） ，点 N（，y2）是函数图象上的两点，则 y1y2；a其中正确结论有 【分析】根据开口方向、对称轴，与 y 轴的交点即可判
25、断；根据二次函数的对称性和图像上点的坐标 特征即可判断；根据二次函数的对称性和增减性即可判断；通过求得 c5a，由 2c3，即可判 断 【解答】解：由开口可知：a0， 对称轴 x7， b0， 由抛物线与 y 轴的交点可知：c0， abc2，故正确； 抛物线与 x 轴交于点 A（1，0） ， 对称轴为直线 x5， 抛物线与 x 轴的另外一个交点为（5，0） ， x7 时，y0， 9a+8b+c0，故正确； 由于2， 且（，y4）关于直线 x2 的对称点的坐标为（，y2） ， ， y7y2，故正确， 3， b4a， x1，y5， ab+c0， c5a， 5c3， 22a3， a 故答案为 18我们
26、将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数” （如 1，3，6，10）和“正方形数” （如 1，4，9，16） ，在小于 200 的数中，最大的“正方形数”为 n，则 m+n 的值为 386 【分析】由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n，第 n 个正方形数为 n2，据此可以得出最大 的三角形数和正方形数，即可以求得 m 和 n 的值，从而可以计算出 m+n 的值 【解答】解：由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n，第 n 个正方形数为 n5， 当 n19 时，190200，210200， 所以最大的三角形数 m190； 当 n14 时，n8196200，当 n15 时，
27、n2225200，所以最大的正方形数 n196； 则 m+n190+196386， 故答案为：386 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个题，满分个题，满分 78 分）分） 19 （10 分） （1）化简求值：，已知 x+y4，xy （2）解不等式组： 【分析】 （1）根据分式的加减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将 x+y4，xy代入化简 后的式子即可解答本题； （2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题 【解答】解： （1） （x+y） （xy） ， 当 x+y4，xy时12； （2）， 解不等式，得 x2， 解不等式，得 x4， 原不等式组的解集是 2x5 20 （10
28、 分）如图，一次函数 ykx+b（k、b 为常数，k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点（n 为常数，且 n0）的图象在第二象限交于点 CCDx 轴，垂足为 D （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为 E，求CDE 的面积； （3）直接写出不等式 kx+b的解集 【分析】 （1）根据三角形相似，可求出点 C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析式； （2）联立解析式，可求交点坐标； （3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系 【解答】解： （1）由已知，OA6，OD4 CDx 轴 OBCD ABOACD CD20 点 C 坐标为
29、（4，20） nxy80 反比例函数解析式为：y 把点 A（6，5） ，12）代入 ykx+b 得： 解得： 一次函数解析式为：y2x+12 （2）当2x+12 时 x510，x24 当 x10 时，y4 点 E 坐标为（10，8） SCDESCDA+SEDA （3）不等式 kx+b，从函数图象上看， 由图象得，不等式 kx+b 21 （10 分）2020 年 6 月 26 日是第 33 个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某 校 800 名学生中随机抽取部分学生进行调查， 并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图 请 根据统计图回答下列问题： （1）本次抽取调查的
30、学生共有 40 人，估计该校 800 名学生中“比较了解”的学生有 320 人 （2）请补全条形统计图 （3） “不了解”的 4 人中有 3 名男生 A1，A2，A3，1 名女生 B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这 4 人进行了培训，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到 2 名男生的概率 【分析】 （1）用“不了解”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用 8800 乘以样本中“比较了解”的学生所占的百分比即可； （3） 画树状图展示所有 12 种等可能的结果， 找出恰好抽到 2 名男生的结果数， 然后根据概率公式计算 【解答】解： （1）本次调查的学生总人数为 410%40
31、（人） ； 本次抽取调查的学生中，比较了解”的学生有：40146816（人） ， 估计该校 800 名学生中“比较了解”的学生有 800320（人） ， 故答案为：40，320； （2）补全条形统计图如图： （3）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，恰好抽到 2 名男生的结果有 6 个， 恰好抽到 6 名男生的概率为 22 （10 分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出如图，线段 EF、折 线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1（元） 、生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关 系 （1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之
32、间的函数关系式； （2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式； （3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？ 【分析】 （1）根据线段 EF 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可； （2）显然，当 0 x50 时，y270；当 130 x180 时，y254；当 50 x130 时，设 y2与 x 之间的 函数关系式为 y2mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可； （3） 利用： 总利润每千克利润产量， 根据 x 的取值范围列出有关 x 的二次函数， 求得最值比较可得 【解答】解： （1）设 y1与 x 之间的函数关系式为
33、 y1kx+b， 经过点（4，168）与（180， ，解得：， 产品销售价 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为 y1x+168（0 x180） ； （2）由题意，可得当 0 x50 时，y370； 当 130 x180 时，y254； 当 50 x130 时，设 y2与 x 之间的函数关系式为 y7mx+n， 直线 y2mx+n 经过点（50，70）与（130， ，解得， 当 50 x130 时，y2x+80 综上所述，生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为 y2； （3）设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元， 当 3x50 时，Wx（x）4+， 当 x50
34、 时，W 的值最大； 当 50 x130 时，Wx（x+80） 2+4840， 当 x110 时，W 的值最大； 当 130 x180 时，Wx（x95）2+5415， 当 x130 时，W 的值最大 因此当该产品产量为 110kg 时，获得的利润最大 23 （12 分）已知在 RtABC 中，BAC90，CD 为ACB 的平分线，使点 B 落在点 B处，连接 AB， 延长 CD 交 BB于点 E，设ABC2（045） （1）如图 1，若 ABAC，求证：CD2BE； （2）如图 2，若 ABAC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含 的式子表示） ； （3）如图 3，将（2）中的线段 BC
35、 绕点 C 逆时针旋转角（+45） ，得到线段 FC，设COE 的面积为 S1，COF 的面积为 S2，求（用含 的式子表示） 【分析】 （1）由翻折可知：BEEB，再利用全等三角形的性质证明 CDBB即可； （2）如图 2 中，结论：CD2BEtan2只要证明BABCAD，可得， 推出，可得 CD2BEtan2； （3） 首先证明ECF90， 由BEC+ECF180， 推出 BBCF， 推出sin （45 ） ，由此即可解决问题； 【解答】解： （1）如图 1 中， B、B关于 EC 对称， BBEC，BEEB， DEBDAC90， EDBADC， DBEACD， ABAC，BABDAC90
36、， BABCAD， CDBB2BE （2）如图 6 中，结论：CD2BEtan2 理由：由（1）可知：ABBACD，BABCAD90， BABCAD， ， ， CD2BEtan8 （3）如图 3 中， 在 RtABC 中，ACB902， EC 平分ACB， ECB（902）45， BCF45+， ECF45+45+90， BEC+ECF180， BBCF， sin（45） ， ， sin（45） 24 （13 分）如图，已知AOB60，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，它的两条边分别与直线 OA、 OB 相交于点 D、E （1）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1
37、） ，请猜想 OE+OD 与 OC 的数量关系，并说明 理由； （2）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，到达图 2 的位置， （1）中的结论是否成立？并说明 理由； （3）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图 3 中画出图 形，若成立；若不成立，线段 OD、OE 与 OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想 【分析】 （1）先判断出OCE60，再利用特殊角的三角函数得出 ODOC，同 OEOC，即 可得出结论； （2）同（1）的方法得 OF+OGOC，再判断出CFDCGE，得出 DFEG，最后等量代换即可 得出结论；
38、（3）同（2）的方法即可得出结论 【解答】解： （1）OM 是AOB 的角平分线， AOCBOCAOB30， CDOA， ODC90， OCD60， OCEDCEOCD60， 在 RtOCD 中，ODOCcos30， 同理：OEOC， OD+OEOC； （2） （1）中结论仍然成立，理由： 过点 C 作 CFOA 于 F，CGOB 于 G， OFCOGC90， AOB60， FCG120， 同（1）的方法得，OF，OG， OF+OGOC， CFOA，CGOB， CFCG， DCE120，FCG120， DCFECG， CFDCGE， DFEG， OFOD+DFOD+EG，OGOEEG， OF+
39、OGOD+EG+OEEGOD+OE， OD+OEOC； （3） （1）中结论不成立，结论为：OEOD， 理由：过点 C 作 CFOA 于 F，CGOB 于 G， OFCOGC90， AOB60， FCG120， 同（1）的方法得，OF，OG， OF+OGOC， CFOA，CGOB， CFCG，DCE120， DCFECG， CFDCGE， DFEG， OFDFODEGOD，OGOEEG， OF+OGEGOD+OEEGOEOD， OEODOC 25 （13 分）如图，抛物线与 x 轴交于 B、C 两点，与 y 轴交于 A 点，BAC90，AB2 （1）求经过点 A、B、C 的抛物线的解析式； （
40、2）点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，设所得PAC 的面积为 S，相应的点 P 有 且只有 2 个？ （3）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标 【分析】 （1）求出点 A，B，C 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）过 P 作 x 轴的垂线，交 AC 于 Q，交 x 轴于 H；设出点 P 的横坐标（设为 m） ，根据抛物线和直线 AC 的解析式，即可表示出 P、Q 的纵坐标，从而可得到 PQ 的长，然后分两种情况进行讨论：P 点在 第一象限时，即 0m8 时，可根据 PQ 的长以及
41、 A、C 的坐标，分别表示出APQ、CPQ 的面积， 它们的面积和即为APC 的面积，由此可得到 S 的表达式，通过配方即可得到 S 的取值范围；当 P 在 第二象限时， 即2m0 时， 同可求得APQ、 CPQ 的面积， 此时它们的面积差为APC 的面积， 同理可求得 S 的取值范围；根据两个 S 的取值范围，即可判断出所求的结论； （3）分别利用：当 BQQC 时，当 BCCQ1时，当 BQ3BC 时，结合勾股定理求出答案 【解答】解： （1）BAC90，AB2， BC10， SABCABAC，即 210AO， 解得：AO4， 则 OC8， 即 B（2，0） ，0） ，2） ， 设经过点
42、A、B、C 的抛物线的解析式为：ya（x+2） （x8） ， 则 4a（0+2） （28） ， 解得：a， 故 y（x+2） （x8）x2+x+4； （2）设直线 AC 对应的函数解析式为：ykx+b 得： ，解得， 直线 AC 对应的函数解析式为：yx+4， 如图，过 P 作 PHOC，交直线 AC 于点 Q； 设 P（m，m2+m+4） ，m+4） 当 0m7 时， PQ（m3+m+3）（m2+4m， SSAPQ+SCPQ2（m4+2m）（m4）5+16， 0S16； 当2m5 时， PQ（m+8）（m4+m+7）m32m， SSCPQSAPQ8（m22m）（m8）216， 0S20； 当
43、 7S16 时，0m8 中有 m 两个值，此时有三个； 当 16S20 时，5m0 中 m 只有一个值； 当 S16 时，m4 或 m64 故当 S16 时，相应的点 P 有且只有两个； （3）存在，理由： 如图 4 所示：当 BQQC 时，B（2，C（8， Q 点横坐标为：3， 则 y8+4， 故此时 Q 点坐标为： （3，） ， 当 BCCQ1时， 设 Q1（x，x+4） ， 过点 Q2Dx 轴于点 D， 则 DCx8，DQ1x+4， 故 DC6+Q1D2Q7C2， 期（x8）7+（x+4）2100， 解得：x16+4，x784， 故 y2或 3， 可得 Q1（2+4，4） ，Q2（74，8） ； 当 BQ3BC 时， 同理可得：Q5Fx+3， 故（2x）2+（x+4）6100， 解得：x18（不合题意舍去） ，x58， 则 y8， 故 Q7（8，8） ， 综上所述：使QBC 为等腰三角形的所有符合条件的点 Q 的坐标分别为： （6，） ， （8+4） ， （8 4，2） ，2）
