1、2022年中考数学复习专题7：圆锥曲线的概念及其几何性质【一】圆锥曲线的定义1、椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为)距离之和为定值()的点的轨迹；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦,与另一个焦点构造，则的周长等于。（3） 当时，表示椭圆；当时，表示两定点确定的线段； 当时，表示无轨迹。2、双曲线（1）秒杀思路： 双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数; 注意定义中两个加强条件:（I）绝对值; （II）；加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条); （2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦（交到同一支上），与另一个焦点构造，则的周长等于。 （3） 当时，表示双曲线；
2、当时，表示以两定点为端点向两侧的射线； 当时，无轨迹； 当时表示两定点的中垂线。3、抛物线（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。（2）秒杀公式一：焦点在轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为或的弦,两段焦半径分别为:.1. 例题【例1】设是椭圆上的点,若是椭圆的两个焦点,则等于 ( )A.4 B.5 C.8 D.10 【解析】利用椭圆的定义得=,选D。【例2】已知椭圆:,点M与C的
3、焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则 . 【解析】如图,. 【例3】已知双曲线,点为其两个焦点,点为双曲线上一点,若,则的值为_.【解析】得=.【例4】设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为 ( )A. B. C. D.【解析】由双曲线定义得，选A。【例5】(2016年新课标全国卷I10)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点,交的准线于两点.已知=,=,则的焦点到准线的距离为 ( )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】,=,选B。【例6】已知抛物线的焦点为,点, 在抛物线上,且,则有 ( )A.
4、B.C. D.【解析】可知焦半径成等差数列,选C.【例7】(2017年新课标全国卷II)已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点，则= .【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，知线段为梯形的中位线,又由定义知,且,。 【例8】是抛物线上一点,F是抛物线的焦点,以为始边、为终边的角,求.【解析】由秒杀公式得=4。【例9】抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,垂足为,则的面积是 ( )A.4 B. C. D.【解析】由秒杀公式得，是边长为4的正三角形，。2.巩固提升综合练习【练习1】(2011年新课标全国卷14)在平面直角坐标系中,椭圆的中
5、心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交于两点,且的周长为16,那么的方程为 .【解析】,得方程为:.【练习2】已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,则= .【解析】。【练习3】已知双曲线的离心率为2，焦点为、,点在上,若,则 A. B. C. D.【解析】由双曲线定义得：，由余弦定理得：，选A。【练习4】若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则等于 ( )A.11 B.9 C.5 D.3【解析】由双曲线定义得：,选B。【练习5】抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是 ( )A. B. C. D.0【解析】由抛物线定义得选B。【练习6】已知是抛物线的焦点,是该抛物线上
6、的两点,则线段的中点到轴的距离为 ( )A. B.1 C. D.【解析】由抛物线定义得选C。【练习7】(2014年新课标全国卷I10)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个焦点,若,则= ( )A. B. C.3 D.2【解析】利用相似成比例与抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，得=3，选C。【练习8】(2017年新课标全国卷II文12)过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点(在轴上方),为的准线,点在上且,则到直线的距离为 ( )A. B. C. D.【解析】斜率为可知为边长为4的等边三角形,则=，选C。【练习9】设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,为垂足,如果直线
7、的斜率为,那么= ( )A. B.8 C. D.16【解析】由秒杀公式得选B。【练习10】设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为 【解析】由秒杀公式得。【二】圆锥曲线的方程1、 椭圆(秒杀方法：分母大的为焦点所在轴)：表示焦点在轴椭圆的标准方程;表示焦点在轴椭圆的标准方程。2、 双曲线（秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴）：表示焦点在轴上双曲线的标准方程;表示焦点在轴上双曲线的标准方程。3、抛物线（秒杀方法：一次项对应焦点所在轴）：表示焦点到准线的距离表示焦点在轴上抛物线的标准方程; 表示焦点在轴上抛物线的标准方程。1.例题【例1】(2012年新课标全国卷8)已知
8、等轴双曲线C的中心在原点,焦点在轴上,C与抛物线的准线交于A,B两点,则C的实轴长为 ( ) A. B. C.4 D.8【解析】设等轴双曲线方程为,抛物线的准线方程为：，联立解得,选C.【例2】“”是“方程”表示焦点在轴上的椭圆”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】椭圆方程可化为：，如焦点在轴上，只需，即，所以是充要条件，选C。【例3】设是椭圆的长轴,点在椭圆上,且.若,则椭圆的两个焦点之间的距离为 .【解析】由得，由与得，代入椭圆得，=。【例4】已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为
9、 .【解析】由椭圆方程得，所以双曲线的离心率为，由双曲线的方程为：。【例5】曲线与曲线的 ( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同【解析】表示焦点在轴上的椭圆,表示焦点在轴上的双曲线,化简为,可知焦距相等,选A。2.巩固提升综合练习【练习1】若,则“”是“方程表示双曲线”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】方程表示双曲线只需，即或，所以是充分不必要条件，选A.【练习2】已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .【解析】抛物线的准线为，所以双曲线中，由离心率为2得，焦点在轴上，
10、所以双曲线的方程为。【练习3】下图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米【解析】设拱桥所在抛物线的方程为，将点代入得，转化为求点中的，将点代入抛物线中可得，即水面宽为米。【练习4】已知,则双曲线与的 ( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等【解析】由方程得,，选D. 圆锥曲线的几何性质【一】焦点三角形1、椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。（1） 秒杀题型一：周长为定值：。当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大。（2）秒杀题型二：，即与短轴端点重合时面积最大。（3）秒杀
11、题型三：当底角为，个数：4个(点为通径端点)；当时，个数：。（点为以为直径的圆与椭圆的交点）2、双曲线的焦点三角形：（1）焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个；（2）为焦点三角形的顶角)=。（等面积思想在解题时非常重要）1.例题【例1】(2017年新课标全国卷I文12)设、是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是 ()A. B. C. D.【解析】当时,椭圆的焦点在轴上,要使C上存在点M满足,则,即.得;当时,椭圆的焦点在轴上,要使C上存在点M满足,则,即,得,故m的取值范围为,选A.【例2】已知,是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,.若的面积为9,则=
12、.【解析】由椭圆焦点三角形面积公式得：，。【例3】设、为椭圆的两个焦点,为椭圆上的一点.已知,是一个直角三角形的三个顶点,且,求的值.【解析】，所以顶角为直角与底角为直角的均存在，.如果底角为直角，,=；.如果顶角为直角，,=2。【例4】(2015年新课标全国卷I5)已知是双曲线上的一点,是的两个焦点,若,则的取值范围是 ( )A. B. C. D.【解析】秒杀方法：当时，由等面积得：，选A。 【例5】已知、为双曲线:的左、右焦点,点在上,则 ( )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】由等面积得：，选B。【例6】双曲线的两个焦点为,点在双曲线上,若,则点到轴的距离为 .【解析】。2.巩固提升
13、综合练习【练习1】已知是椭圆的焦点,点P在椭圆上且,的面积为 . 【解析】利用焦点三角形面积公式得。【练习2】、是椭圆的焦点,在上满足的点的个数为 .【解析】，P点的个数是2个。【练习3】已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,若是一个直角三角形的三个顶点,则点到轴的距离为 ( )A. B.3 C. D.【解析】，所以顶角为直角的不存在；而底角为直角时，P到x轴的距离为通径，即：，选D。【练习4】已知、为双曲线:的左、右焦点,点在上,=,则到轴的距离为 ( )A. B. C. D.【解析】，选B。【练习5】设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若则的面积为 ( )A. B. C. D.【解
14、析】设，则，由双曲线的定义得：，,所以由勾股定理得为焦点直角三角形，所以，选B。【练习6】设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则 ( )A. B. C. D.【解析】由向量中线定理得：=，选B。【二】离心率1、题型一：利用焦点三角形（1）椭圆：（焦点三角形两底角分别为、）；（2）双曲线：（焦点三角形两底角）。2、题型二：寻找关系求离心率（1）秒杀思路：如果建立或或的关系，一般情况要通过平方消去化简为关系求离心率。（2）特别地：当成等比数列时，即，椭圆:，叫优美椭圆；类比：双曲线：。1.例题【例1】在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则.【解析】秒杀公式：。【例2】(201
15、3年新课标全国卷II)设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,则的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】设，则，即，选D。秒杀公式：，选D。【例3】已知是双曲线的左、右焦点,点在上,与轴垂直,则的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】设，则，选A。秒杀公式：，选A。【例4】(2015年新课标全国卷II11)已知为双曲线的左、右顶点,点在上,为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为 ( )A. B.2 C. D.【解析】可得，代入双曲线得，选D。 【例5】设直线过双曲线的一个焦点,且与的一条对称轴垂直,与交于两点,为的实轴长的2倍,则的离心率为 ( )A. B. C.2 D.3【解析】为
16、通径长，=，即，得，选B。【例6】(2017年新课标全国卷I15)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若,则的离心率为 .【解析】可得为等边三角形，到渐近线的距离为，得，。秒杀方法：由可得(利用焦点到渐近线的距离为)。【例7】如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】在双曲线中，可得，在椭圆中，利用焦点三角形面积公式得，在双曲线中， ，选D。【例8】已知双曲线的左,右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为 ( )A. B. C. D. 【解析
17、】由得，即，。2.巩固提升综合练习【练习1】双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】设，则，即，选B。秒杀公式：，选B。【练习2】椭圆的左、右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于 .【解析】秒杀公式：。【练习3】已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 【解析】设其中一个交点为，则为焦点直角三角形，设，则有，椭圆的离心率为，双曲线渐近线的倾斜角为，双曲线的离心率为2。【练
18、习4】和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心为 ( )A. B. C. D.【解析】取，秒杀公式：，选D。【练习5】在中,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 【解析】：设，则，。秒杀公式：。【练习6】设是等腰三角形,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.【解析】，选B。【练习7】已知为坐标原点,是椭圆的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】由线段成比例得：，得，选A。【练习8】(20
19、17年新课标全国卷II9)若双曲线:（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为 ( )A.2 B. C. D.【解析】由圆心到渐近线的距离为，即，平方得；秒杀方法：画图可得渐近线的倾斜角为，即，平方得。【练习9】(2017年新课标全国卷III10)已知椭圆:()的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为 ( )A. B. C.D.【解析】因为圆与直线相切，即圆心到直线距离等于得：，即，选A。【练习10】过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点,以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 .【解析】设右顶点为，左焦点为，则为等腰直角三角形，可得
20、，即，得，（舍去）。【练习11】从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( )A. B. C. D.【解析】，选C。【练习12】(2017年新课标全国卷II)若,则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A. B. C. D.【解析】，选C。【三】双曲线的渐近线1、题型一：由双曲线的方程求渐近线秒杀思路：已知双曲线方程求渐近线方程:;若焦点在x轴上，渐近线为；若焦点在y轴上，渐近线为。2、题型二：有共同渐近线的双曲线方程的设法秒杀思路：。3、题型三：已知渐近线方程设双曲线方程秒杀思路：。4、题型四：双曲线的焦点到渐
21、近线的距离：秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。1.例题【例1】已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为 ( )A. B. C. D.【解析】由，得，选C。【例2】已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为 ( )A. B. C. D.【解析】，得，选A。【例3】设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方程为 ；渐近线方程为 .【解析】设双曲线方程为：，代入点得=-3，双曲线的方程为：，渐近线方程为。【例4】(2015年新课标全国卷II)已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 【解析】设双曲线方程为：，将点代入
22、得，所以双曲线方程为。【例5】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 ( )A. B. C. D.【解析】秒杀方法：由梯形中位线知,焦点到此渐近线的距离为3，即，选C。【例6】(2018年新课标全国卷III)设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为 ( )A. B.2 C. D. 【解析】：,，又因为，所以，在中，在中，。2.巩固提升综合练习【练习1】若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 ( )A. B. C. D.【解析】由，得，选B。【练习2】求与双曲线有公共
23、的渐近线,且经过点A的双曲线的方程.【解析】设双曲线方程为：，代入点A得，双曲线方程为：。【练习3】若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的方程是 .【解析】设双曲线方程为：，因为焦点在x轴上，化简为，得，双曲线方程为：。【练习4】已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为 ( )A. B.3 C. D.【解析】由秒杀公式得，选A。【练习5】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( )A. B. C.3 D.5【解析】抛物线与双曲线的焦点为，则b=，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，选A【练习6】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条
24、渐近线的距离为，则其离心率的值是 【解析】，设，所以离心率为2。【练习7】双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点.若正方形的边长为2,则= .【解析】，即，而，。课后自我检测1已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长是 ( )A. B.6 C. D.12【解析】周长为：，选C。2已知椭圆:的左、右焦点为、,离心率为,过的直线交于两点,若的周长为,则的方程为 ( )A. B. C. D.【解析】，选A。3已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点.（1）求的周长;（2）如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么?【解析】
25、（1）20；（2）不变。4已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为 .【解析】.5过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点,为其右焦点,则的值为 【解析】，+可得=，而，等于8。6设抛物线上一点到轴的距离是4,则点到该抛物线焦点的距离是 ( )A.4 B.6 C.8 D.12【解析】由抛物线定义得选B。7. 抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则= .【解析】抛物线的准线为，与双曲线联立得，由等边三角形得，解得。8若实数满足，则曲线与曲线的 ( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等【解析】表示焦点在轴上
26、的双曲线,表示焦点在轴上的双曲线,可知焦距相等,选A。9已知双曲线的左,右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于 ( )A. B. C. D.【解析】=10，由双曲线定义得：，是等腰三角形，底边上的高为6，所以面积为48，选C。10设双曲线的左、右焦点分别为,.若点在双曲线上,且为锐角三角形,则的取值范围是_【解析】当顶角为直角时，=，当底角为直角时，=8，所以的取值范围是。11设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )A. B. C. D.【解析】方法一：，则，即，选D。方法二：秒杀公式：，选D。12已知正方形,则以为焦点,且过两
27、点的椭圆的离心率为 .【解析】取一个焦点三角形，。13已知是双曲线的两个焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】方法一：设中点为P(右），选D。方法二：秒杀公式：，选D。14设是双曲线的两个焦点,是上一点，若且的最小内角为,则的离心率为 .【解析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得，且，最小，由余弦定理：,，。15已知是椭圆的左,右焦点，是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,则的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】可得，得，选D。 16已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形,则= ( )A. B.3 C. D.4【解析】渐近线方程为，为直角三角形，假设，,，选B。17双曲线的渐近线与圆相切,则= ( )A. B.2 C.3 D.6【解析】因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=，选A。18设是椭圆上一点，分别是两圆和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）A4，8B2，6C6，8D8，12【答案】A【解析】根据题意作出如下图像，其中是椭圆的左，右焦点，在中可得：, 当且仅当三点共线时，等号成立，在中可得：，当且仅当三点共线时，等号成立，由+得：，由椭圆方程可得：，即由椭圆定义可得：，所以可化为：.故选：A.
