1、2022年中考数学复习专题20：解三角形（一） 三角形中的求值问题 1正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理2求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键3已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该
2、边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解4. 以平面几何为载体的解三角形问题解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于)确定角或边的范围1.例题【例1】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cosA，且bc，则b( )A B2 C2 D3【答案】B【解析】由余弦定理得：a2b2c22bccosA，所以22b2(2)22b2，即b26b80，解得：b2或b4.因为bc，所以b2.【例
3、2】在中，角，的对边分别为，若，则角（ ）ABCD【答案】D【解析】，由正弦定理可得：，即：，.故选：D【例3】在中，角，的对边分别是，则的面积为_【答案】6【解析】在中，由正弦定理知，又，, 即， ；，又，故答案为：6【例4】（2017全国高考真题（理）ABC的内角的对边分别为, 已知ABC的面积为(1)求;(2)若求ABC的周长.【答案】(1)(2) .【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.【例5】如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求
4、BD，AC的长.【解析】(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADC-B)sinADCcosB-cosADCsinB.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC2-2ABBCcosB82+52-28549.所以AC7.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019全国高考真题）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=（ ）A6B5C4D3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A【练习2】（2018全国高考真题）ABC的内角A，B，C的对
5、边分别为a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则ABC的面积为_【答案】233.【解析】因为bsinC+csinB=4asinBsinC，结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，可得sinA=12，因为b2+c2-a2=8，结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得2bccosA=8，所以A为锐角，且cosA=32，从而求得bc=833，所以ABC的面积为S=12bcsinA=1283312=233，故答案是233.【练习3】 在中，已知边上的中线，且，成等差数列，则的长为_.【答案】【解析】因为，成
6、等差数列，所以，即，所以，由正弦定理可得，又由余弦定理可得，所以，故，又因为边上的中线，所以，因为，所以，即，解.即的长为.故答案为【练习4】在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1 B C D2【答案】A【解析】：通解：因为tanBAC3，所以sinBAC，cosBAC.由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC5229，所以BC3，所以SABCABACsinBAC，所以BC边上的高h1，故选A优解：因为tanBAC3，所以cosBAC0，则BAC为钝角，因此BC边上的高小于，故选A【练习5】已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，
7、求四边形ABCD的面积S【解析】：如图，连接BD，则SSABDSCBDABADsin ABCCDsin CAC180，sin Asin C，Ssin A(ABADBCCD)16sin A在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A2016cos A，在CDB中，由余弦定理得BD2CD2BC22CDBCcos C5248cos C，2016cos A5248cos C又cos Ccos A，cos A，A120，S16sin A8【练习6】 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ccos B(3ab)cos C(1)求sin C的值；(2)若c2，ba2，求ABC的面
8、积【解析】：(1)解法一：因为ccos B(3ab)cos C，所以由正弦定理得sin Ccos B(3sin Asin B)cos C，即sin Ccos Bsin Bcos C3sin Acos C，所以sin(BC)3sin Acos C，由于ABC，所以sin(BC)sin(A)sin A，则sin A3sin Acos C因为0A，所以sin A0，cos C.因为0C，所以sin C.解法二：因为ccos B(3ab)cos C，所以由余弦定理得c(3ab)，化简得a2b2c2ab，所以cos C.因为0C0)，CD100，BCD8040120，BD2BC2CD22BCCDcosB
9、CD，3x2x210022100x()，2x2100x10 0000，x250x5 0000，x100(负值舍去)2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【解析】设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时当0t2时，如图(1)，在APQ中，AP8t，AQ2010t，所以PQ 2；当t2时，PQ8216；当t2时，如图(2)，在APQ中，AP8t，AQ10t20，PQ2.综合知，PQ2(
10、t0)当且仅当t时，PQ最小答甲、乙两船行驶小时后，相距最近【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为()A.海里/时 B34海里/时C.海里/时 D34海里/时答案A解析由题意可知PM68，MPN120，PNM45，由正弦定理可得MN34，这艘船航行的速度为(海里/时)，故选A.【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时
11、间比在B地晚秒在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【解析】由题意，设ACx，则BCx340x40.在ABC中，由余弦定理，得BC2BA2AC22BAACcosBAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.在RtACH中，AC420，CAH30，所以CHACtanCAH140.答该仪器的垂直弹射高度CH为140米课后自我检测1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，则()A BC D【答案】B【解析】：由a，b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2b2bc，由余
12、弦定理得cos A，故A，对于b2ac，由正弦定理得，sin2Bsin Asin Csin C，由正弦定理得，.故选B2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，c2，bsin Aacos则b()A1B.C.D.【答案】：C【解析】：在ABC中，由正弦定理得：，得bsin Aasin B，又bsin Aacos.asin Bacos，即sin Bcoscos Bcos sin Bsin cos Bsin B，tan B，又B(0，)，B.在ABC中，a3，c2，由余弦定理得b.故选C.3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，c3，tan B2tan A，则ABC
13、的面积为()A2B3C3D4【答案】：B【解析】：tan B2tan A，可得：，可得：2sin Acos Bcos Asin B，sin Csin Acos Bcos Asin B3sin Acos B，由正弦定理可得：c3acos B，a2，c3，cos B，由B(0，)，可得：B，SABCacsin B23sin3. 故选B.3如图，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足若DE2，则cos A等于()A BC D【答案】C【解析】：依题意得，BDAD，BDCABDA2A.在BCD中，即，由此解得cos A.4在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
14、b，c，若B2A，则的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，4)【答案】B【解析】B2A，sin Bsin 2A2sin Acos A，2cos A又C3A，C为锐角，03AA，又B2A，B为锐角，02A0A，A，cos A，2.5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a=2，B=45，若三角形有两解，则b的取值范围是_.【答案】2,2【解析】由题意结合正弦定理可知，满足题意时有：asinBba，即2sin45b2，据此可得b的取值范围是2,2.6已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，则c的取值范围为_【答案】：(4，
15、2)【解析】：由，得，所以c8cos A，因为16b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A，所以c264cos2A64164b.因为b(4，6)，所以32c240，所以4c0，所以cos B.因为B(0，)，所以B.(2)由tan C，C(0，)，得sin C，cos C，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由正弦定理，得a6，所以ABC的面积为absin C62612已知中，角的对边分别为，若 +（）求；（）若 ，求面积的最大值。【解析】（）由正弦定理可得： 又 .（） 由余弦定理可得，又 故，当且仅当时，
16、等号成立.所以.所以面积最大为.13在 中，分 别 为 角的 对 边 ，且.（1）求角；（2）若，求的最大值.【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）得，由正弦定理，所以，所以，所以，其中，由，存在使得，所以的最大值为1，所以的最大值为.14某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？(参考数据：若sin ，当是锐角时，其近似值为3813)【解析】如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私
17、船，则CB10x，AB14x，AC9，ACB7545120，(14x)292(10x)22910xcos 120，化简得32x230x270，即x或x(舍去)，BC 10x 15，AB 14x 21，又sin BAC，BAC 3813或BAC14147(钝角不合题意，舍去)，3813458313.巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船15如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向千米处，值班室在值班室的正东方向千米处（1）保安甲沿从值班室出发行至点处，此时，求的距离；（2）保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为千米（含千米），试问有多长时间两人不能通话？【解析】【分析】（1）在中求得后，在中利用余弦定理可求得结果；（2）设甲乙出发后的时间为小时，在中，利用余弦定理可用表示出，解可求得结果.【详解】（1）在中，则，在中，由余弦定理得：，；（2）设甲乙出发后的时间为小时，甲在线段上的位置为，乙在线段上的位置为，则，且，由（1）知：，在中，由余弦定理得：，即，若甲乙不能通话，则，即，解得：或，又，两人不能通话的时间为小时.
