2022年中考数学复习专题30:不等式的解法与基本不等式(含答案解析)

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资源描述

1、2022年中考数学复习专题30:不等式的解法与基本不等式一、不等式的解法【一】一元二次不等式的解法 1.例题【例1】已知集合Ax|x2x20,By|y2x,则AB等于()A.(1,2) B.(2,1)C.(0,1) D.(0,2)【答案】D【解析】由题意得Ax|x2x20x|1x0, ABx|0x2(0,2).故选D.【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10).【解析】原不等式变为(ax1)(x1)0,所以(x1)1时,解为x1;当a1时,解集为;当0a1时,解为1x.综上,当0a1时,不等式的解集为.【例3】 已知不等式ax2bx10的解集是,则不等式x2bxa0的解集是_【答案】x|x

2、3或x2【解析】由题意,知,是方程ax2bx10的两个根,且a0,所以解得即不等式x2bxa0为x25x60,解得x3或x2.【例4】(1)已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围.(2)已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3,f(x)5m恒成立,求实数m的取值范围.(3)若mx2mx10对于m1,2恒成立,求实数x的取值范围.【解析】(1)当m0时,f(x)10恒成立.当m0时,则即4m0.综上,4m0,故m的取值范围是(4,0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立,即m2m60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)maxg(3),即7m

3、60,所以m,所以0m;当m0时,60恒成立;当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)maxg(1),即m60,所以m6,所以m0,又因为m(x2x1)60, 所以m.因为函数y在1,3上的最小值为,所以只需m 即可. 所以m的取值范围是.(3)设g(m)mx2mx1(x2x)m1,其图像是直线,当m1,2时,图像为一条线段,则即解得x3.【解析】(1)不等式两边同乘以1,原不等式可化为x22x30.方程x22x30的解为x13,x21.而yx22x3的图象开口向上,可得原不等式x22x30的解集是x|3x1(2)由题意或解得x1.故原不等式的解集为x|x1【练习2】解关于x的不等式

4、12x2axa2(aR)【解析】因为12x2axa2,所以12x2axa20,即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0,解得x1,x2.当a0时,0,解集为x|xR,且x0;当a,解集为.综上所述:当a0时,不等式的解集为;当a0时,不等式的解集为x|xR,且x0;当a0时,不等式的解集为.【练习3】已知不等式ax23x64的解集为x|x1或xb(1)求a,b;(2)解不等式0(c为常数)【解析】(1)由题知1,b为方程ax23x20的两根,即所以a1,b2.(2)不等式等价于(xc)(x2)0,当c2时,解集为x|xc或x2;当c2时,解集为x|x2或xc;当c2时,解集为x|x2

5、【二】分式不等式的解法 分式不等式(1)将分母含有的表达式称为分式,即为的形式(2)分式若成立,则必须满足分母不为零,即 (3)对形如的不等式,可根据符号特征得到只需 同号即可,所以将分式不等式转化为 (化商为积),进而转化为整式不等式求解1.例题【例1】 解不等式:【解析】解法1:化为两个不等式组来解:x或,原不等式的解集是解法2:类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理;或者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解,原不等式的解集是.【例2】解不等式解:原不等式可化为:,所以原不等式的解集为说明:转化

6、为整式不等式时,一定要先将右端变为02.巩固提升综合练习【练习1】解下列不等式:(1) (2) 【解析】(1)原不等式可化为:,所以原不等式的解集为(2) ,原不等式可化为:,所以原不等式的解集为【练习2】解不等式:(1) (2) (3)【解析】(1)或 不等式的解集为 (2) 不等式的解集为 (3)思路:观察发现分母很成立,所以考虑直接去分母,不等号的方向也不会改变,这样直接就化为整式不等式求解了解: 不等式的解集为 【名师点睛】分式不等式在分母符号不定的情况下,千万不要用去分母的方式变形不等式(涉及到不等号方向是否改变),通常是通过移项,通分,将其转化为再进行求解 二、基本不等式运用基本不

7、等式求最值,把握三个条件(易错点)(1)“一正”各项为正数;(2)“二定”“和”或“积”为定值;(3)“三相等”等号一定能取到【一】配凑型 1.例题【例1】(1)已知0x0时,y,当且仅当等号成立,即x5时,ymax.【练习2】已知,则的最小值为()ABCD【答案】A【解析】由题意知,可得:,则,当且仅当时,等号成立,则的最小值为。故选:A【二】条件型 1.例题【例1】(1)已知正数、满足,则的最小值为( )A8B12C10D9(2)已知,当时,不等式恒成立,则的取值范围是( )ABCD【答案】(1)D (2)B【解析】(1)正数、满足,根据不等式性质得到:等号成立的条件为 故答案为:D.(2

8、)因为,所以.因为不等式恒成立,所以,整理得,解得,即.2.巩固提升综合练习【练习1】已知正实数,满足,则的最小值为( )A4B6C9D10【答案】C【解析】,当且仅当时,即时取“=”. 故答案选C【练习2】已知,且,若不等式恒成立,则实数的范围是( )ABCD【答案】D【解析】由得:,即, ,(当且仅当,即时取等号)(当且仅当时取等号)本题正确选项:【练习3】已知正数、满足,则的最小值为( )ABCD【答案】B【解析】,所以,则,所以,当且仅当,即当时,等号成立,因此,的最小值为,故选:【练习4】已知,则的最小值为()ABCD【答案】A【解析】由题意知,可得:,则,当且仅当时,等号成立,则的

9、最小值为。故选:A【三】换元型 1.例题【例1】已知,且,则的最小值为( )ABC5D9【答案】A【解析】由得,解得.所以,当且仅当,即时等号成立.故本小题选A.2.巩固提升综合练习【练习1】若正数满足,则的最大值为()ABCD【答案】B【解析】正数满足,解得,当且仅当时,等号成立,的最大值为故选:B【练习2】已知正实数a,b满足a2b40,则u的最小值为_【答案】【解析】a2b40,ba24,aba2a4.又a,b0,u3333 【四】实际应用 1.例题【例1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为,深度为.如果池底每的造价为150元,池壁每的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池

10、底部的周长为_.【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为,则另一边的长度为,由题意可得水池总造价,则,当且仅当,即时,有最小值297600,此时另一边的长度为,因此,当水池的底面周长为时,水池的总造价最低,最低总造价是元,故答案为1602.巩固提升综合练习【练习1】某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处 C3 km处 D2 km处【解析】设仓库建在离车站x km处,则土地费用y1(k10

11、),运输费用y2k2x(k20),把x10,y12代入得k120,把x10,y28代入得k2,故总费用yx28,当且仅当x,即x5时等号成立答案:A三、课后自我检测1若集合A,Bx|x22x,则AB 。【答案】x|0x1【解析】因为Ax|0x1,Bx|x22xx|0x2,所以ABx|0x0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0,解得a,故a的取值范围为.12已知函数f(x)x2axb2b1(aR,bR),对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立,若当x1,1时,f(x)0恒成立,则b的取值范围是 。【答案】(,1

12、)(2,)【解析】由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称,即1,解得a2.又因为f(x)开口向下,所以当x1,1时,f(x)为增函数,所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2,f(x)0恒成立,即b2b20恒成立,解得b1或b2.13若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集,则a的取值范围是_【答案】4,3【解析】原不等式即(xa)(x1)0,当a1时,不等式的解集为a,1,此时只要a4即可,即4a1时,不等式的解集为1,a,此时只要a3即可,即1a3.综上可得4a3.14不等式x28y2y(xy)对于任意的x,yR恒成立,则实数的取值范围为_【答案】8,4【解析】

13、因为x28y2y(xy)对于任意的x,yR恒成立,所以x28y2y(xy)0对于任意的x,yR恒成立,即x2yx(8)y20恒成立,由二次不等式的性质可得,2y24(8)y2y2(2432)0,所以(8)(4)0,解得84.15若存在实数x2,4,使x22x5mx22x5,设f(x)x22x5(x1)24,x2,4,当x2时,f(x)min5,存在x2,4使x22x5mf(x)min,m5.16已知实数x,y满足x2y23,|x|y|,则的最小值是_【答案】【解析】由已知可得1,(54),当且仅当|x2y|2xy|时取等号17已知P为椭圆1上一个动点,过点P作圆(x1)2y21的两条切线,切点

14、分别是A,B,则的取值范围为_【答案】【解析】如图,由题意设APB2,则PAPB,|cos 2cos 2cos 2,设cos 2t,则t0,(1t)32323,当且仅当1t,即t1时等号成立, 此时cos 21.又当点P在椭圆的右顶点时,sin ,cos 212sin2 ,此时最大,且最大值为.的取值范围是.18在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是 。【答案】1,3 【解析】 因为关于x的不等式x2(a1)xa0可化为(x1)(xa)1时,不等式的解集为x|1xa,当a1时,不等式的解集为x|ax1,当a1时,不等式的解集为,要使得解集中至多包含1个整数

15、,则a1或1a1,所以实数a的取值范围是a1,3,故选C.19不等式x22ax3a20)的解集为_.【答案】x|ax3a【解析】x22ax3a20(x3a)(xa)0,a3a,不等式的解集为x|ax0,b0)的图象在点(1,f(1)处的切线的斜率为2,则的最小值是_【答案】9【解析】 由函数f(x)ax2bx,得f(x)2axb,因为函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线斜率为2,所以f(1)2ab2,所以(2ab)(108)9,当且仅当,即a,b时等号成立,所以的最小值为9.21在ABC中,A,ABC的面积为2,则 的最小值为 【答案】【解析】由ABC的面积为2,所以Sbcsin Ab

16、csin 2,得bc8,在ABC中,由正弦定理得22,当且仅当b2,c4时,等号成立22已知a1,1,不等式x2(a4)x42a0恒成立,则x的取值范围为_【答案】x|x1或x3【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)(x2)a(x24x4),则由f(a)0对于任意的a1,1恒成立,易知只需f(1)x25x60,且f(1)x23x20即可,联立方程解得x1或x3.23已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于xR,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对于x1,3,f(x)5m恒成立,求实数m的取值范围【解析】(1)当m0时,f(x)10恒成立,当m0时,则即4m0.综上

17、,4m0,故m的取值范围是(4,0(2)不等式f(x)5m,即(x2x1)m0,所以m对于x1,3恒成立,只需求的最小值,记g(x),x1,3,记h(x)x2x1,h(x)在x1,3上为增函数,则g(x)在1,3上为减函数,所以g(x)ming(3),所以m.所以m的取值范围是.24已知不等式ax2bxc0的解集为(1,t),记函数f(x)ax2(ab)xc.(1)求证:函数yf(x)必有两个不同的零点;(2)若函数yf(x)的两个零点分别为m,n求|mn|的取值范围【解析】(1)证明:由题意知abc0,且1.所以a0且1,所以ac0.对于函数f(x)ax2(ab)xc有(ab)24ac0.所

18、以函数yf(x)必有两个不同零点(2)|mn|2(mn)24mn84.由不等式ax2bxc0的解集为(1,t)可知,方程ax2bxc0的两个解分别为1和t(t1),由根与系数的关系知t,所以|mn|2t28t4,t(1,)所以|mn|,所以|mn|的取值范围为(,)25设函数(1)若对于一切实数恒成立,求的取值范围;(2)若对于恒成立,求的取值范围.【解析】(1)由题意,要使不等式恒成立,当时,显然成立,所以时,不等式恒成立;当时,只需,解得,综上所述,实数的取值范围为.(2)要使对于恒成立,只需恒成立,只需,又因为,只需,令,则只需即可因为,当且仅当,即时等式成立;因为,所以,所以.26设函

19、数,其中(1)当时,求函数的值域;(2)若对任意,恒有,求a的取值范围【解析】(1)当时,(i)当时,此时,(ii)当时,此时,由(i)(ii)得的值域为;(2)因为对任意,恒有,即,解得,下面证明,当时,对任意恒有,(i)当时,故成立;(ii)当时,故成立,此时,对任意,恒有,所以实数的取值范围是.27徐州、苏州两地相距500千米,一辆货车从徐州行驶到苏州,规定速度不得超过100千米/时已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为0.01;固定部分为a元(a0)(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,

20、并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?【解析】(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,则全程运输成本为ya0.01v25v, 则y5v, v(0,100(2)依题意知a,v都为正数,则5v2 100,当且仅当5a,即v10时取等号若10100,即0a100,当v10时,全程运输成本y最小若10100,即a100时,则当v(0,100时,可以证明函数y5v是减函数,即此时当v100时,全程运输成本y最小综上所得,当0a100时,行驶速度应为v10千米/时,全程运输成本最小;当a100时,行驶速度应为v100千米/时,全程运输成本最小28已知关于的不等式.(1)当时,若的解集为,求实数的值;(2)当时,求关于的不等式的解集.【解析】(1)当时,因为的解集为,所以方程的两个根为,由根与系数关系得:;(2),当时,方程的两个根分别为:.当时,两根相等,故不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.

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