1、2022年中考数学复习专题30：不等式的解法与基本不等式一、不等式的解法【一】一元二次不等式的解法 1.例题【例1】已知集合Ax|x2x20，By|y2x，则AB等于()A.(1,2) B.(2,1)C.(0,1) D.(0,2)【答案】D【解析】由题意得Ax|x2x20x|1x0， ABx|0x2(0,2).故选D.【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10).【解析】原不等式变为(ax1)(x1)0，所以(x1)1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.【例3】 已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_【答案】x|x
2、3或x2【解析】由题意，知，是方程ax2bx10的两个根，且a0，所以解得即不等式x2bxa0为x25x60，解得x3或x2.【例4】（1）已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围.（2）已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围.（3）若mx2mx10对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围.【解析】（1）当m0时，f(x)10恒成立.当m0时，则即4m0.综上，4m0，故m的取值范围是(4,0.（2）要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m
3、60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60， 所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m 即可. 所以m的取值范围是.（3）设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图像是直线，当m1,2时，图像为一条线段，则即解得x3.【解析】(1)不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30.方程x22x30的解为x13，x21.而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1(2)由题意或解得x1.故原不等式的解集为x|x1【练习2】解关于x的不等式
4、12x2axa2(aR)【解析】因为12x2axa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，0，解集为x|xR，且x0；当a，解集为.综上所述：当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR，且x0；当a0时，不等式的解集为.【练习3】已知不等式ax23x64的解集为x|x1或xb(1)求a，b；(2)解不等式0(c为常数)【解析】(1)由题知1，b为方程ax23x20的两根，即所以a1，b2.(2)不等式等价于(xc)(x2)0，当c2时，解集为x|xc或x2；当c2时，解集为x|x2或xc；当c2时，解集为x|x2
5、【二】分式不等式的解法 分式不等式（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即 （3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需 同号即可，所以将分式不等式转化为 （化商为积），进而转化为整式不等式求解1.例题【例1】 解不等式：【解析】解法1：化为两个不等式组来解：x或，原不等式的解集是解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解，原不等式的解集是.【例2】解不等式解：原不等式可化为：，所以原不等式的解集为说明：转化
6、为整式不等式时，一定要先将右端变为02.巩固提升综合练习【练习1】解下列不等式：(1) (2) 【解析】（1）原不等式可化为：，所以原不等式的解集为(2) ，原不等式可化为：，所以原不等式的解集为【练习2】解不等式：（1） （2） （3）【解析】（1）或 不等式的解集为 （2） 不等式的解集为 （3）思路：观察发现分母很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了解： 不等式的解集为 【名师点睛】分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为再进行求解 二、基本不等式运用基本不
7、等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)“一正”各项为正数；(2)“二定”“和”或“积”为定值；(3)“三相等”等号一定能取到【一】配凑型 1.例题【例1】(1)已知0x0时，y，当且仅当等号成立，即x5时，ymax.【练习2】已知，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由题意知，可得：，则，当且仅当时，等号成立，则的最小值为。故选：A【二】条件型 1.例题【例1】(1)已知正数、满足，则的最小值为（ ）A8B12C10D9(2)已知，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】(1)D (2)B【解析】(1)正数、满足，根据不等式性质得到：等号成立的条件为 故答案为：D.(2
8、)因为，所以.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.2.巩固提升综合练习【练习1】已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A4B6C9D10【答案】C【解析】，当且仅当时，即时取“=”. 故答案选C【练习2】已知，且，若不等式恒成立，则实数的范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由得：，即， ，（当且仅当，即时取等号）（当且仅当时取等号）本题正确选项：【练习3】已知正数、满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】，所以，则，所以，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：【练习4】已知，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由题意知，可得：，则，当且仅当时，等号成立，则的
9、最小值为。故选：A【三】换元型 1.例题【例1】已知，且，则的最小值为（ ）ABC5D9【答案】A【解析】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.2.巩固提升综合练习【练习1】若正数满足，则的最大值为（）ABCD【答案】B【解析】正数满足，解得，当且仅当时，等号成立，的最大值为故选：B【练习2】已知正实数a，b满足a2b40，则u的最小值为_【答案】【解析】a2b40，ba24，aba2a4.又a，b0，u3333 【四】实际应用 1.例题【例1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池
10、底部的周长为_.【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为，由题意可得水池总造价，则，当且仅当，即时，有最小值297600，此时另一边的长度为，因此，当水池的底面周长为时，水池的总造价最低，最低总造价是元，故答案为1602.巩固提升综合练习【练习1】某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处 C3 km处 D2 km处【解析】设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1(k10
11、)，运输费用y2k2x(k20)，把x10，y12代入得k120，把x10，y28代入得k2，故总费用yx28，当且仅当x，即x5时等号成立答案：A三、课后自我检测1若集合A，Bx|x22x，则AB 。【答案】x|0x1【解析】因为Ax|0x1，Bx|x22xx|0x2，所以ABx|0x0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1，5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为.12已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是 。【答案】(，1
12、)(2，)【解析】由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)开口向下，所以当x1，1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.13若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，则a的取值范围是_【答案】4，3【解析】原不等式即(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a，1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.14不等式x28y2y(xy)对于任意的x，yR恒成立，则实数的取值范围为_【答案】8，4【解析】
13、因为x28y2y(xy)对于任意的x，yR恒成立，所以x28y2y(xy)0对于任意的x，yR恒成立，即x2yx(8)y20恒成立，由二次不等式的性质可得，2y24(8)y2y2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.15若存在实数x2,4，使x22x5mx22x5，设f(x)x22x5(x1)24，x2,4，当x2时，f(x)min5，存在x2,4使x22x5mf(x)min，m5.16已知实数x，y满足x2y23，|x|y|，则的最小值是_【答案】【解析】由已知可得1，(54)，当且仅当|x2y|2xy|时取等号17已知P为椭圆1上一个动点，过点P作圆(x1)2y21的两条切线，切点
14、分别是A，B，则的取值范围为_【答案】【解析】如图，由题意设APB2，则PAPB，|cos 2cos 2cos 2，设cos 2t，则t0，(1t)32323，当且仅当1t，即t1时等号成立， 此时cos 21.又当点P在椭圆的右顶点时，sin ，cos 212sin2 ，此时最大，且最大值为.的取值范围是.18在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是 。【答案】1,3 【解析】 因为关于x的不等式x2(a1)xa0可化为(x1)(xa)1时，不等式的解集为x|1xa，当a1时，不等式的解集为x|ax1，当a1时，不等式的解集为，要使得解集中至多包含1个整数
15、，则a1或1a1，所以实数a的取值范围是a1,3，故选C.19不等式x22ax3a20)的解集为_.【答案】x|ax3a【解析】x22ax3a20(x3a)(xa)0，a3a，不等式的解集为x|ax0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，则的最小值是_【答案】9【解析】 由函数f(x)ax2bx，得f(x)2axb，因为函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9.21在ABC中，A，ABC的面积为2，则 的最小值为 【答案】【解析】由ABC的面积为2，所以Sbcsin Ab
16、csin 2，得bc8，在ABC中，由正弦定理得22，当且仅当b2，c4时，等号成立22已知a1，1，不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为_【答案】x|x1或x3【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)a(x24x4)，则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立，易知只需f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，联立方程解得x1或x3.23已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1，3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)当m0时，f(x)10恒成立，当m0时，则即4m0.综上
17、，4m0，故m的取值范围是(4，0(2)不等式f(x)5m，即(x2x1)m0，所以m对于x1，3恒成立，只需求的最小值，记g(x)，x1，3，记h(x)x2x1，h(x)在x1，3上为增函数，则g(x)在1，3上为减函数，所以g(x)ming(3)，所以m.所以m的取值范围是.24已知不等式ax2bxc0的解集为(1，t)，记函数f(x)ax2(ab)xc.(1)求证：函数yf(x)必有两个不同的零点；(2)若函数yf(x)的两个零点分别为m，n求|mn|的取值范围【解析】(1)证明：由题意知abc0，且1.所以a0且1，所以ac0.对于函数f(x)ax2(ab)xc有(ab)24ac0.所
18、以函数yf(x)必有两个不同零点(2)|mn|2(mn)24mn84.由不等式ax2bxc0的解集为(1，t)可知，方程ax2bxc0的两个解分别为1和t(t1)，由根与系数的关系知t，所以|mn|2t28t4，t(1，)所以|mn|，所以|mn|的取值范围为(，)25设函数（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；（2）若对于恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由题意，要使不等式恒成立，当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；当时，只需，解得，综上所述，实数的取值范围为.（2）要使对于恒成立，只需恒成立，只需，又因为，只需，令，则只需即可因为，当且仅当，即时等式成立；因为，所以，所以.26设函
19、数，其中（1）当时，求函数的值域；（2）若对任意，恒有，求a的取值范围【解析】（1）当时，（i）当时，此时，（ii）当时，此时，由（i）(ii)得的值域为；（2）因为对任意，恒有，即，解得，下面证明，当时，对任意恒有，（i）当时，故成立；（ii）当时，故成立，此时，对任意，恒有，所以实数的取值范围是.27徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/时已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a0)(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，
20、并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【解析】(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，则全程运输成本为ya0.01v25v， 则y5v, v(0，100(2)依题意知a，v都为正数，则5v2 100，当且仅当5a，即v10时取等号若10100，即0a100，当v10时，全程运输成本y最小若10100，即a100时，则当v(0，100时，可以证明函数y5v是减函数，即此时当v100时，全程运输成本y最小综上所得，当0a100时，行驶速度应为v10千米/时，全程运输成本最小；当a100时，行驶速度应为v100千米/时，全程运输成本最小28已知关于的不等式.（1）当时，若的解集为，求实数的值；（2）当时，求关于的不等式的解集.【解析】（1）当时，因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得：；（2），当时，方程的两个根分别为：.当时，两根相等，故不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.