1、小题压轴题专练9椭圆（2）一、单选题1动直线与椭圆有两个不同的交点，在椭圆上找一点使的面积最大，则的最大值是A1B2CD解：设，联立，得，得，当过点直线与动直线平行且与椭圆只有一个交点时，点到动直线距离取到最值（最大或最小），不妨设过点直线方程为，联立，整理得，则根据，可得，不妨取，则到直线的距离，令，则令，则当时，当，时，的最大值为故选：2已知椭圆与双曲线有公共焦点，为左焦点，为右焦点，点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为ABCD解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，且，设，则，解得：，化为：令，当且仅当时取等号故选：3设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点、关
2、于原点对称，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是A，B，C，D，解：作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，故平行四边形为矩形，设，则在直角三角形中，得，得，令，得，又由，得，即，即，得，即，即，则，即，得得则椭圆的离心率的取值范围是，故选：4已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当为坐标原点）的面积最小时，、是椭圆的两个焦点），则此时中的平分线的长度为ABCD解：由题意，切线方程为，直线与、轴分别相交于点、，当且仅当时，为坐标原点）的面积最小，设，则，由余弦定理可得，的面积，设中的平分线的长度为，则，故选：5已知点，在椭圆上，若点为椭圆的右顶点
3、，且为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是AB，C，D解：由题意知，点，则，；又，代入椭圆方程中，整理得；令，；，（a），如图所示：，对称轴满足，即，；又，；则椭圆的离心率的取值范围是，故选：6已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为A，BC，D解：延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，设直线的方程，联立，整理得：，则，由，则，解得：，由，整理得：，则，即，椭圆的离心率，椭圆的离心率的取值范围，方法二：利用椭圆的极坐标方程由，且，由，所以，整理得，其中，由，不重合，所以，解得，所以，椭圆的离心率的取值范围，故选：7已知点为椭圆的左顶点，为椭圆的右焦点，、在椭
4、圆上，四边形为平行四边形为坐标原点），过直线上一点作圆的切线，为切点，若面积的最小值大于，则椭圆的离心率的取值范围是ABCD解：因为四边形为平行四边形，所以，设点纵坐标为，代入椭圆的方程得，解得，则，解得，当，可得，所以直线的方程为，化简可得，所以即为点到直线的距离，所以，所以，整理得，故，所以，所以，所以舍去）或，所以的取值范围为，故选：8已知，是离心率为的椭圆的焦点，是椭圆上第一象限的点，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，则ABCD解：离心率为，则，设的坐标为，三角形的面积为，则，是的重心，即，设内切圆的半径为，则，则，即，即，则，则，即则，即，故选：9已知椭圆，直线过椭圆的左焦点且
5、交椭圆于、两点，的中垂线交轴于点，则的取值范围为ABCD解：由椭圆的方程：，可得左焦点，当直线的斜率为0时，则直线为轴，的中垂线为轴，这时与原点重合，这时，所以，当直线的斜率不存在时，的中垂线为轴，舍去，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，的坐标分别为，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，所以弦长，所以的中点坐标，所以直线的中垂线方程为：，令，可得，所以，所以，所以，综上所述的取值范围，故选：10已知，是椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是ABCD解：若要满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可，在三角形
6、中，由余弦定理可得：，当且仅当，即此时为椭圆短轴的端点时，最大，如图，不妨设点为短轴的上顶点时，最大，设，则，所以，因此当椭圆的离心率取得最小值时，故椭圆的标准方程为，连接，则，所以只需研究的最大值即可，连接，当且仅当，三点共线点在线段的延长线上）时，不等式取得等号，所以的最大值，故的最大值是故选：2、 多选题11设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，过点的直线交椭圆于，两点，且，关于点对称，则下列结论正确的有A椭圆的方程为B椭圆的焦距为C椭圆上存在4个点，使得D直线的方程为解：由椭圆的定义知，故，因为，所以，所以，所以椭圆的方程为，所以椭圆的焦距为，则正确，错误，由知，故点在以为直径的圆
7、上，由知圆与椭圆有4个交点，正确，依题意知点为弦的中点，设，则，两式作差可得，因为，所以，故直线的方程为：，即，正确，故选：12已知椭圆的左、右焦点分别为，其长轴长是短轴长的，若点是椭圆上不与，共线的任意点，且的周长为16，则下列结论正确的是A的方程为B的离心率为C双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为D点是圆上一点，点，是的左、右顶点不与，重合），设直线，的斜率分别为，若，三点共线，则解：根据题意可得，解得，对于：椭圆的方程为，即正确；对于，即错误；对于：双曲线的渐近线为，联立，且，解得，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，即正确；对于：由题意知，设，则，在圆上，且，三点共线，即，故
8、选项正确故选：13一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”则下列命题正确的有A若是“黄金椭圆”，则B若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为C若是左焦点，分别是右顶点和上顶点，则D设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，“黄金椭圆”上动点（异于，设直线，的斜率分别为，则解：中没有指明焦点在轴还是轴，应该由两个值，所以不正确；中，由题意，则，所以，则的周长为，所以正确；中，由题意可得，要使椭圆为“黄金椭圆”，则，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以正确；中，由题意可得，设，则为，因为在椭圆上，所以，所以，因为黄金椭圆”上动点，所以，所以，而，所以，即，所以，可得正确故选：14已
9、知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是A若，则的面积为B四边形，可能为矩形C直线的斜率为D若与、两点不重合，则直线和斜率之积为解：由椭圆，得，在中，由余弦定理可得，即，解得，故错误；若四边形为矩形，则，即，即，联立，得，得，即，得，该方程有实根，故正确；由，得，由对称性，不妨设，得，则，则，故正确；，所在直线方程为，与椭圆联立，可得，即得，故，则，故错误故选：3、 填空题15把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆
10、”交于，两点，则半椭圆方程为，的周长的取值范围是解：由，令，可得以及，再由椭圆的方程及题意可得，由，可得，由可得，所以，所以半椭圆及圆弧的方程分别为，所以，可得相当于椭圆的左焦点，的周长为，当从（不包括向运动时，当在轴右侧时，所以这时三角形的周长为8，当从向运动时，在第四象限，则，这时三角形的周长小于8，当运动到时，在处，不构成三角形，三角形的周长接近，由曲圆的对称性可得运动到轴下方时，与前面的一样，综上所述，的周长的取值范围为，故答案为：；，16在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于，两点，且，过作交于点，点的坐标为，则椭圆的方程为解：由已知可得，所以，则直线的方程为：，即，代
11、入椭圆方程消去整理可得：，设，则，又由已知可得：，所以，则，所以，所以，又由可得，所以，即，解得或4（舍去），所以，所以椭圆的方程为，故答案为：17设，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点是椭圆上的动点，过点作的角平分线的垂线，交于，交直线于，则点的横坐标的最小值为解：设，因为点在椭圆上，所以，又，所以，所以，分别过点，作轴于，轴于，则，所以，所以，即，有是的中点，所以，令，故，（当且仅当，即时，取等号）即点的横坐标的最小值为故答案为：18已知点，分别是椭圆的右顶点、下顶点、左焦点和右焦点，点，是椭圆上任意两点，若的面积最大值为，则的最大值为解：如图所示，直线的方程为：设与直线平行且与椭圆相切于点的直线方程为：、联立，化为：，令，解得：取与之间的距离的面积最大值解得设，则则，当且仅当时取等号的最大值为故答案为：
