1、小题压轴题专练15数列（2）1、 单选题1整数列满足，且对任意有，则的个位数字是A8 B4 C2 D前三个答案都不对解：因为，则，因为，则，故，即，欲求个位数字，只需让 模 10，其结果为从 开始周期为 24，则 的个位数字是 8，故选：2已知数列满足，则一定存在，是数列中A存在，有B存在，有C存在，有D存在，有解：函数与有两个交点，可知当时，数列递减，；当时，数列递增，并且趋向1；当时，数列递减，并且趋向1，则可知，错误；又当时，则当时，一定小于，则之后均小于，错误；对于，可取，得，满足要求故选：3已知数列满足：若正整数使得成立，则A16B17C18D19解：，即，时，两式相除可得，则，由，
2、可得，且，正整数时，要使得成立，则，则，故选：4数列满足，且记数列的前项和为，则当取最大值时为A11B12C11或13D12或13解：设，由，可得，可得，可得，则数列的奇数项为首项为，公差为1的等差数列；偶数项为首项为，公差为的等差数列，且每隔两项的和为9，7，5，3，1，为递减，可得，则当取最大值时或13故选：5等差数列，满足，则A的最大值是50B的最小值是50C的最大值是51D的最小值是51解：不妨设，由对称性可得：，则，解得：，的最大值为50故选：6已知数列的前项和为，设，则的最小值为ABCD解：，时，化为：时，解得数列是等比数列，首项为，公比为，则，当且仅当，即时取等号，可知此时整数不
3、存在，因此等号不成立利用单调性经过验证可得时，取得最小值故选：7设表示不超过的最大整数，已知数列中，且，若，求整数的值是A120B121C122D123解：因为，故，故；由，且，当趋于无穷大时，可得，所以：故整数的值是122故选：8已知数列中，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为ABCD解：数列的首项，且满足，可得，存在正整数，使得成立，当为偶数时，递增，可得的最小值为；，递减，可得的最大值为，可得，即有；当为奇数时，递减，可得的最大值为；，递增，可得的最小值为，可得，即有则的取值范围是，故选：9已知数列满足，则A当时，则B当时，则C当时，则D当时，则解：分别画出函数，的图象，可得，
4、时，由此可得，都不正确；，又，因此正确；或利用证明，当时，因此不正确故选：10已知，直线与曲线相切，设的最大值为，数列的前项和为，则正确的是A存在，B为等差数列C对于，D解：设直线与曲线相切于点，则，可得：令（a），（a），可得时，函数（a）取得极大值即最大值数列的前项和可知，错误因此只有正确故选：2、 多选题11已知数列满足，且，数列的前项和为，则ABC2020 D2021 解：因为，令，则，所以，故正确，错误；因为且，同除以，得，所以，所以，即，故正确，错误故选：12已知数列满足，且，则下列结论正确的是ABC的最小值为0D当且仅当时，取最大值30解：由，可得，所以数列是等差数列，因为，所以
5、，所以，故正确；当时，所以当时，当时，所以当时，当时，所以，故错误；，当时，取得最小值为0，故正确；当或时，取最大值30，故错误故选：13已知等差数列的公差，前项和为，且，则ABC数列中可以取出无穷多项构成等比数列D设，数列的前项和为，则解：，当时，有，两式相减得：，又，解得：，选项正确；又当时，有，即，解得：或，故选项错误；又，或，当时：令，则，则数列是等比数列，又，此时；当时：令，则，则数列是等比数列，又，此时，故选项正确，选项错误，故选：14大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的
6、两仪数量总和，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，此数列记为，其前项的和记为，则ABCD解：根据题意：当为奇数时，当为偶数时，所以，对于：当时，故正确；对于：当时，故正确；对于：当第项为奇数时，；所以，故错误；对于：当第项为偶数时，所以，故正确故选：3、 填空题15已知数列满足：对任意，且，其中，则使得成立的最小正整数为解：，则，即数列是以3为首项，公差为1的等差数列，解得，使得成立的最小正整数为298故答案为：29816对于正整数，设是关于的方程的实数根记，其中表示不超过的最大整数，则；设数列的前项和为，则解：当时，设单调递减，（1），所以，；令，则方程化为：，令，则在单调递增，由零点存在定理可得，当，；当，故答案为：0，101017已知等差数列满足：，且该数列在区间，中的项比在区间，中的项少2，则的通项公式为解：，；，在区间，中的项比，中的项少2，且为等差数列，8，14，是数列的项，存在，；，存在，使，故，故，故，故，故，而，是数列的项，故，故答案为：，18已知等比数列的公比为，前项和为，且满足，若对一切正整数，不等式，恒成立，则实数的取值范围为解：若，则，即，此时，与题意不符，舍去；若，由，可得，即，解得，则，；对一切正整数，不等式恒成立，化简得，分离可得，设，则，当时，即（9）（8）（1）；当时，即（9）；所以的最小值为（9），故答案为：
