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2022年高三数学小题压轴题专练15:数列(2)含答案解析

1、小题压轴题专练15数列(2)1、 单选题1整数列满足,且对任意有,则的个位数字是A8 B4 C2 D前三个答案都不对解:因为,则,因为,则,故,即,欲求个位数字,只需让 模 10,其结果为从 开始周期为 24,则 的个位数字是 8,故选:2已知数列满足,则一定存在,是数列中A存在,有B存在,有C存在,有D存在,有解:函数与有两个交点,可知当时,数列递减,;当时,数列递增,并且趋向1;当时,数列递减,并且趋向1,则可知,错误;又当时,则当时,一定小于,则之后均小于,错误;对于,可取,得,满足要求故选:3已知数列满足:若正整数使得成立,则A16B17C18D19解:,即,时,两式相除可得,则,由,

2、可得,且,正整数时,要使得成立,则,则,故选:4数列满足,且记数列的前项和为,则当取最大值时为A11B12C11或13D12或13解:设,由,可得,可得,可得,则数列的奇数项为首项为,公差为1的等差数列;偶数项为首项为,公差为的等差数列,且每隔两项的和为9,7,5,3,1,为递减,可得,则当取最大值时或13故选:5等差数列,满足,则A的最大值是50B的最小值是50C的最大值是51D的最小值是51解:不妨设,由对称性可得:,则,解得:,的最大值为50故选:6已知数列的前项和为,设,则的最小值为ABCD解:,时,化为:时,解得数列是等比数列,首项为,公比为,则,当且仅当,即时取等号,可知此时整数不

3、存在,因此等号不成立利用单调性经过验证可得时,取得最小值故选:7设表示不超过的最大整数,已知数列中,且,若,求整数的值是A120B121C122D123解:因为,故,故;由,且,当趋于无穷大时,可得,所以:故整数的值是122故选:8已知数列中,且,若存在正整数,使得成立,则实数的取值范围为ABCD解:数列的首项,且满足,可得,存在正整数,使得成立,当为偶数时,递增,可得的最小值为;,递减,可得的最大值为,可得,即有;当为奇数时,递减,可得的最大值为;,递增,可得的最小值为,可得,即有则的取值范围是,故选:9已知数列满足,则A当时,则B当时,则C当时,则D当时,则解:分别画出函数,的图象,可得,

4、时,由此可得,都不正确;,又,因此正确;或利用证明,当时,因此不正确故选:10已知,直线与曲线相切,设的最大值为,数列的前项和为,则正确的是A存在,B为等差数列C对于,D解:设直线与曲线相切于点,则,可得:令(a),(a),可得时,函数(a)取得极大值即最大值数列的前项和可知,错误因此只有正确故选:2、 多选题11已知数列满足,且,数列的前项和为,则ABC2020 D2021 解:因为,令,则,所以,故正确,错误;因为且,同除以,得,所以,所以,即,故正确,错误故选:12已知数列满足,且,则下列结论正确的是ABC的最小值为0D当且仅当时,取最大值30解:由,可得,所以数列是等差数列,因为,所以

5、,所以,故正确;当时,所以当时,当时,所以当时,当时,所以,故错误;,当时,取得最小值为0,故正确;当或时,取最大值30,故错误故选:13已知等差数列的公差,前项和为,且,则ABC数列中可以取出无穷多项构成等比数列D设,数列的前项和为,则解:,当时,有,两式相减得:,又,解得:,选项正确;又当时,有,即,解得:或,故选项错误;又,或,当时:令,则,则数列是等比数列,又,此时;当时:令,则,则数列是等比数列,又,此时,故选项正确,选项错误,故选:14大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理如图示,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的

6、两仪数量总和,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,此数列记为,其前项的和记为,则ABCD解:根据题意:当为奇数时,当为偶数时,所以,对于:当时,故正确;对于:当时,故正确;对于:当第项为奇数时,;所以,故错误;对于:当第项为偶数时,所以,故正确故选:3、 填空题15已知数列满足:对任意,且,其中,则使得成立的最小正整数为解:,则,即数列是以3为首项,公差为1的等差数列,解得,使得成立的最小正整数为298故答案为:29816对于正整数,设是关于的方程的实数根记,其中表示不超过的最大整数,则;设数列的前项和为,则解:当时,设单调递减,(1),所以,;令,则方程化为:,令,则在单调递增,由零点存在定理可得,当,;当,故答案为:0,101017已知等差数列满足:,且该数列在区间,中的项比在区间,中的项少2,则的通项公式为解:,;,在区间,中的项比,中的项少2,且为等差数列,8,14,是数列的项,存在,;,存在,使,故,故,故,故,故,而,是数列的项,故,故答案为:,18已知等比数列的公比为,前项和为,且满足,若对一切正整数,不等式,恒成立,则实数的取值范围为解:若,则,即,此时,与题意不符,舍去;若,由,可得,即,解得,则,;对一切正整数,不等式恒成立,化简得,分离可得,设,则,当时,即(9)(8)(1);当时,即(9);所以的最小值为(9),故答案为: