1、小题压轴题专练12抛物线（1）一、单选题1已知实数，成等差数列，记直线与曲线的相交弦中点为，若点，分别是曲线与轴上的动点，则的最小值是A2B3C4D5解：因为实数，成等差数列，所以，则直线化为，即，所以直线过定点，又点在曲线上，所以直线与曲线相交的一个交点为，设另一个交点为，设，则，又在曲线上，化简得，即在抛物线上运动，设抛物线的焦点为，设，曲线，得，记圆心所以故选：2已知抛物线，点，是抛物线上任意两点，是的中点，且，则到轴距离的最小值为A9B8C4D3解：法：由题意可知直线的斜率不为零，设，设点，、，则点，点到轴的距离为由，整理得，由韦达定理得，可得，；当且仅当，即当时，等号成立，此时，成立
2、，合乎题意！因此，点到轴的距离的最小值为3，此时，直线的方程为法二：因为：；的中点到轴距离的值为：；即最小值为3故选：3已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且，同在一个以为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线相切于点，则直线经过的定点的坐标是ABCD解：设，抛物线的焦点为又，同在一个以为圆心的圆上，直线的斜率直线，直线的斜率为，设点，直线的斜率为，直线的方程为，整理可得，故直线经过的定点的坐标是，故选：4已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为AB2CD1解：设，由，可得四点，共圆，可得以为直径的圆，方程为
3、，联立圆，相减可得的方程为，又与椭圆相切，可得过的切线方程为，即为，由两直线重合的条件可得，由于在椭圆上，可设，即有，可得，且，即有，当即或或或时，的面积取得最大值故选：5已知不过原点的动直线交抛物线于，两点，为坐标原点，为抛物线的焦点，且，若面积的最小值为27，则A2B3C4D6解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，；，两边平方可得，联立消去并整理得：，当直线的斜率不存在时，设直线，设，则，解得，面积的最小值为，依题意，故选：6已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，若存在点，使得为等边三角形，则A8B10C12D14解：抛物线的焦点到准线的距离为2，则，即抛物线方程为，
4、其焦点坐标为，则直线过焦点，设点，、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理可得，所以，线段的中点为，由于是等边三角形，则，所以，直线的斜率为，得，解得，则点的坐标为，由两点间的距离公式得，得，即，所以，解得，因此，故选：7抛物线与直线交于点，二点，过点作轴的平行线与交于点，过点作抛物线的切线，切点为，切线与直线交于点已知点，则A8BC16D解：联立得：，设，直线，直线联立得的坐标，又，设切点，则过点的抛物线的切线方程为：，即，该切点过点，交点，又，故选：8已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于，两点，交抛物线于，两点，则的最大值为ABCD解：由物线，可得其焦点设，由
5、对称性，不妨设直线的斜率设直线的方程为，联立，化为，直线的方程为，联立，化为，令，可得时，函数取得最大值，的最大值为故选：9已知抛物线和直线在第一象限内的交点为，设，是抛物线上的动点，且满足，记，则A当时，的最小值是B当时，的最小值是C当时，的最小值是D当时，的最小值是解：如右图所示，点，到直线的距离，又抛物线的焦点为，根据抛物线的定义知，故，又点到直线的距离，当时，故选：10已知抛物线，从点，发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，则的重心坐标为ABCD解：如图所示，过点作，垂足为，因为，反射光线的倾斜角为，所以，可得，即，将点，代入中，可得，解得
6、舍去），所以抛物线的方程为直线的方程为，设，联立，消去，可得，显然，又因为，所以，设的重心坐标为，所以，所以的重心坐标为，故选：2、 多选题11过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为的中点，则A以线段为直径的圆与轴相切B当时，C以线段为直径的圆与直线相离D的最小值为3解：当直线的斜率不存在时，以线段为直径的圆与轴相切；当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，设，可得，设，可得的横坐标为，的中点的横坐标为，当时，的中点的横坐标为，得以线段为直径的圆与轴相交，故错；以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，设，可得，可得，又，可得，则，故正确；的焦点，准线方程为，设，在准
7、线上的射影为，由，可得线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故正确；当直线垂直于轴，可得为通径，取得最小值4，故错误故选：12已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则A若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为B若，则直线的斜率为C若直线的斜率为，则D设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为解：对于，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为，故正确；对于，可设，直线的方程为，与抛物线联立，消去，可得，可得，由，即为，可得，由可得，则，可得，即有直线的斜率为，故错误；对于，若直线的斜率为，由选项
8、可得，由抛物线的弦长公式可得，故错误；对于，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为，设直线的方程为，设，联立可得，所以，到轴的距离为，所以，当且仅当时，取得等号，故正确故选：13在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为设与轴的交点为，为上异于的任意一点，在上的射影为，的外角平分线交轴于点，过作于，过作交线段的延长线于点，则ABCD解：由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得，即正确；为的外角平分线，所以，又，所以，所以，所以，所以正确；连接，由上面可得：，所以四边形为平行四边形，所以，所以，在中，中，所以；所以正确；中，若，而，所以是的中点，所以，由上面可知为等边三
9、角形，即，而为抛物线上任意一点，所以不一定为，所以不正确；故选：14如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，则在下列命题中，正确的是A若记直线，的斜率分别为，则的大小是定值为B的面积是定值1C线段，长度的平方和是定值5D设，则解：，设直线的方程为，联立方程组，消元得：，故正确；设直线的方程为，则直线的方程为，联立方程组，解得，不妨设在第三象限，则，用替换可得，到的距离，又，故正确；又，故正确；联立方程组，可得，故，替换可得，到直线的距离，当且仅当即时取等号，故正确故选：3、 填空题15已知曲线上任意一点到点的距离比到轴的距离大2，
10、直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点，在第一象限），则的最小值为23解：曲线上任意一点到点的距离比到轴的距离大2，曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则曲线为抛物线，其方程为，焦点为，则直线过抛物线的焦点，当时，则，当时，如图，过作轴于，设抛物线的准线交周于，则，得，则，同理可得，化圆为，则圆的圆心为，半径为1，当且仅当时上式等号成立的最小值为23，故答案为：2316.过抛物线的焦点的直线与相交于两点，且，两点在准线上的射影分别为，的面积与的面积互为倒数，则的面积为2解：设直线的倾斜角为，则，设，由抛物线的定义知，的面积与的面积互为倒数，即，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，即，轴，且，故答案为：217直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点，则的最小值为10解：设直线的方程为，联立，整理得，即，则，因此，由题意可知：，则，即，则，直线的方程为，直线过点，则圆的圆心为，由三角形的中线长定理可知：，当，即时，取最小值，最小值为20，则的最小值为10故答案为：1018已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作倾斜角为的直线与交于，两点，若，则解：抛物线的焦点为，准线，设，令，联立有，消去得，则，所以，则，即，化简得，消去得，即，所以，解得，即，所以或，则，则，则
