1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 4.5.2 二分法求方程的近似解 第第五五章章 函数的应用（二）函数的应用（二） 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用 二分法求方程的近似解 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解 学习目标学习目标 1 1、函数的零点的定义：、函数的零点的定义： ( )0( )( )f xyf xxyf x方程有实数根函数的图象与 轴有交点函数有零点温故知新温故知新 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point） ( ) , f xa bg 如果函数
2、y=在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2、零点存在判定法则、零点存在判定法则(理论基础理论基础） 温故知新温故知新 提出问题提出问题 我们已经知道，函数 = + 在区间（，） 内存在一个零点进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围 问题问题探究探究 1 2 3 4 5 取区间（，）的中
3、点2.5，用计算工具算得f（ 2.5 ）0.084因为f（ 2.5 ）f（），所以零点在区间（ 2.5 ，）内 再取区间（ 2.5 ，）的中点2.75 ，用计算工具算得f（ 2.75 0.512因为f（ 2.5 ）f（ 2.75 ），所以零点在区间（ 2.5 ， 2.75 ）内 问题问题探究探究 由于（，）（2.5，） （2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值 问题问题探
4、究探究 1二分法的定义 对于在区间a， b上连续不断且f(a) _f(b)0的函数 yf(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 思考：若函数 yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 连续不断 f(a)f(b)0 一分为二 零点 概念概念解析解析 提示 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)(x1)2的零点就不能用二分法求解 概念概念解析解析 2二分法求函数零点近似值的步骤 f(a) f(b)0 f(c)=0 b=c
5、 (a，c) f(c) f(b)0 (c，b) |ab| 概念概念解析解析 1思考辨析 (1)二分法所求出的方程的解都是近似解( ) (2)函数 f(x)|x|可以用二分法求零点( ) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后， 零点必定在右侧区间内( ) 答案 (1) (2) (3) 概念概念辨析辨析 2用二分法求函数 f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为 0.001，则结束计算的条件是( ) A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001 B 据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度 时，便可结束计算 概念概念辨析辨析 3 已知函数 yf(x)的图象如图
6、所示， 则不能利用二分法求解的零点是_ x3 x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解 概念概念辨析辨析 4用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经过计算得 f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_. (0,0.5) f(0.25) f(0)0，x0(0,0.5)，故第二次应计算 f(0.25) 概念概念辨析辨析 典典例解析例解析 例例1 1.借助信息技术，用二分法求方程2+3x=的近似解（精确度为0.1） 解：原方程即2+3x=，令 = 2+3x-，用信息技术画出函数的 = 图象并列出它的对应值表; 观察图或表，可知f（）f（），说明该函数在
7、区间（，）内存在零点0取区间（，）的中点1，用信息技术算得f（1.5）0.33因为f（）f（1.5），所以 0（，1.5） 再取区间（，1.5）的中点21.25，用信息技 术算得f（1.25）0.87因为f（1.25）f（1.5）， 所以0（1.25，1.5）同理可得，0（1.375，1.5），0（ 1.375 ， 1.4375 ）由于 1.375 1.4375 0.06250.1， 所以，原方程的近似解可取为1.375 周而复始怎么办? 精确度上来判断. 定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 口 诀 1关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( ) A“二分法
8、”求方程的近似解一定可将 yf(x)在a，b内的所有零点得到 B“二分法”求方程的近似解有可能得不到 yf(x)在a，b内的零点 C应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在a，b内有可能无零点 D“二分法”求方程的近似解可能得到 f(x)0 在a，b内的精确解 【答案答案】D 二分法求零点，则一定有且能求出，故 B，C 不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故 A 不正确，故选 D. 当堂达标当堂达标 2通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是( ) A B C D 【答案答案】C 在 A 中，函数无零点在 B 和 D 中，函数有零点，但它们在零点左右的函数
9、值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点而在 C 中，函数图象是连续不断的，且图象与 x 轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以 C 中的函数能用二分法求其零点 3用二分法求函数 f(x)x35 的零点可以取的初始区间是( ) A2,1 B1,0 C0,1 D1,2 【答案答案】A f(2)30，f(2) f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算 4用二分法求函数 yf(x)在区间2,4上零点的近似值，经验证有 f(2) f(4)0.取区间的中点 x12423，计算得 f(2) f(x1)0，则此时零点 x0_(填区间). 【答案答案】(2,3) 因为 f(2) f(3
10、)0，所以零点在区间(2,3)内 5用二分法求方程 ln(2x6)23x的根的近似值时，令 f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 0.360 4 0.998 9 由表中的数据，求方程 ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为 0.1) 【答案答案】因为 f(1.25) f(1.375)0.1， 因此需要取(1.25,1.375)的中点 1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为 0.062 50.1，因此 1.312 5 是一个近似解 用二分法求解方程的近似解：用二分法求解方程的近似解： 1、确定区间、确定区间a,b，验证，验证f(a)f(b)0,f(b)0) (1) 若若f(x1)=0,则则x1就是函数的零点就是函数的零点 (2) 若若f(x1)0,则令则令a= x1(此时零点此时零点x0(x1,b) 4、判断是否达到精确度、判断是否达到精确度，即若，即若|a-b| ,则得到零点的近似值则得到零点的近似值a(或或b)；否则得反复否则得反复24 课堂小结课堂小结
