1、人教人教2019版必修第一册版必修第一册 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.5.2 4.5.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 课程目标课程目标 1.了解二分法的原理及其适用条件了解二分法的原理及其适用条件. 2.掌握二分法的实施步骤掌握二分法的实施步骤. 3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识问题的意识. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：二分法的概念；数学抽象：二分法的概念； 2.逻辑推理：用二分法
2、求函数零点近似值的步骤；逻辑推理：用二分法求函数零点近似值的步骤； 3.数学运算：求函数零点近似值；数学运算：求函数零点近似值； 4.数学建模：通过一些函数模型的实例，让学生感受数学建模：通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用他学科中的广泛应用. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本144-145页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 二分法的定义是什么？用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？二分法的定义是什么？用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？ 2. 利用二
3、分法求方程的近似解时，函数零点所在的区间应满足什么条件？利用二分法求方程的近似解时，函数零点所在的区间应满足什么条件？ 如何根据精确度确定符合要求的近似值如何根据精确度确定符合要求的近似值? 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且 f(a) f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的所在的区间，使区间的两个逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法一分为二一分为二 端点端点 点睛点睛 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼二
4、分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点用此区间的某个数值近似地表示真正的零点 零点零点 知识清单知识清单 2 2用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度给定精确度 ， 用二分法求函数， 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：零点近似值的步骤如下： 第一步，确定区间第一步，确定区间a，b，验证，验证 f(a) f(b)0，给定精确度，给定精确度 . 第二步，求区间第二步，求区间(a，b)的的 c. 第三步
5、，计算第三步，计算 f(c)： 中点中点 (1)若若 f(c)0，则，则 c 就是函数的零点；就是函数的零点； (2)若若 f(a) f(c)0，则令，则令 c(此时零点此时零点 x0(a，c)； (3)若若 f(c) f(b)0，则令，则令 c(此时零点此时零点 x0(c，b) 第四步，判断是否达到精确度第四步，判断是否达到精确度 ：即若：即若|ab| ，则得到零点，则得到零点 近似值近似值 a(或或 b)，否则重复第二至四步，否则重复第二至四步 b a 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求 ()(2)函数 f(x)|x|可以用二分法求其零点()(3)精
6、确度就是近似值() 2观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( ) 答案：A小试牛刀小试牛刀 3用二分法求函数用二分法求函数 f(x)x35 的零点可以取的初始区的零点可以取的初始区间是间是 ( ) A2,1 B1,0 C0,1 D 1,2 答案：A4用二分法研究函数用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经的零点时，第一次经计算得计算得 f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算，第二次应计算_ 答案：(0,0.5)f(0.25) 题型一题型一 二分法概念的理解二分法概念的理解 题型
7、分析题型分析 举一反三举一反三 例 1下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是()解析：A 中，函数无零点B 和 D 中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点而在 C 中，函数图象是连续不断的，且图象与 x 轴有交点，并且其零点为变号零点，故选 C.答案：C解题方法解题方法（二分法的适用条件） 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用 跟踪训练一 1.已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A
8、4,4B3,4C5,4D4,3解析：图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号的零点有 3 个，所以用二分法求解的个数为 3，故选 D.答案：D题型二题型二 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 例2 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1). 解解:由于f(-2)=-10,故取区间-3,-2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点的值 中点函数值(近似值) (-3,-2) -2.5 1.25 (-2.5,-2) -2.25 0.062 5 (-2.25,-2) -2.125 -0.484 4 (-2.25,-2.125) -2.18
9、7 5 -0.214 8 (-2.25,-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1 由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 50.1, 所以函数的一个近似负零点可取-2.25. 解题方法解题方法（用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则及求解流程图） 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则: (1)依据图象估计零点所在的初始区间m,n(这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽可能的小,区间的端点尽量为整数). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度),才终止计算,得到函数零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法). 2.利用二分法求函数近似零点的流程图: 跟踪训练二1.用二分法求2x+x=4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2). 参考数据: 解:令f(x)=2x+x-4, 则f(1)=2+1-40. |1.375-1.5|=0.1250(1,1.5)x2=1.25f(x2)=-0.370(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)=-0.0350
