1、人教人教A版版 必修必修 第一册第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课程目标课程目标 1. 了解集合的含义；理解元素与集合的了解集合的含义；理解元素与集合的“属于属于”与与“不属不属于于”关系；熟记常用数集专用符号关系；熟记常用数集专用符号 2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题够用其解决有关问题 3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。集合语言的意义和作用。 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示
2、集合的方法；数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法； 2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用； 3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；化为列举法时的运算； 4.数据分析数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件元素在集合中对应的参数满足的条件； 5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。与归类。 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本2-3页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1.集合和元
3、素的含义是什么？各用什么字母表示？ 2.集合有什么特性？ 3.元素和集合之间有哪两种关系？有什么符号表示？ 4.常见的数集有哪些？用什么字母表示？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 知识清单知识清单 1元素与集合的概念元素与集合的概念 (1)元素： 一般地， 把元素： 一般地， 把 统称为元素 元素常用小写的拉丁字母统称为元素 元素常用小写的拉丁字母 a， b，c，表示表示 (2)集合：把一些元素组成的集合：把一些元素组成的 叫做集合叫做集合(简称为简称为_)集合通常用大写的集合通常用大写的拉丁字母拉丁字母 A，B，C，表示表示 (3)集合相等：只要构成两个
4、集合的集合相等：只要构成两个集合的 是一样的，就称这两个集合是相是一样的，就称这两个集合是相等的等的 (4)元素的特性：元素的特性： 、 、 研究对象研究对象 总体总体 元素元素 确定性确定性 无序性无序性 互异性互异性 集集 点睛点睛 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物 2元素与集合的关系元素与集合的关系 关系关系 语言描述语言描述 记法记法 读法读法 属于属于 a 是集合是集合 A 中的元素中的元素 a A a 属于集合属于集合 A 不属于不属于 a
5、不是集合不是集合 A 中的元素中的元素 a A a 不属于集合不属于集合 A 点睛点睛 对元素和集合之间关系的两点说明对元素和集合之间关系的两点说明 (1)符号符号“”“”“ ”刻画的是元素与集合之间的关系对刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素于一个元素 a 与一个集合与一个集合 A 而言， 只有而言， 只有“aA”与与“a A”这这两种结果两种结果 (2)和和 具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如 R0 是错误的是错误的 3常用的数集及其记法常用的数集及其记法 常用的常用的数集数集 自然数自然数集集 正整正整 数集数集 整数整数 集集 有理有理
6、 数集数集 实数集实数集 记法记法 N N*或或 N Z Q R 答案：答案：A 2下列元素与集合的关系判断正确的是下列元素与集合的关系判断正确的是 ( ) A0N BQ C. 2Q D1 Z 小试身手小试身手 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)你班所有的姓氏能组成集合你班所有的姓氏能组成集合 ( ) (2)新课标数学人教新课标数学人教 A 版必修版必修 1 课本上的所有难题课本上的所有难题( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素一个集合中可以找到两个相同的元素 ( ) 3已知集合已知集合 A 中含有两个元素中含有两个元素 1，x2，且，且 xA，
7、则，则 x 的值是的值是 ( ) A0 B1 C1 D0 或或 1 答案：答案：A 4方程方程 x210 与方程与方程 x10 所有解组成的集合中共有所有解组成的集合中共有_个元素个元素 答案：答案：2 题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 集合的含义集合的含义 例例 1 考查下列每组对象，能构成一个集合的是考查下列每组对象，能构成一个集合的是( B ) 某校高一年级成绩优秀的学生；某校高一年级成绩优秀的学生； 直角坐标系中横、纵坐标相等的点；直角坐标系中横、纵坐标相等的点； 不小于不小于 3 的自然数；的自然数； 2018 年第年第 23 届冬季奥运会金牌获得者届冬季奥运会金牌获
8、得者 A B C D 解题方法解题方法（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定关键看该组对象是否满足确定性性，如果此组对象满足确定性如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则就可以组成集合；否则，不能组不能组成集合成集合同时还要注意集合中元素的互异性同时还要注意集合中元素的互异性、无序性无序性 跟踪训练一跟踪训练一 1给出下列说法：给出下列说法： 中国的所有直辖市可以构成一个集合；中国的所有直辖市可以构成一个集合； 高一高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；班较胖的同学可以构成一个集合； 正偶数的全体可以构成一个集合；
9、正偶数的全体可以构成一个集合； 大于大于2 013且小于且小于2 018的所有整数不能构成集合的所有整数不能构成集合 其中正确的有其中正确的有_(填序号填序号) 答案：答案： 题型二题型二 元素与集合的关系元素与集合的关系 答案答案 ( (1 1) ) C C ( (2 2) ) 0,1,2 例例 2 (1)下列关系中，正确的有下列关系中，正确的有 ( ) 12R； 2 Q；|3|N；| 3|Q. A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个个 (2)集合集合 A 中的元素中的元素 x 满足满足63xN，xN，则集合，则集合 A 中的元素为中的元素为_ 解题方法解题方法（判断元素与集合关系的两
10、种方法） 跟踪训练二跟踪训练二 2已知集合已知集合 A 中有四个元素中有四个元素 0,1,2,3，集合，集合 B 中有三个元素中有三个元素 0,1,2，且元素且元素 aA，a B，则，则 a 的值为的值为 ( ) A0 B1 C2 D3 解析：解析：aA，a B，由元素与集合之间的关系知，由元素与集合之间的关系知，a3. 答案答案： D 3用适当的符号填空：用适当的符号填空： 已知已知 Ax|x3k2，kZ，Bx|x6m1，mZ，则有：则有：17_A；5_A. 解析：解析：令令 3k217 得，得，k5Z. 所以所以 17A. 令令 3k25 得，得，k73 Z. 所以所以5 A. 答案：答案
11、： 题型三题型三 集合中元素的特性及应用集合中元素的特性及应用 解析解析 若若 1A，则则 a1 或或 a21，即即 a 1. 当当 a1 时时，集合集合 A 有重复元素有重复元素，不符合元素的互异性不符合元素的互异性， a1； 当当 a1 时时，集合集合 A 含有两个元素含有两个元素 1，1，符合元素的互符合元素的互异性异性a1. 答案答案 1 例例 3 已知集合已知集合 A 含有两个元素含有两个元素 a 和和 a2，若，若 1A，则实数，则实数 a 的的值为值为_ 一题多变一题多变 1变条件变条件本本例例若将条件若将条件“1A”改为改为“2A”，其他条件不变，其他条件不变，求实数求实数 a
12、 的值的值 解：解：若若 2A，则，则 a2 或或 a22，即即 a2，或，或 a 2，或，或 a 2. 2变条件变条件本本例例若去掉条件若去掉条件“1A”，其他条件不变，则实数，其他条件不变，则实数 a的取值范围是什么？的取值范围是什么？ 解：解：若若 A 中有两个元素中有两个元素 a 和和 a2，则由，则由 aa2解得解得 a0 且且 a1. 3变条件变条件已知集合已知集合 A 含有两个元素含有两个元素 1 和和 a2，若，若“aA”，求实数求实数 a 的值的值 解：解：由由 aA 可知，可知， 当当 a1 时，此时时，此时 a21，与集合元素的互异性矛盾，与集合元素的互异性矛盾， 所以所
13、以 a1. 当当 aa2时，时，a0 或或 1(舍去舍去) 综上可知，综上可知，a0. 解题方法解题方法（根据集合中元素的特性求解字母取值根据集合中元素的特性求解字母取值(范围范围)的的3个步骤个步骤） 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本3-5页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？ 2.它们各自有什么特点？ 3.它们使用什么符号表示？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 知识清单知识清单 点睛点睛 列举法表示集合时的列举法表示集合时的 4 个关注点个关注点 (1)元素与元素之间必须用元素与元素
14、之间必须用“，”隔开隔开 (2)集合中的元素必须是明确的集合中的元素必须是明确的 (3)集合中的元素不能重复集合中的元素不能重复 (4)集合中的元素可以是任何事物集合中的元素可以是任何事物 1列举法列举法 把集合的元素把集合的元素 出来， 并用花括号出来， 并用花括号“ ”括起来表示集合的方括起来表示集合的方法叫做列举法法叫做列举法 一一列举一一列举 2描述法描述法 (1)定义：用集合所含元素的定义：用集合所含元素的 表示集合的方法表示集合的方法 (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 _及及 ，再画一条竖线，在竖线后写，再画一条竖线，在
15、竖线后写出这个集合中元素所具有的出这个集合中元素所具有的 点睛点睛 描述法表示集合时的描述法表示集合时的 3 个关注点个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号如数或点等写清楚集合中元素的符号如数或点等 (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等式或几何图形等 (3)不能出现未被说明的字母不能出现未被说明的字母 共同特征共同特征 一般符号一般符号 取值取值(或变化或变化)范围范围 共同特征共同特征 小试身手小试身手 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)由由 1,1,2,3 组成的集合可用
16、列举法表示为组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3 ( ) (2)集合集合(1,2)中的元素是中的元素是 1 和和 2. ( ) (3)集合集合 Ax|x10与集合与集合 B1表示同一个集合表示同一个集合 ( ) 2方程组方程组 xy1，xy3的解集是的解集是 ( ) A(1,2) B(1，2) C(1,2) D(1，2) 答案：答案：C 3不等式不等式 x32 且且 xN*的解集用列举法可表示为的解集用列举法可表示为 ( ) A0,1,2,3,4 B1,2,3,4 C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5 答案：答案：B 4不等式不等式 4x57 的解集为的解集为_ 答案：答案：x|
17、4x57 题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 用列举法表示集合用列举法表示集合 例例 1 用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合 (1)不大于不大于 10 的非负偶数组成的集合；的非负偶数组成的集合； (2)方程方程 x3x 的所有实数解组成的集合；的所有实数解组成的集合； (3)直线直线 y2x1 与与 y 轴的交点所组成的集合轴的交点所组成的集合 解解 (1)因为不大于因为不大于 10 是指小于或等于是指小于或等于 10，非负是大于或，非负是大于或等于等于 0 的意思，所以不大于的意思，所以不大于 10 的非负偶数集是的非负偶数集是0,2,4,6,8,10 (2)方程方程
18、x3x 的解是的解是 x0 或或 x1 或或 x1，所以方程的，所以方程的解组成的集合为解组成的集合为0,1，1 (3)将将 x0 代入代入 y2x1，得，得 y1，即交点是，即交点是(0,1)， 故两直线的交点组成的集合是故两直线的交点组成的集合是(0,1) 解题方法解题方法（用列举法表示集合的三个步骤） 1.求出集合的元素； 2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3.用花括号括起来。 解析：解析：集合集合 A(1,2)，(3,4)中有两个元素中有两个元素(1,2)和和(3,4) 答案答案：B 跟踪训练一跟踪训练一 1若集合若集合 A(1,2)，(3,4)，则集合，则集合 A 中
19、元素的个数是中元素的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 2用列举法表示下列给定的集合：用列举法表示下列给定的集合： (1)大于大于 1 且小于且小于 6 的整数组成的集合的整数组成的集合 A. (2)方程方程 x290 的实数根组成的集合的实数根组成的集合 B. (3)一次函数一次函数 yx3 与与 y2x6 的图象的交点组成的集合的图象的交点组成的集合 D. 解：解： (1)因为大于因为大于 1 且小于且小于 6 的整数包括的整数包括 2,3,4,5， 所以， 所以 A2,3,4,5 (2)方程方程 x290 的实数根为的实数根为3,3，所以，所以 B3,3 (3)由由 yx3，y2x6
20、得得 x1，y4， 所以一次函数所以一次函数 yx3 与与 y2x6 的交点为的交点为(1,4)，所以，所以 D(1,4) 题型题型二二 用用描述描述法表示集合法表示集合 例例 2 用描述法表示下列集合：用描述法表示下列集合： (1)被被 3 除余除余 1 的正整数的集合；的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合；坐标平面内第一象限的点的集合； (3)大于大于 4 的所有偶数的所有偶数 解解 (1)根据被除数商根据被除数商 除数余数， 可知此集合表示为除数余数， 可知此集合表示为x|x3n1，nN (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表第一象限内的点的横、纵坐标均大
21、于零，故此集合可表示为示为(x，y)|x0，y0 (3)偶数可表示为偶数可表示为 2n，nZ，又因为大于，又因为大于 4，故，故 n3，从，从而用描述法表示此集合为而用描述法表示此集合为x|x2n，nZ 且且 n3 解题方法解题方法（描述法表示集合的描述法表示集合的2个步骤个步骤） 跟踪训练二跟踪训练二 3用符号用符号“”或或“ ”填空：填空： (1)Ax|x2x0， 则， 则1_A， ， 1_A； (2)(1,2)_(x，y)|yx1 解析：解析：(1)易知易知 A0,1，故，故 1A，1 A； (2)将将 x1，y2 代入代入 yx1，等式成立，等式成立 答案：答案：(1) (2) 4用适
22、当的方法表示下列集合：用适当的方法表示下列集合： (1)已知集合已知集合 Px|x2n,0n2 且且 nN； (2)抛物线抛物线 yx22x 与与 x 轴的公共点的集合；轴的公共点的集合； (3)直线直线 yx 上去掉原点的点的集合上去掉原点的点的集合 解：解：(1)列举法：列举法：P0,2,4 (2)描述法：描述法： x，y yx22xy0. 或列举法：或列举法：(0,0)，(2,0) (3)描述法：描述法：(x，y)|yx，x0 题型三题型三 集合表示法的综合应用集合表示法的综合应用 例例 3 (1)若集合若集合 AxR|ax22x10，aR中只中只有一个元素， 则有一个元素， 则 a (
23、 ) A1 B2 C0 D0 或或 1 (2)设设12 x x2ax520，则集合，则集合 x x2192xa0中所有元素之积为中所有元素之积为_ 解析解析 (1)当当 a0 时，原方程变为时，原方程变为 2x10， 此时此时 x12，符合题意；，符合题意； 当当 a0 时，方程时，方程 ax22x10 为一元二次方程，为一元二次方程， 44a0，即，即 a1， 原方程的解为， 原方程的解为 x1， 符合题意， 符合题意 故当故当 a0 或或 a1 时，原方程只有一个解，此时时，原方程只有一个解，此时 A 中只有中只有一个元素一个元素 (2)因为因为12 x x2ax520，所以，所以 122
24、12a520， 解得：解得：a92， 当当 a92时，方程时，方程 x2192x920 的判别式的判别式 192 249228940， 所以集合所以集合 x x2192x920的所有元素的积为方程的两根的所有元素的积为方程的两根之积等于之积等于92. 答案答案 (1) D (2) 92 解题方法解题方法(集合表示法中元素与集合的关系集合表示法中元素与集合的关系) 1.若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和 集合属性是关键； 2.若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是 关键； 跟踪训练三跟踪训练三 5已知集合已知集合 Ax|x2axb0，若，若 A2,3，求，求 a，b 的值
25、的值 解：解：由由 A2,3知，方程知，方程 x2axb0 的两根为的两根为 2,3，由根与，由根与系数的关系得，系数的关系得， 23a，23b，因此因此 a5，b6. 6设集合设集合 B xN 62xN.试判断元素试判断元素 1,2 与集与集 合合 B的关系；用列举法表示集合的关系；用列举法表示集合 B. 解：解：(1)当当 x1 时，时，6212N. 当当 x2 时，时，62232 N.所以所以 1B,2 B. (2)62xN，xN，2x 只能取只能取 2,3,6. x 只能取只能取 0,1,4.B0,1,4. 题型四题型四 集合含义的拓展集合含义的拓展 例例 4 用描述法表示抛物线用描述
26、法表示抛物线 yx21 上的点构成的集合上的点构成的集合 解解 抛物线抛物线 yx21 上的点构成的集合可表示为：上的点构成的集合可表示为：(x，y)|yx21 一题多变一题多变 1 变条件， 变设问变条件， 变设问本题中点的集合若改为本题中点的集合若改为“x|yx21”，则集合中的元素是什么？则集合中的元素是什么？ 解：解：集合集合x|yx21的代表元素是的代表元素是 x，且，且 xR， 所以所以x|yx21中的元素是全体实数中的元素是全体实数 2变条件，变设问变条件，变设问本题中点的集合若改为本题中点的集合若改为“y|yx21”，则集合中的元素是什么？则集合中的元素是什么？ 解：解：集合集合 y| yx21的代表元素是的代表元素是 y，满足条件，满足条件 yx21的的 y 的取值范围是的取值范围是 y1，所以，所以 y| yx21 y| y1，所，所以集合中的元素是大于等于以集合中的元素是大于等于 1 的全体实数的全体实数 解题方法解题方法（认识集合含义认识集合含义的的2个步骤个步骤）
