1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 1.41.4 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 本课是高中数学第一章第 4 节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一， 它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。 从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难 “充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中
2、学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点. 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念； B.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件 C.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假. D.在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质 1.数学抽象：充分条件、必要条件、充要条件的含义； 2.逻辑推理：判断命题的充分条件、必要条件、充要条件； 3.直观想象：对条件的判定应该归结为判断命题的真假。 1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法； 2.教学难点
3、：命题条件充要性的判断及其证明。 多媒体 教学过程 落实核心素养目标 一、情景引入，温故知新 情景 1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记 p:闭合开关 A, q:灯泡亮。 请把这个电路图改写为“若 p，则 q”形式的命题并判断真假。 【答案】真命题 情景 2：记 p:x 2, q:x 0 。 判断命题“若 x 2 ，则 x 0”的真假。 【答案】真命题 二、探索新知 探究一 充分条件与必要条件的含义 1.思考:下列“若 P，则 q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形
4、全等； （3）若2430,1;xxx 则 （4）若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l,则 a/b。 【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真 2、归纳新知 （1）充分条件、必要条件的含义 一般地,用 p、q 分别表示两个命题,如果命题 p 成立,可以推出命题 q 也成立,即pq,那么 p 叫做 q 的充分条件, p 叫做 q 的必要条件. P 足以导致 q,也就是说条件 p 充分了； q 是 p 成立所必须具备的前提. 通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出充分条件与必要条件的含义。提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 通过命题真假的判定，归纳出充分条
5、件、必要条件的含义。 通过思考，进一步理解充分条件、必要条件的含义，教会学生解决和研究问（2） pqpqpqpqqp如果“若 ，则 ”为假命题，那么由 推不出 ，记作。此时，我们就说 不是 的充分条件， 不是 的必要条件。 3.思考：下列“若 P，则 q”形式的命题中，p 是 q 的什么条件？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若2430,1;xxx 则 （4）若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l,则 a/b。 【解析】（1）、（4）中，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；（2）、（3）
6、中， p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件 21 1;2;(3),41,1;(5),;(6),pqpqxxabacbcx yxy例 ：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是 的 充分条件？（ ）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形（ ）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似若四边形为菱形 则这个四边形的对角线互相垂直；（ ）若则若则若为无理数，则为无理数。【解析】（1）这是一条平行四边形的判定定理，pq， 所以 p 是 q 的充分条件； (2)这是一条相似三角形的判定定理，pq，所以 p 是 q 的充分条件； （3）这是一条菱形的性质定理，pq,所以
7、 p 是 q 的充分条件; （4）由于2( 1)1，但-11,pq, 所以 p 不是 q 的充分条件。 （5）由等式的性质知，pq，所以 p 是 q 的充分条件。 （6）2为无理数，但222为有理数，pq，所以 p 不是 q 的充分条件。 4、思考：例 1 中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件， 这样的充分条件唯一吗？若不唯一， 那么你能给出不同的充分条件吗？ 【解析】 四边形的两组对边分别相等， 四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。 结论： 一般地， 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。 题。 通过例题进一步巩固充
8、分条件的含义，提高学生解决问题的能力。 通过思考理解充分条件的不唯一。 通过例题进一步巩固必要条件的含义，提高学生解决问题的能力。 通过思考理解必要条件的不唯一。 22 1;2;(3),41,1;(5),;(6)pqqpxxacbcabxyxy例 ：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是 的必要条件？（ ）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角 分别相等（ ）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例若四边形的对角线互相垂直 则这个四边形为菱形；（ ）若则若则若为无理数，则 、 为无理数。 解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，Pq，所以 q 是 p 的必要条件； （2）这是
9、一条相似三角形的性质定理，Pq，所以 q 是 p 的必要条件； （3）如图，四边形 ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形pq， 所以q不是p的必要条件； （4）显然Pq， 所以 q 不是 p 的必要条件。 （5）由于 ( 1) 01 0,1 1,pq 但所以 q 不是 p 的必要条件； （6）12= 2由于为无理数，但 1，2不全是无理数，pq，所以 q 不是 p 的必要条件。 思考：例 2 中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件， 这样的必要条件唯一吗？若不唯一， 你能给出几个其它的必要条件吗？ 【解析】 四边形的两组对边分别相等， 四边形的一组对边平行且相等，四边形的两
10、条对角线互相平分都是其必要条件。 【结论】 一般地， 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 探究二 充要条件的含义 1.思考：下列“若 P，则 q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根，则0ac。 通过判断命题及其逆命题的真假，概括归纳充要条件的定义，提高学生的抽象概括能力。 提高例题进一步巩固充要条件。 通过思考理解充要条件的不唯一。 提高例题掌握充要条件的证明方法，提高学生
11、解决问题的能力。去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。 （4）若ABU是空集，则 A 与 B 均是空集。 【解析】命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。 2.定义：一般地，如果既有，又有，就记作：, 这时 p 既是 q 的充分条件， 又是 q 的必要条件， 则 p 是 q 的充分必要条 件 ， 简 称 充 要 条 件 。 其 中叫 做 等 价 符 号 。 例 3 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ （1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； （3）p:xy0,q:x0,y0; (4) p:
12、x=1 是 一 元 二 次 方 程20axbxc的 一 个 根 ， q:0(0)abca。 解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以qp，所以 p 不是 q 的充要条件。 （2）因为“若 p，则 q”是相似三角形的性质定理，“若 q，则 p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即pq，所以P 是 q 的充要条件。 （3）因为 xy0 时，x0,y0 不一定成立，所以 pq，所以 p 不是 q 的充要条件。 （4）因为“若 p，则 q”与“若 q，则 p”均为真命题，即pq， 所以 P 是 q 的充要条件。 3.探究： 通过上面的学习， 你能给出“四边形是平行四边形”
13、的充要条件吗？ 【解析】四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、 四边形的对角线互相平分、 四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。 例 4 已知： O 的半径为 r， 圆心 O 到直线 L 的距离为 d。 求证： d=r是直线 l 与O 相切的充要条件。 解析:设：， ：直线 与O 相切。要证是的充要条件，只需证明充分性（）和必要性（）即可。 解：教材 P22 点评：在处理充分和 必要条件问题时，首先应分清条件和结论，然后才能进行推理和判断。 三、达标检测 pqqppqpqpqqp表示且pdrqlpqpqqp 本节课对于充要性关键是理清题意,特别要认
14、清条件与结论分别是什么,可以从语文中的定语前1:05,:23, .A. B.C. D.xx、设命题甲命题乙那么甲是乙的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也必要条件 【答案】B 2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空： （1）xy 是 x2y2的_ 条件； （2）ab = 0 是 a = 0 的_条件； （3）x21 是 x1 的_条件； （4）x1 或 x2 是 x23x20 的_条件。 【答案】（1）充分不必要 （2）必要不充分 （3）既不充分也不必要 （4）充要 3.求证： 关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=
15、0。 证明： （1） 必要性， 即 “若 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的根， 则 a+b+c=0” x=1 是方程的根， 将 x=1 代入方程， 得 a12+b1+c=0， 即 a+b+c=0 （2）充分性，即“若 a+b+c=0，则 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的根” 把 x=1 代入方程的左边，得 a12+b1+c=a+b+c a+b+c=0， x=1 是方程的根 综合（1）（2）知命题成立 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 四、小结 1、充分条件、必要条件、充要条件的概念. 2、判断充分、必要条件的基本步骤
16、： 认清条件和结论； 考察pqqp和是否能成立。 3、判别技巧： 可先简化命题； 否定一个命题只要举出一个反例即可； 五、作业 习题 1.4 3，5 题 通过总结，让学生进一步巩固充分条件、必要条件、充要条件的概念，集合的表示方法，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识。 置或定语后置来让学生分析条件与结论。这点内容学生理解较为困难,讲解时要多举一些例子。通过练习,发现学生将充要条件问题转化为集合问题时问题较多,特别是涉及到高一所学的集合与函数内容时,感到无从下手。 从教学中及时调整了教案,让每一个想发言的学生都能表达自己的想法,尽管他们有些数学语言的运用还不太准确,但我还是给与了肯定与鼓励。
