1、3.2.13.2.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 函数的单调性与最大（小）值系人教 A 版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在
2、这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.理解增函数、减函数、单调区间、单调 B.掌握增（减）函数的证明与判断； C.能利用单调性求函数的最大（小）值； D.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 1.数学抽象：函数的单调性； 2.逻辑推理：证明函数的单调性； 3.数学运算：求函数的最大（小）值； 4.直观想象：由函数的图象研究函数的单调性； 5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。 1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值； 2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心
3、素养目标 一、情景引入 1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？ 二、探索新知 探究一 单调性 1、思考：如何利用函数解析式2)(xxf描述“随着 x 的增大，相应的 f(x)随着增大？” 【答案】图象在区间 ）, 0(上 逐渐上升， 在）, 0(内随着 x 的增大，y 也增大。 对于区间）, 0(内任意21,xx，当21xx 时，都有)()(21xfxf。这是，就说函数2)(xxf在区间 ）, 0(上是增函数. 2、你能类似地描述2)(xxf在区间)0 ,(上是减函数吗？ 【答案】在区间)0 ,(内任取21,xx，得到2
4、11)(xxf，222)(xxf ， 当21xx 时 ， 都 有)()(21xfxf。 这 时 ， 我 们 就 说 函 数 2)(xxf在区间)0 ,(上是这减函数. 3、思考：函数|)(xxf，2)(xxf各有怎样的单调性 ？ 通过观察函数的图象， 观察函数的变化规律， 引入本节新课。提高学生概括、推理的能力。 通过思考， 观察函数的图象，学生归纳随着 x的变化，相应的 f(x)也随着变化， 提高学生的解决问题、分析问题的能力。 单调递增。）上，上单调递减，区间（在区间（0)0 ,|)(xxf 递减。）上单调，上单调递增，在区间（在区间（0)0 ,)(2xxf 单调性概念： 对于定义域 I
5、内某个区间 D 上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx 时，都有 。就说函数)(xf在区间 D 上是增函数. 对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx 时，都有 。就说函数)(xf在区间 D 上是减函数. 如果函数 y =f(x)在区间 D 是增函数或减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间 D 上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y =f(x)的 。 数吗？在该区间上一定是增函那么函数且满足在定义域的某区间上、思考：函数)(),()(,存在)(4212121xfyxfxfxxxxxfy【答案】不一定，如 5、思考：函数的单调性是对定义域内某个区
6、间而言的，你能举出在整个定义 通过思考， 观察函数的图象， 得到函数的单调性， 进而归纳出函数单调性的定义。 提高学生分析问题、概括能力。 通过思考， 进一步巩固函数单调性的定义。 提高学生解决问题的能力。 域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 【答案】y=2x+3, 牛刀小试： 1、如图是定义在闭区间-5,5上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出 y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。 【答案】函数 f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5, 其中 f(x)在区间
7、-5,-2),1,3)上是减函数， 在区间-2,1),3,5上是增函数。 例 1 根据定义，研究函数 )0()(kbkxxf的单调性。 【答案】解析见教材 结论：用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取 x1，x2D，且 x1x2； 2.作差:f(x1)f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差 f(x1)f(x2)的正负； 5.结论:指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性. 例 2 物理学中的玻意耳定律为正常数）kVkp(告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 V 减小时，压强 p 将增大,试用函数单调性证明之. 分析：按题意就是证明函数为正常数）kVkp(
8、在区间), 0 （上是减函数. 通过练习， 进一步巩固单调性的定义， 提高学生解决问题的能力。 通过例题， 教会学生利用单调性的定义证明函数的单调性， 提高学生解决问题能力、 用分类讨论解决问题的能力。 用单调性的定义解决物理学中的玻意耳定律为正常数）kVkp(，提高学生的学科交融能力。 【答案】解析见教材 例 3 根据定义证明函数xxy1在区间), 1（上单调递增。 解析见教材 探究二 函数的最大（小）值 1、思考：观察这两个函数图象，图中有个最高点，设函数 y=f(x)图象上最高点的纵坐标为 M， 则对函数定义域内任意自变量 x， f(x)与 M 的大小关系如何？ 【答案】f(x)0 时，
9、有(2a1)(a1)2，解得 a2；当 a0 时，有(a1)(2a1)2，解得 a2.综上知 a 2. 【答案】 C 4函数 yx22x，x0,3的值域为( ) A0,3 B1,0 C1，) D1,3 【解析】 函数 yx22x(x1)21，x0,3，当 x1 时，函数y取得最小值为1， 当 x3 时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为1,3，故选 D. 【答案】 D 5已知函数 f(x)x2x1. (1)画出函数的图象； (2)根据图象求函数在区间1,1上的最大值 【解】 (1)图象如图所示： 通过练习巩固本节所学知识， 提高学生解决问题的能力， 感悟其中蕴含的数学思想， 增强学生的应用意
10、识。 本节课在预设时就考虑到要使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法,在课堂教学时更注意到要培养学生从具体到象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程和不断探求新知识的能力,因而本节课的教学效果还是达到了预定的教学目标。 通过本节课的教学,使我深深地明白,通过钻研课本、了解学生、明白教学目标、设定切合实际的教学目标，围绕目标精心组织教学,以培养学生的学习兴趣为出发点,就一定能搞好数学教学。 (2)由图象知，函数在1,1上的最大值是 3. 四、小结 1. 增函数、减函数的定义； 2.证明函数单调性的步骤； 3.函数的最大（小）值。 五、作业 习题 3.2 3,4,7 题 通过总结， 让学生进一步巩固本节所学内容， 提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
