1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.2.1 3.2.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 课程目标课程目标 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义； 2、会根据单调定义证明函数单调性； 3、理解函数的最大（小）值及其几何意义； 4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：用数学语言表示函数单调性和最值； 2.逻辑推理：证明函数单调性； 3.数学运算：运用单调性解决不等式； 4.数据分析：利用图像求单调区间和最值； 5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。 自主预习，回答问题自主预习，回答问
2、题 阅读课本阅读课本76-77页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1.增函数、减函数的概念是什么？增函数、减函数的概念是什么？ 2.如何表示函数的单调区间？如何表示函数的单调区间？ 3.函数的单调性和单调区间有什么关系？函数的单调性和单调区间有什么关系？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 知识清单知识清单 1增函数、减函数增函数、减函数 图示 增函数 减函数 定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间D上的_两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2时,都有 f(x1) _f(x2) f(x1) _f(x2) 那么就
3、说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数 图象 特征 函数 f(x)在区间 D 上的图象是_的 函数 f(x)在区间 D 上的图象是_的 任意任意 上升上升 下降下降 2单调性与单调区间单调性与单调区间 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)_，区间D叫做yf(x)的_ 单调性单调性 单调区间单调区间 点睛 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“,”连接如函数y 在(，0),(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y 在(，0)(0，)上单调递减 1x1x自主预习，回答
4、问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本79-80页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1.函数最大函数最大(小小)值的定义是什么？值的定义是什么？ 2.从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 知识清单知识清单 3、函数的最大函数的最大(小小)值值 最大值最大值 最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数 yf(x)的定义域为的定义域为 I，如果，如果 实实数数 M 满足：对于满足：对于 的的 xI，都有，都有 f(x) M f(x) M 条件条件 存在存在 x0
5、I，使得，使得 结论结论 称称 M 是函数是函数 yf(x)的最大值的最大值 称称 M 是函数是函数 yf(x)的最小值的最小值 几何几何 意义意义 f(x)图象上最图象上最 点点的纵坐标的纵坐标 f(x)图象上最图象上最 点的纵坐标点的纵坐标 存在存在 任意任意 f(x0)M 高高 低低 点睛 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数yx2(xR)的最小值是0，有f(0)0. 小试身手小试身手 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(3)任何函数都有最大
6、值或最小值()(4)函数的最小值一定比最大值小() 2.函数函数 yf(x)的图象如图所示，其增区间是的图象如图所示，其增区间是 ( ) A4,4 B4，31,4 C3,1 D3,4 答案：答案：C 3函数函数 yf(x)在在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是最大值分别是 ( ) A1,0 B0,2 C1,2 D.12，2 答案：答案：C 4下列函数下列函数 f(x)中，满足对任意中，满足对任意 x1，x2(0，)，当，当 x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)的是的是 ( ) Af(x)x2 Bf(x)1x Cf(x)|x| D
7、f(x)2x1 答案：答案：B 5函数函数 f(x)2x，x2,4，则，则 f(x)的最大值为的最大值为_；最小值为；最小值为_ 答案：112题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 利用图象确定函数的单调区间利用图象确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是 增函数还是减函数: (1)y=3x-2;(2)y=-1. 分析:若函数为我们熟悉的函数,则直接给出单调区间,否则应先画出函数的草图,再结合图象“升降”给出单调区间. 解:(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数. (2)函数y=- 的单调区间为(-,0),(0,+),其在(-,0)及(0
8、,+)上均为增函数. 1 解题方法解题方法（利用图象确定函数的单调区间利用图象确定函数的单调区间） 1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开. 2.一次、二次函数及反比例函数的单调性: (1)一次函数y=kx+b(k0)的单调性由系数k决定:当k0时,该函数在R上是增函数;当k0时,该函数在R上是减函数. (2)二次函数y=a
9、x2+bx+c(a0)的单调性以对称轴x=- 为分界线. 2 a 的符号 单 调 性 a0 在 -,-b2a 上是减函数,在 -b2a, + 上是增函数 (3)反比例函数 y=(k0)的单调性如下表所示. k 的符号 单 调 性 k0 在(-,0),(0,+)上是减函数 k0 在(-,0),(0,+)上是增函数 跟踪训练一1.已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 解:f(x)=x|x-2|=(-2), 2,(2-), 2,图象如下图所示.由图象可知,函数的单调增区间为(-,1,2,+);单调减区间为1,2. 题型二题型二 利用函数的图象
10、求函数的最值利用函数的图象求函数的最值 例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的 最值情况,并写出值域. 解:y=-|x-1|+2= 3-, 1, + 1, 1,函数图象如图所示. 由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-,2. 解:y=-|x-1|+2=3-, 1,+1, 1,函数图象如图所示. 解题方法解题方法（用图象法求最值的3个步骤） 跟踪训练二1.已知函数 f(x)=1,0 ,1 2.(1)画出f(x)的图象; (2)利用图象写出该函数的最大值和最小值. 解:(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知f(x)的最小值
11、为f(1)=1,无最大值. 题型三题型三 证明函数的单调性证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数. 1 证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1x2, 则 f(x1)-f(x2)= 1+11 2+12 =(x1-x2)+2-112=(x1-x2) 1-112 =(1-2)(12-1)12. 0 x1x20,x1x2-10,x1-x20,即f(x1)f(x2). 故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数. 1 解题方法解题方法（利用定义证明函数单调性的4个步骤） 特别提醒特别提醒 作差变形的常用技巧: (1)因式分解.当原函数是多项
12、式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). (2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例. (3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号. (4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化. 跟踪训练三跟踪训练三 1. 求证：函数f(x) 在(0，)上是减函数， 在(，0)上是增函数 21x证明对于任意的 x1，x2(，0)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2)1x211x22x22x21x21x22x2x1x2x1x21x22.x1x20，x2x10
13、，x1x20，x21x220.f (x1)f (x2)0，即 f (x1)f (x2)函数 f (x)1x2在(，0)上是增函数对于任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2，有f (x1)f(x2)x2x1x2x1x21x22.0 x1x2，x2x10，x2x10，x21x220.f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)函数 f(x)1x2在(0，)上是减函数题型四题型四 利用函数的单调性求最值利用函数的单调性求最值 例4 已知函数f(x)=x+ . (1)判断f(x)在区间1,2上的单调性; (2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间1,2上的最值. 4解:(1)设x1,x2是区间
14、1,2上的任意两个实数,且x1x2, 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+4142 =(x1-x2) 1-412 =(1-2)(12-4)12. x1x2,x1-x20.当1x10,1x1x24, 即x1x2-4f(x2),即f(x)在区间1,2上是减函数. (2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1). f(1)=1+4=5,f(x)的最小值为4,最大值为5. 42 解题方法解题方法（单调性与最值的关系） 1.利用单调性求函数最值的一般步骤: (1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系: (1)若函数f
15、(x)在区间a,b上是增(减)函数,则f(x)在区间a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,在区间(b,c上是减(增)函数,则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. (3)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间a,b上一定有最值. (4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 1.已知函数f(x)61(x2,6)，求函数的最大值和最小值 跟踪训练跟踪训练四四 解：设 x1，x2是区间2,6上的任
16、意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)2x112x212x21x11x11x212x2x1x11x21.由 2x1x26，得 x2x10，(x11)(x21)0，于是 f(x1)f(x2) 0，即 f(x1)f(x2) 所以函数 f(x)2x1是区间2,6上的减函数因此，函数 f(x)2x1在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在 x2 时取得最大值，最大值是 2，在 x6 时取得最小值，最小值是 0.4.题型五题型五 函数单调性的应用函数单调性的应用 例5 已知函数f(x)在区间(0,+)上是减函数,试比较f(a2-a+1) 与f 的大小. 34 解:a2-a+1=
17、-122 3434,34与a2-a+1 都是区间(0,+)上的值.f(x)在区间(0,+)上是减函数,f34f(a2-a+1).解题方法解题方法（抽象函数单调性求参） 1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. 2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错. 跟踪训练五跟踪训练五 1.已知g(x)是定义在-2,2上的增函数,且g(t)g(1-3t),求t的取值范围. 解:g(x)是-2,2上
18、的增函数,且 g(t)g(1-3t),-2 2,-2 1-3 2, 1-3 ,即-2 2,-13 1, 14,14t1.t 的取值范围为14,1 .题型六题型六 单调性最值的实际应用单调性最值的实际应用 例6 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9 2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？ 解：画出函数h（t）=-4.9 2+14.7t+18的图象（图3.2-4）.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标
19、就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。 解题方法解题方法（解函数应用题的一般程序） (1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系. (2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模.求解数学模型,得到数学结论. (4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. (5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性. 1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维
20、护费50元. (1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 跟踪训练六跟踪训练六 解:(1)当每辆车的月租金为3 600元时, 未租出的车辆数为3 600-3 00050=12,所以此时租出了 88辆. (2)设每辆车的月租金为 x 元, 租赁公司的月收益为 y= 100-3 00050 (x-150)-3 0005050, 整理得 y=-250+162x-21 000 =-150(x-4 050)2+307 050. 所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.
