1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 3.2.1单调性与最大单调性与最大（小）值（小）值 第三章第三章 函数函数概念与概念与性质性质 二、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？ 一、观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？ x y o x y o x y o 在某一区间内， 图像在该区间内逐渐上升y随着x 的增大而增大； 图像在该区间内逐渐下降y随着x的增大而减小。 函数的这种性质称为函数的单调性 局部上升或下降 下 降 上升 xy xy初步感知 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f
2、（x） 16 9 4 1 0 1 4 9 16 2)(xxf 对区间 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2) 都 任意 在 内随着x的增大，y也增大 图象在区间 逐渐上升 1、思考：如何利用函数解析式 描述“随着x的增大，相应的f(x)随着增大？” 2)(xxf），（0），（0 x y o 2yx），（02、你能类似地描述 在区间 上是减函数吗？ 2)(xxf），（0- 在区间 上，任取两个 ，得到 (- ,0)12x ,x221122f(x ) = x ,f(x ) = x，当 12x f(x )这时，我们就说函数 在区间 上是这减函数. 2f(x) = x(,0)思考：函数
3、 各有怎样的单调性 2)(|,|)(xxfxxfO x y 2xy）上单调递增。，上单调递减，区间（在区间（0)0 ,|)(xxf递减。）上单调，上单调递增，在区间（在区间（0)0 ,)(2xxf( )yf x 单调性概念：单调性概念： xy01x)(1xf2x)(2xf( )yf x xy01x2x)(1xf)(2xf对于定义域对于定义域I内某个区间内某个区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值 ,21xx12xx )()(21xfxf当当 时时, , 都有都有 就说函数就说函数 在区间在区间 D上是上是增函数增函数. .这个给定的这个给定的区间就为单调增区间。区间就为单调增区间。
4、 )(xf)()(21xfxf都有都有 12xx 当当 时时, , 就说函数就说函数 在区间在区间 D上是上是减函数减函数. .这个给定的这个给定的区间就为单调减区间。区间就为单调减区间。 )(xf 如果函数 y =f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做y =f(x)的单调区间。 增函数吗？在该区间上一定是那么函数且满足在定义域的某区间上函数)(),()(,存在)(212121xfyxfxfxxxxxfy思考：思考： ( )yf x xy01x2x)(1xf)(2xf思考：思考： 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出
5、在整个定义域内是 单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另 一些区间上单调递减的函数例子吗？ 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -2 -3 2 3 o 42)(xxf如图是定义在闭区间-5,5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。 在区间-2,1),3,5上是增函数。 函数f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5, 其中f(x)在区间-5,-2),1,3)上是减函数， 牛刀小试：牛刀小试： 例1 根据定义，研究函数 的单调性。)0()(kbkxxf2121,xx
6、Rxx且解：设则 )()()()()(212121xxkbkxbkxxfxf02121xxxx当k0时， 0)(21xxk于是 )()(0)()(2121xfxfxfxf即上为增函数。在这时，R)(bkxxf当k0时， 0)(21xxk于是 )()(0)()(2121xfxfxfxf即上为减函数。在这时，R)(bkxxf函数的单调性 用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤: : 1.1.取数取数: :任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2； 2.2.作差作差:f(x:f(x1 1) )f(xf(x2 2) )； 3.3.变形变形: :通常是因式
7、分解和配方；通常是因式分解和配方； 4.4.定号定号: :判断差判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负；的正负； 5.5.结论结论: :指出函数指出函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性上的单调性. . 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之. kp =(k)V为为正正常常数数分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数. kp =v(0,+) 证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则 21121212V -Vkkp(V )-p(V )
8、 =-= kVVV V由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0 又k0,于是 12p(V )-p(V ) 021 p(V ) p(V )即即所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大. kp =,V(0,+)V取值 定号 作差变形 结论 例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增。 xxy1), 1 ( 证明： 有且,), 1 (,2121xxxx) 1()()11()()1()1(2121212112212121221121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyy01, 1. 1, 1), 1 (,21212121xxxxxxxx所以得由0) 1(, 0,2
9、121212121xxxxxxxxxx于是得又由.21yy 即所以，函数 在区间 上单调递增。 xxy1), 1 ( 下列两个函数的图象： 图1 o x0 x M y y x o x0 图2 M 观 察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？ 思考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？ 思考 f(x) M 2f x =-x +1 xR数数例例如如函函(0)=1 O 1 2 2、存在0，使得(0)=1. 1、对任意的 都有(x)1. xR1是此函数的最大值 知识要点 M是函数y= f (x)的最大
10、值（maximum value）： 0 xI 一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x I，都有f (x) M; （2）存在 ，使得 . 0f(x ) = M 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足： （1）对于任意的的xI，都有f(x) M; （2）存在 ，使得 ， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）. 0 xI0f(x ) = M 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？ 思考 24 .hth t = -4.9t +14.7t+18,?1?例例菊菊花花 烟烟花花是是最最壮
11、壮观观的的烟烟花花之之一一制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂 如如果果烟烟花花距距地地面面的的高高度度米米与与时时间间 秒秒之之间间的的关关系系为为: :那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻 这这时时距距地地面面的的高高度度是是多多少少精精确确到到 米米解：做出函数 的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 2h(t)= -4.9t +14.7t+18o t h 4 3 2 1 5 10 15 20 由二次函数的知识，对于函数 2h(t)=
12、 -4.9t +14.7t+18，我们有 当 时，函数有最大值 14.7t = -=1.52 (-4.9)24 (-4.9) 18-14.7h =294 (-4.9) 所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m. 例5 已知函数 ，求函数的最大值与最小. 1f(x) =(x2,6)x-1 分析：由函数的图象可知道，此函数在2，6上递减。所以在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值. 解：设 是区间2，6上的任意两个实数，且 ，则 12x ,x12x 0,(x -1)(x -1) 0,于是 12f(x )-f(x ) 0即 12f(x ) f(x )所以，此函数
13、在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值为0.4. 1下列函数在区间(0，)上不是增函数的是( ) Ay2x1 Byx21 Cy3x Dyx22x1 【解析】 函数 y3x 在区间(0，)上是减函数 【答案】 C 达标检测 2函数 f(x)x22x3 的单调减区间是( ) A(，1) B(1，) C(，2) D(2，) 【解析】 易知函数 f(x)x22x3 是图象开口向下的二次函数，其对称轴为 x1，所以其单调减区间是(1，) 【答案】 B 3 若函数 yax1 在1,2上的最大值与最小值的差为 2， 则实数 a 的值是()A2B2C2
14、或2D0【解析】 由题意，a0，当 a0 时，有(2a1)(a1)2，解得 a2；当 a0 时，有(a1)(2a1)2，解得 a2.综上知 a 2. 【答案】 C 4函数 yx22x，x0,3的值域为()A0,3B1,0C1，)D1,3【解析】 函数 yx22x(x1)21，x0,3，当 x1 时，函数 y取得最小值为1， 当 x3 时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为1,3，故选 D. 【答案】 D 5已知函数 f(x)x2x1. (1)画出函数的图象； (2)根据图象求函数在区间1,1上的最大值 【解】 (1)图象如图所示： (2)由图象知，函数在1,1上的最大值是 3. 课堂小结 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤； 1、单调函数的图象特征； 4、函数的最值： 最大值 最小值 5、函数的最值的求法 （1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值; （2）利用图象求函数的最值; （3）利用函数单调性求函数的最值 .
