1、 第五章第五章 函数函数的应用（的应用（二二） 4.5.3 函数模型的应用函数模型的应用 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本（A 版） 的第五章的 4.5.3 函数模型的应用。函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。 本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 课程目标 学科
2、素养 1. 能建立函数模型解决实际问题 2.了解拟合函数模型并解决实际问题 3.通过本节内容的学习， 使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力 a.数学抽象：由实际问题建立函数模型； b.逻辑推理：选择合适的函数模型； c.数学运算：运用函数模型解决实际问题； d.直观想象：运用函数图像分析问题； e.数学建模：由实际问题建立函模型； f.数据分析：通过数据分析对应的函数模型； 教学重点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题 教学难点： 利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学
3、素养目标 （一）创设问题情境 1常见函数模型 常用函数模型 (1) 一 次 函 数模型 ykxb(k，b 为常数，k0) (2) 二 次 函 数模拟 yax2bxc(a，b，c 为常数，a0) (3) 指 数 函 数模型 ybaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) (4) 对 数 函 数模型 ymlogaxn(m，a，n 为常数，m0，a0 且a1) (5) 幂 函 数 模型 yaxnb(a，b 为常数，a0) 2.建立函数模型解决问题的基本过程 （二）问题探究 我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 面临一个实际问题 ，
4、该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 典例解析典例解析 例 3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 认识人口数量的变化规律 ， 可以为制定一系列相关政策提供依据 早在 1978 年 ， 英国经济学家马尔萨斯 （ T.R.Malthas ，1766 1834） 就提出了自然状 通过对常见函数模型的回顾，提出新的问题，提出运用函数模型分析解决实际问题，培养和发展数据分析、数学建模和数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对具体问题的分析建模， 解模的过程，态下的人口增长模型 ，其中 t 表示经过的时间 ， 表示 t 时的人口数 ， r 表示人口的年平均增长率 下表 是 19501959 年我国的人口
5、数据资料 （1） 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （ 精确到 0.0001）， 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 ， 并检验所得模型与实 际人口数据是否相符 ； （2） 如果按上表 的增长趋势 ， 那么大约在哪一年我国的人口数达到 13 亿？ 分析 ： 用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型 ， 就是要确定其中的初始量 和年平均增长率 r 解 ：（ 1） 设 19511959 年我国各年的人口增长率分别为 ， 由 ( ) 可得 1951 年的人口增长率 0.0200 同理可得 ， 0.0210, 0.0229 , 0.0250, 0.01
6、97 ， 0.0223， 0.0276, 0.0222, 0.0154 于是 ， 19511959 年期间 ， 我国人口的年平均增长率为: ( ) 0.022 令 =55196， 则我国在 19501959 年期间的人口增长模型为 ，t N 根据表 中的数据画出散点图 ， 并画出函数 （t N ） 发展学生数学建模、数据分析、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 的图象 由图 可以看出 ， 所得模型与 19501959 年的实际人口数据基本吻合 事实上 ， 我国 1989 年的人口数为 11.27 亿 ， 直到 2005 年才突破 13 亿 对由 函数模型所得的结果与实际情况不符
7、 ， 你有何看法 ？ 因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 世纪 年代逐步实施了计划生育政策 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果 与实际不符的情况 例 4. 2010 年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测 ，检测出碳 14 的残留量约为初始量的 55.2 ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 分析 ： 因为死亡生物机体内碳 的初始量按确定的衰减率衰减 ， 属于指数衰减 ， 所以应选择函数 （ R ， 且 ； ， 且 ）
8、建立数学模型 解 ： 设样本中碳 的初始量为 ， 衰减率为 （ 0 1）， 经过 年后 ， 残余量为 根据问题的实际意义 ， 可选择如下模型 ： ( ) （ R ， 且 ； ； ） 由碳 的半衰期为 5730 年 ， 得 ( ) = ,于是 ( ) ，所以 ( ) 由样本中碳 14 的残余量约为初始量的 55.2 可知 ，即 0.552k ( ) ,解得 由计算工具得 4912 通过对具体问题的分析建模， 解模的过程，发展学生数学建模、数据分析、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 因为 2010 年之前的 4912 年是公元前 2902 年 ， 所以推断此水坝大概是公元前 29
9、02 年建成的 归纳总结归纳总结 规律方法 已知函数模型解决实际问题， 往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值 典例解析典例解析 例 5.假设你有一笔资金用于投资 ， 现有三种投资方案供你选择 ， 这三种方案的回报如下 ： 方案一 ： 每天回报 40 元 ； 方案二 ： 第一天回报 10 元 ， 以后每天比前一天多回报 10 元 ； 方案三 ： 第一天回报 0.4 元 ， 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 ， 你会选择哪种投资方案？ 问题中涉及哪些数量关系？问题中涉及哪些数量关系？ 投资天数、回报金额
10、投资天数、回报金额 如何用函数描述这些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 分析 ： 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 ， 再通过比较它们的增长情况 ， 为选择投资方案提供依据 解 ： 设第 x 天所得回报是 y 元 ， 则方案一可以用函数 y 40( ) 进行描述 ； 方案二可以用函数 y 10 x( )进行描述 ； 方案三可以用函数 ( ) 进行描述 三个模型中 ， 第一个是常数函数 ， 后两个都是增函数 要对三个方案作出选择 ， 就要对它们的增长情况进行分析 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况 三种方案每天回报表三种方案每天回报表 方案一的函数是常数函 数 ，
11、 方案二 、 方案三的函数都是增函数 ， 但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不相同 可以看到 ， 尽管方案一 、 方案二在第 天所得回报分别是方案三的 100 倍和 25 倍 ， 但它们的增长量固定不变 ， 而方案三是 “ 指数增长 ”， 其 “ 增长量 ” 是成倍增加的 ， 从第 7 天开始 ， 方案三比其他两个方案增长得快得多 ， 这种增长速度是方案一 、 方案二所无法企及的 从每天所得回报看 ， 在第 天 ， 方案一最多 ； 在第 天 ， 方案一和方案二一样多 ， 方案三最少 ； 在第 天 ， 方案二最多 ； 第 9 天开始 ， 方案三比其他两个方 案所得回报多得多 ， 到第 3
12、0 天 ， 所得回报已超过 2 亿元 下面再看累计的回报数 通过信息技术列表如下 投资投资 16 天，应选择方案一；天，应选择方案一； 投投资资 7 天，应选择方案一或方案二；天，应选择方案一或方案二； 投资投资 810 天，应选择方案二；天，应选择方案二； 投资投资 11 天（含天（含 11 天）以上，应选择方案三。天）以上，应选择方案三。 假如某公司每天给你投资 1 万元，共投资 30 天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司 1 分钱，第二天给公司 2 分钱，以后每天给的钱都是前一天的 2 倍，共 30 天，你认为这样的交易对你有利吗？ 解答如下：公司解答如下：公司 30 天内为你的总投
13、资为天内为你的总投资为: 30 万元万元 你你 30 天内给公司的回报天内给公司的回报为为:0.01+0.01 2+0.01 22+0.01229=10737418.231074(万元万元) 上述例子只是一种假想情况上述例子只是一种假想情况 ， 但从中可以看到但从中可以看到 ， 不同的函数增长不同的函数增长模型模型 ， 增长变化存在很大差异增长变化存在很大差异 例 6. 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y (单位：万元)随销售利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同
14、时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求？ 例例 6 涉及了哪几类函数模型？涉及了哪几类函数模型？ 一次函数，对数型函数，指数函数。一次函数，对数型函数，指数函数。 你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗? 分析 ： 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型 ， 按要求选择其中一个函数作为刻画 奖金总数与销售利润的关系 由于公司总的利润目标为 1000 万元 ， 所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润 于是 ， 只需在区间 10 ，1000 上 ， 寻
15、找并验证所选函数是否满足两条要求 ： 第一 ， 奖金总数不超过 万元 ， 即最大值不大于 ； 第二 ， 奖金不超过利润的 ， 即 Y0.25X 不妨先画出函数图象 ， 通过观察函数图象 ， 得到初步的结论 ， 再通过具体计算 ， 确认结果 解 ： 借助信息技术画出函数 y ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的图象 观察图象发现 ， 在区间 10， 1000 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的图象都有一部分在直线 y 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1 的图象始终在 y 的下方 ， 这说明只有按模型 y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求
16、下面通过计算确认上述判断 先计算哪个模型的奖金总数不超过 万元 对于模型 y 0.25x， 它在区间 10，1000 上单调递增 ， 而且当 x 时 ， y ， 因此 ， 当 x 时 ， y ， 所以该模型不符合要求 ； 对于模型, y=1.002x ， 由函数图象 ， 并利用信息技术 ， 可知在区间 （805 ，806 ） 内有一个点 满足 ， 由于它在区间 10 ，1000 上单调递增 ， 因此当 x 时 ， y ，所以该模型也不符合要求 ； 对于模型 y=log7x+1， 它在区间 10 ，1000 上单调递增 ， 而且当 x1000 时 ， y=log71000 14.55 ， 所以它
17、符合奖金总数不超过 万元的要求 再计算按模型 y=log7x+1 奖励时 ， 奖金是否不超过利润的 25 ， 即当 x 10 ，1000 时 ， 是否有 y 0.25x， 即 y=log7x 1 0.25x 成立 令 f(x) y=log7x+1-0.25x， x 10 ，1000 , 利用信息技术画出它的图象 由图象可知函数 f(x)在区间10 ，1000 上单调递减 ， 因此 f(x) f(10)0.3167 ， 即 y=log7x+10.25x所以 ， 当 x 10 ，1000 时 ， y 0.25x， 说明按模型 y=log7x+1 奖励 ， 奖金不会超过利润的 25综上所述 ， 模型
18、 y=log7x+1 确实能符合公司要求 规律方法 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等. 三、当堂达标 1一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( ) A分段函数 B二次函数 C指数函数 D对数函数
19、 【答案】【答案】A 由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型 2若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为 1 的镭经过 x年后剩留量为 y，则 x，y 的函数关系是( ) Ay0.957 6x100 By(0.957 6)100 x Cy0.957 6100 x Dy10.042 4x100 【答案】【答案】A 由题意可知 y(95.76%)x100，即 y0.9576x100. 3若一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为( ) 【答案】【答案】B 由题意 h205t(0t4)，其图象
20、为 B. 通过练习巩固本节所学知识，巩固对函数模型的运用，增强学生的数学建模、直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 4 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元， 并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40Q120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元. 【答案】【答案】2 500 每生产一单位产品，成本增加 10 万元， 单位产品数 Q 时的总成本为 2 00010Q 万元 K(Q)40Q120Q2， 利润 L(Q)40Q120Q210Q2 000 120Q230Q2 000120(Q300)22 500， Q300
21、 时，利润 L(Q)的最大值是 2 500 万元 5已知 A，B 两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到达 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 km/h 的速度返回 A 地 (1)把汽车离开 A 地的距离 s 表示为时间 t 的函数(从 A 地出发时开始)， 并画出函数的图象； (2)把车速 v(km/h)表示为时间 t(h)的函数，并画出函数的图象 【答案】【答案】(1)汽车由 A 地到 B 地行驶 t h 所走的距离 s60t(0t2.5) 汽车在 B 地停留 1 小时，则汽车到 A 地的距离 s150(2.5t3.5) 由 B 地返回 A 地，则汽车到 A 地的距离 s15050(t3.5) 32550t(3.5t6.5) 综上，s 60t0t2.5，1502.5t3.5，32550t3.5t6.5， 它的图象如图(1)所示 (1) (2) (2)速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数关系式是 v 600t2.5，02.5t3.5，503.5t6.5， 它的图象如图(2)所示 四、小结 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
