1、【新教材】【新教材】4.5.3 4.5.3 函数模型的应用（人教函数模型的应用（人教 A A 版）版） 本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。 课程目标课程目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能自建确定性函数模型解决实际问题. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题； 2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型； 3.数学运算：解答数学问题,求得结果； 4.数据分析：把数学结
2、果转译成具体问题的结论,做出解答； 5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题. 重点：重点：利用函数模型解决实际问题； 难点：难点：数模型的构造与对数据的处理 教学方法：教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不用的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.请学生们思考：常见的函数模型都有哪些？面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型 来刻画它呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，
3、引入新课 阅读课本 148-150 页，思考并完成以下问题 1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？ 2. 解决实际问题的基本过程是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1.常见的数学模型有哪些? (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b 为常数,k0); (2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b 为常数,k0); (3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0); 注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见. (4)指数函数模型:f(x)=ab
4、x+c(a,b,c为常数,a0,b0,且b1); (5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,且a1); (6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0,n1); (7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? (1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模求解数学模型，得出数学模型； (4)还原将数学结论还原为实际问题 四、典例分析、举
5、一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 一次函数与二次函数模型的应用一次函数与二次函数模型的应用 例 1 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果,假设每箱售价不得低于 50 元且不得高于 55 元.市场调查发现,若每箱以 50元的价格销售,平均每天销售 90 箱.价格每提高 1 元,平均每天少销售 3 箱. 求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式; 求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式; 当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】y=-3x+240(50 x55,xN).w=-3x2+
6、360 x-9 600(50 x55,xN).当每箱苹果的售价为55 元时,可以获得最大利润,且最大利润为 1 125 元. 【解析】根据题意,得 y=90-3(x-50),化简,得 y=-3x+240(50 x55,xN). 因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润. 所以 w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360 x-9 600(50 x55,xN). 因为 w=-3x2+360 x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当 x60 时,w 随 x 的增大而增大. 又 50 x55,xN,所以当 x=55 时,w 有最大值,最大值为 1 125.
7、所以当每箱苹果的售价为 55 元时,可以获得最大利润,且最大利润为 1 125 元. 解题技巧：（一次、二次函数模型的应用） 1.一次函数模型的应用 利用一次函数求最值,常转化为求解不等式 ax+b0(或0).解答时,注意系数 a 的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 2.二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 跟踪训练一跟踪训练一 1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个 20 元,茶杯每个 5 元,该商店
8、推出两种优惠办法: 买一个茶壶赠一个茶杯; 按总价的 92%付款. 某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠? 【答案】当 4x34 时,y134 时,y1y2,优惠办法更省钱. 【解析】由优惠办法可得函数解析式为 y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且 xN N).优惠办法可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4,且 xN N).y1-y2=0.4x-13.6(x4,且 xN N), 令 y1-y2=0,得 x=34.所以,当
9、购买 34 个茶杯时,两种优惠办法付款相同; 当 4x34 时,y134 时,y1y2,优惠办法更省钱. 题型二题型二 分段函数模型的应用分段函数模型的应用 例例 2 2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本 0.5 万元,此外每生产 100 件这种产品还需要增加投资0.25 万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为 500 件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为 5t-12t2(万元). (1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量 x的函数; (2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大? 【答案】(1
10、)f(x)=-122+ 4.75-0.5(0 5).(2)当年产量为475件时,当年所得利润最大. 【解析】 (1)当05 时,产品只能售出 500 件. 所以,f(x)=(5-122)-(0.5 + 0.25)(0 5), 即 f(x)=-122+ 4.75-0.5(0 5). (2)当 05 时,f(x) 5. (2)当工厂生产 4 百台时,可使盈利最大为 3.6 万元. -0.42+ 4.2,0 5,11, 5. 【解析】解:(1)由题意得 G(x)=2.8+x. f(x)=R(x)-G(x)=-0.42+ 3.2-2. ,0 5, .2-, 5. (2)当 x5 时,函数 f(x)单调
11、递减,f(x)8.2-5=3.2(万元). 当 0 x5 时,函数 f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6 万元. 故当工厂生产 4 百台时,可使盈利最大为 3.6 万元. 题型三题型三 指数或对数函数模型的应用指数或对数函数模型的应用 例例 3 3 一片森林原来的面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年, 为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还
12、能砍伐多少年? 【答案】(1)1-(12)110.(2)到今年为止,已砍伐了 5 年.(3)今后最多还能砍伐 15 年. 【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0 x1),则 a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得 x=1-(12)110. (2)设经过 m 年剩余面积为原来的22, 则 a(1-x)m=22a,即(12)10= (12)12,10=12,解得 m=5, 故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,最多还能砍伐 n 年, 则 n 年后剩余面积为22a(1-x)n.令22a(1-x)n14a, 即(1-x)n24,(12)10 (12)32,103
13、2, 解得 n15.故今后最多还能砍伐 15 年. 解题技巧：（指数或对数函数模型注意事项） 1 1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为 y=N (1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式. 2 2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型. 跟踪训练三跟踪训练三 1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发现 v 与 log3100Q 成正比,且当 Q=900 时,v=1. (1)求出 v 关于 Q 的函数解析式; (2)计算
14、一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量的单位数; (3)一条鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化? 【答案】(1)v 关于 Q 的函数解析式为 v=12log3100. (2)一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时的耗氧量为 2 700 个单位. (3)鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍. 【解析】(1)设 v=k log3100, 当 Q=900 时,v=1,1=k log3900100,k=12. 故 v 关于 Q 的函数解析式为 v=12log3100. (2)令 v=1.5,则 1.5=12log3100,解得 Q=2 700.
15、故一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时的耗氧量为 2 700 个单位. (3)设鲑鱼耗氧量为 Q1,Q2时,游速分别为 v1,v2, 由题意知 v2-v1=1,即12log3210012log31100=1. 12log321=1,21=9,即 Q2=9Q1. 故鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍. 四、课堂小结四、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、作业七、作业 课本 155 页习题 4.5. 本节通过一些函数模型的实例，让学生初步掌握运用函数与方程的思想解决实际问题的步骤：审题、建模、求模、还原 4.5.3 函数模型的应用 1. 常见模型 例 1 例 2 例 3 2. 实际问题解题步骤
