1、 第五章第五章 函数函数的应用（的应用（二二） 4.5.2 二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解 数学 1 必修本（A 版） 的第五章 4.5.2 用二分法求方程的近似解本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.
2、通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法， 能借助计算器用二分法求方程的近似解 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解 a.数学抽象：二分法的概念； b.逻辑推理：运用二分法求近似解的原理； c.数学运算：运用二分法求具体方程的近似解； d.直观想象：运用函数图像理解二分法的原理； e.数学建模：体会二分法中的算法思想； 教学重点：用“二分法”求方程的近似解 教学难点：方程近似解所在初始区间的确定， 利用二分法求给定精确度的方程的近似解 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一）创设问题情境 1函数的零点:使 f(x)
3、=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点（zero point） 2、零点存在判定法则、零点存在判定法则 ( ) , f xa b如果函数y=在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.g提出问题提出问题 我们已经知道，函数 在区间（，） 内存在一个零点进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ （二）问题探究 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐
4、步缩小零点所在的范围取区间（，）的中点 2.5，用计算工具算得 f（ 2.5 ）0.084因为 f（ 2.5 ）f（），所以零点在区间（ 2.5 ，）内 再取区间（ 2.5 ，）的中点 2.75 ，用计算工具算得 f（ 2.75 0.512因为 f（ 2.5 ）f（ 2.75 ），所以零点在区间（ 2.5 ， 2.75 ）内 由于（，） （2.5，） （2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值为了方便，我们把 通过零点
5、和零点判定定理的回顾，提出新的问题，提出运用函数求解方程近似解的思路；培养和发展逻辑推理和数学抽象、直观 想 象 的 核 心 素养。 区间的一个端点作为零点的近似值 概念解析：1二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且 f(a) _f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 思考：若函数 yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 连续不断；f(a) f(b)0；一分为二；零点 提示 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零
6、点不能用二分法求解，如 f(x)(x1)2的零点就不能用二分法求解 2二分法求函数零点近似值的步骤 通过特殊的方程 求 解 问 题 的 探究，推广一般的方程 求 解 问 题 的 方法，即二分法， ；发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； f(a) f(b)0；f(c)=0；b=c；(a，c)；f(c) f(b)0；(c，b)；|ab| 1思考辨析 (1)二分法所求出的方程的解都是近似解( ) (2)函数 f(x)|x|可以用二分法求零点( ) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后， 零点必定在右侧区间内( ) 答案 (1) (2) (3) 2用二分法求函数 f
7、(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为 0.001，则结束计算的条件是( ) A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001 B B 据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时， 便可结束计算 3已知函数 yf(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是_ x3 x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解 4用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经过计算得 f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_. 例例 1.借助信息技术，用二分法求方程 +3x=的近似解（精确度为 0.1） 解： 原方程即 +3x=， 令 ( ) +
8、3x-， 用信息技术画出函数的 ( )图象并列出它的对应值表; 通过对二分法概念的辨析，发展学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养； (0,0.5) f(0.25) f(0)0，x0(0,0.5)，故第二次应计算 f(0.25) 观察图或表，可知 f（）f（），说明该函数在区间（，）内存在零点 取区间（，）的中点 ，用信息技术算得 f（1.5）0.33因为 f（）f（1.5），所以 （，1.5） 再取区间（，1.5） 的中点 1.25， 用信息技术算得 f （1.25） 0.87 因为 f （1.25） f （1.5），所以 （1.25，1.5）同理可得， （1.375，1.5）， （ 1
9、.375 ， 1.4375 ）由于 1.375 1.4375 0.06250.1， 所以，原方程的近似解可取为 1.375 口 诀：周而复始怎么办? 精确度上来判断.定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间. 三、当堂达标 1关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( ) A“二分法”求方程的近似解一定可将 yf(x)在a，b内的所有零点得到 B“二分法”求方程的近似解有可能得不到 yf(x)在a，b内的零点 C应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在a，b内有可能无零点 D“二分法”求方程的近似解可能得到 f(x)0 在a，b内的精确解 【答案】【答案】D 二分法求
10、零点，则一定有且能求出，故 B，C 不正确；零点左 通过练习巩固本节所学知识，巩固对二分法的理解，增强学生的直观想侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到， 故 A 不正确， 故选 D. 2通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是( ) A B C D 【答案】【答案】C 在 A 中，函数无零点在 B 和 D 中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点而在 C 中，函数图象是连续不断的，且图象与 x 轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以 C 中的函数能用二分法求其零点 3用二分法求函数 f(x)x35 的零点可以取的初始区间是(
11、) A2,1 B1,0 C0,1 D1,2 【答案】【答案】A f(2)30，f(2) f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算 4用二分法求函数 yf(x)在区间2,4上零点的近似值，经验证有 f(2) f(4)0.取区间的中点 x12423， 计算得 f(2) f(x1)0， 则此时零点 x0_(填区间). 【答案】【答案】(2,3) 因为 f(2) f(3)0，所以零点在区间(2,3)内 5用二分法求方程 ln(2x6)23x的根的近似值时，令 f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.1
12、91 8 0.360 4 0.998 9 由表中的数据，求方程 ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为 0.1) 【答案】【答案】因为 f(1.25) f(1.375)0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点 1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为 0.062 50.1，因此 1.312 5 是一个近似解 象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 四、小结 用二分法求解方程的近似解： 1、确定区间a,b，验证 f(a)f(b)0,f(b)0) (1) 若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点 (2) 若 f(x1)0,则令 a= x1(此时零点 x0(x1,b) 4、判断是否达到精确度 ，即若|a-b| ,则得到零点的近似值 a(或 b)；否则得反复 24 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
