1、1 4.5.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件(重点) 2了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解(难点) 3会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解(易混点) 借助二分法的操作步骤与思想， 培养数学建模及逻辑推理素养. 1二分法的定义 对于在区间a，b上图象连续不断且 f(a) f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 思考：若函数 yf(x)在定义
2、域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如 f(x)(x1)2的零点就不能用二分法求解 2二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定零点 x0的初始区间a，b，验证 f(a)f(b)0. (2)求区间(a，b)的中点 c. (3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间： 若 f(c)0(此时 x0c)，则 c 就是函数的零点； 若 f(a)f(c)0(此时 x0(a，c)，则令 bc； 若 f(c)f(b)0(此时 x0(c，b)，则令 ac. (4)判断是否达到精确度 ： 若|
3、ab|， 则得到零点近似值 a(或 b)； 否则重复步骤(2)(4) 1用二分法求函数 f(x)x35 的零点可以取的初始区间是( ) A2,1 B1,0 C0,1 D1,2 2 A f(2)30，f(2) f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算 2用二分法求函数 f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为 0.001，则结束计算的条件是( ) A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001 B 据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度 时，便可结束计算 3已知函数 yf(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是_ x3 因为 x3左右两侧的函数值同
4、号，故其不能用二分法求解 4用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经过计算得 f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_ (0,0.5) f(0.25) f(0)0，x0(0,0.5)，故第二次应计算 f(0.25) 二分法的概念 【例 1】 已知函数 f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( ) A4,4 B3,4 C5,4 D4,3 D 图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号的零点有 3 个，所以用二分法求解的个数为 3，故选 D. 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近
5、是连续不断的， 且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合. 3 1下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) A B C D B 二分法的理论依据是零点存在定理， 必须满足零点两侧函数值异号才能求解而选项B 图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点另外，选项 A，C，D 零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点 用二分法求函数零点的近似值 探究问题 1用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？ 提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结
6、束 2用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？ 提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同 【例 2】 求函数 f(x)x33x29x1 的一个负零点(精确度 0.01) 思路点拨 确定初始区间 二分法定新的有解区间 检验精确度得零点近似值 解 确定一个包含负数零点的区间(m，n)， 且 f(m) f(n)0，f(2)0，f(2)0 (2，1.5) x11.5221.75 f(x1)2.2030 (2，1.75) x21.75221.875 f(x2)0.7360 (2，1.875) 4 x31.875221.937 5 f(x3)0.097 40 (1.937 5，
7、 1.906 25) x51.937 51.906 2521.921 875 f(x5)0.117 40 (1.937 5，1.921 875) x61.937 51.921 87521.929 687 5 f(x6)0.010 50 (1.937 5，1.929 687 5) 由于|1.929 687 51.937 5|0.007 812 50，f(2)0，f(2)0 (2，1.5) x11.5221.75 f(x1)2.2030 (2，1.75) x21.75221.875 f(x2)0.7360 (2，1.875) x31.875221.937 5 f(x3)0.097 40 (1.93
8、7 5，1.875) 由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1内的一个近似零点可取为1.937 5. 2.若将本例函数改为“f(x)x32x23x6”，如何求该函数的正数零点？(精确度 0.1) 解 确定一个包含正数零点的区间(m，n)， 且 f(m) f(n)0. 因为 f(0)60，f(1)60， 所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间， 5 用二分法逐步计算，列表如下： 端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间 f(1)60 (1,2) x11221.5 f(1.5)2.6250 (1.5,1.75) x31.51.7521.625 f(1.625
9、)1.302 70 (1.625,1.75) x41.6251.7521.687 5 f(1.687 5)0.561 80 (1.687 5,1.75) 由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以函数的正数 零点的近似值可取为 1.687 5. 利用二分法求方程近似解的过程图示 1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间， 根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点 2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间a，b上连续不断； (2)f(a) f(b)0， 上述两条的函数方可采用二分法
10、求得零点的近似值 6 1思考辨析 (1)二分法所求出的方程的解都是近似解( ) (2)函数 f(x)|x|可以用二分法求零点( ) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内( ) 答案 (1) (2) (3) 2关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( ) A“二分法”求方程的近似解一定可将 yf(x)在a，b内的所有零点得到 B“二分法”求方程的近似解有可能得不到 yf(x)在a，b内的零点 C应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在a，b内有可能无零点 D“二分法”求方程的近似解可能得到 f(x)0 在a，b内的精确解 D 二分法求零点，则一定有且能求
11、出，故 B，C 不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故 A 不正确，故选 D. 3用二分法求函数 yf(x)在区间2,4上零点的近似值，经验证有 f(2) f(4)0.取区间的中点 x12423，计算得 f(2) f(x1)0，则此时零点 x0_(填区间) (2,3) 因为 f(2) f(3)0，所以零点在区间(2,3)内 4用二分法求方程 ln(2x6)23x的根的近似值时，令 f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 0.360 4 0.998 9 由表中的数据，求方程 ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为 0.1) 解 因为 f(1.25) f(1.375)0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点 1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 50.1，因此 1.312 5 是一个近似解
