1、 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.1.1 n 次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.1 节 n 次方根与分数指数幂第课时。从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸,本节以此为出发点,引出了开 n 次方根的概念,并将指数由整数推广到了分数。体现了由特殊到一般的思想方法,同时本节课在整章中占有基础地位,为指数函数的学习奠定基础。 课程目标 学科素养 1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念; 2. 理解根式与分数指数幂的互化;掌握有理数指数幂的运算性质; 3.培养勇于探
2、索的精神, 体会由特殊到一般的研究方法,发展数学核心素养。 a.数学抽象:根式的概念; b.逻辑推理:根式与分数指数幂的互化; c.数学运算:根式的化简; d.直观想象:指数幂的运算法则; e.数学建模:将指数幂的运算性质推广到有理数的范围; 重点:根式的概念、分数指数幂的概念; 难点:根式与分数指数幂的互化;有理数指数幂的运算性质; 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 (一) 、(一) 、温故知新 1思考辨析 (1)实数 a 的奇次方根只有一个( ) (2)当 nN*时,(n2)n2.( ) (3) 424.( ) 答案 (1) (2) (3) 2.416的运算结果是( ) A2
3、B2 C 2 D 2 A 4164242. 3m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( ) A4m2 B.5m C6m D.5m C 当 m0,所以632n有意义,中根指数为 5 有意义,中(5)2n10,因此无意义,中根指数为 9,有意义选 A. 探究探究 2 利用根式的性质化简求值利用根式的性质化简求值 例 2 化简下列各式: (1)525(52)5; (2)626(62)6; (3)4x24; 解 (1)原式(2)(2)4. (2)原式|2|2224. (3)原式|x2| x2,x2.x2,x 0) 55215202(2 )22 1243433231(333)3 1212343444(
4、)aaaa 1051025255()aaaa 结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 353544 ; 535377 ; 2323aa 总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式. (3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗? 353544 ; 43的 5 次方根是 354 ; 探究 2.通过根式的化简,培养学生分类思想,发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。 通过特殊问题的分析,让学生观察分析,归纳根式与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法,发展逻辑推理能力; 5353
5、77 ; 75的 3 次方根是 537 ; 2323;aa a2的 3 次方根是 23;a 结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的,综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义; 1.正数的正分数指数幂的意义: mmnnaa (0,N ,1)且am nn 2.正数的负分数指数幂的意义: 11(0,N ,1)mnmnmnaam nnaa 且且 3.规定 0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义. 1思考辨析 (1)0 的任何指数幂都等于 0.( ) (2)523 53.( ) (3)分数指数幂与根式可以相互转化,如4a2a12.( ) 答案 (1) (2) (3) 跟踪训练 1.用根式表
6、示下列各式:(a0) 12a, 34a, 35a , 23a 2.用分数指数幂表示下列各式: 34() (0)abab; 23()mn ; 4() ()mnmn; 65(0)pqp 规律方法 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母, 被开方数(式)的指数分数指数的分子 (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题 三、当堂达标 1下列说法正确的个数是( ) 16 的 4 次方根是 2;416的运算结果是 2;当 n 为大于 1 的奇数时,na对任意 aR 都有意义; 当 n 为大于 1 的偶数时,na只有当 a0时才有意义 A1 B
7、2 C 3 D4 【答案】 B 16 的 4 次方根应是 2; 4162, 所以正确的应为. 2已知 m102,则 m 等于( ) A.102 B102 C 210 D102 【答案】D m102,m 是 2 的 10 次方根又10 是偶数, 2 的 10 次方根有两个,且互为相反数m102. 3. 把根式 a a化成分数指数幂是( ) A(a) 32 B(a) 32 C -a32 Da32 答案答案D 由题意可知 a0,故排除 A、B、C 选项,选 D. 4. 42333_. 【答案】1 42333431. 5.(设 x0,则( x)2_. 【答案】x x0,x2x. 6将下列根式与分数指数
8、幂进行互化 (1)a33a2;(2)a4b23ab2(a0,b0) ( )( )()221133323333121141342242242336331,2.aaaaaaa baba baba b a bab+-轾?=臌?=答案 7. (1)若 x0,则 x|x|x2x_. (2)若3x3,求 x22x1 x26x9的值. 思路探究:(1)由 x0,先计算|x|及 x2,再化简 (2)结合3x3,开方,化简,再求值 (1)1 x0,|x|x, x2|x|x, x|x|x2xxx11. 解 (2)x22x1x26x9x12x32|x1|x3|, 通过练习巩固本节所学知识,提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力,增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。 当3x1 时,原式1x(x3)2x2. 当 1x3 时,原式x1(x3)4. 因此,原式 2x2,3x1,4,1x3. 四、小结 利用分数指数幂进行根式运算时,其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的 指数化成负指数,再根据同底数幂相乘的法则运算。 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习,自主总结知识要点,及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点;