1、 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.1.1 n 次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.1 节 n 次方根与分数指数幂第课时。从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开 n 次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。 课程目标 学科素养 1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理数指数幂的运算性质； 3.培养勇于探
2、索的精神， 体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。 a.数学抽象：根式的概念； b.逻辑推理：根式与分数指数幂的互化； c.数学运算：根式的化简； d.直观想象：指数幂的运算法则； e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到有理数的范围； 重点：根式的概念、分数指数幂的概念； 难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质； 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 （一） 、（一） 、温故知新 1思考辨析 (1)实数 a 的奇次方根只有一个( ) (2)当 nN*时，(n2)n2.( ) (3) 424.( ) 答案 (1) (2) (3) 2.416的运算结果是( ) A2
3、B2 C 2 D 2 A 4164242. 3m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A4m2 B.5m C6m D.5m C 当 m0，所以632n有意义，中根指数为 5 有意义，中(5)2n10，因此无意义，中根指数为 9，有意义选 A. 探究探究 2 利用根式的性质化简求值利用根式的性质化简求值 例 2 化简下列各式： (1)525(52)5； (2)626(62)6； (3)4x24； 解 (1)原式(2)(2)4. (2)原式|2|2224. (3)原式|x2| x2，x2.x2，x 0) 55215202(2 )22 1243433231(333)3 1212343444(
4、)aaaa 1051025255()aaaa 结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 353544 ； 535377 ； 2323aa 总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式. (3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗? 353544 ; 43的 5 次方根是 354 ; 探究 2.通过根式的化简，培养学生分类思想，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。 通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法，发展逻辑推理能力； 5353
5、77 ; 75的 3 次方根是 537 ; 2323;aa a2的 3 次方根是 23;a 结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的，综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义； 1.正数的正分数指数幂的意义： mmnnaa (0,N ,1)且am nn 2.正数的负分数指数幂的意义： 11(0,N ,1)mnmnmnaam nnaa 且且 3.规定 0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义. 1思考辨析 (1)0 的任何指数幂都等于 0.( ) (2)523 53.( ) (3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2a12.( ) 答案 (1) (2) (3) 跟踪训练 1.用根式表
6、示下列各式:(a0) 12a， 34a， 35a ， 23a 2.用分数指数幂表示下列各式： 34() (0)abab； 23()mn ； 4() ()mnmn； 65(0)pqp 规律方法 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母， 被开方数(式)的指数分数指数的分子 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 三、当堂达标 1下列说法正确的个数是( ) 16 的 4 次方根是 2；416的运算结果是 2；当 n 为大于 1 的奇数时，na对任意 aR 都有意义； 当 n 为大于 1 的偶数时，na只有当 a0时才有意义 A1 B
7、2 C 3 D4 【答案】 B 16 的 4 次方根应是 2； 4162， 所以正确的应为. 2已知 m102，则 m 等于( ) A.102 B102 C 210 D102 【答案】D m102，m 是 2 的 10 次方根又10 是偶数， 2 的 10 次方根有两个，且互为相反数m102. 3. 把根式 a a化成分数指数幂是( ) A(a) 32 B(a) 32 C -a32 Da32 答案答案D 由题意可知 a0，故排除 A、B、C 选项，选 D. 4. 42333_. 【答案】1 42333431. 5.（设 x0，则( x)2_. 【答案】x x0，x2x. 6将下列根式与分数指数
8、幂进行互化 (1)a33a2；(2)a4b23ab2(a0，b0) ( )( )()221133323333121141342242242336331,2.aaaaaaa baba baba b a bab+-轾?=臌?=答案 7. (1)若 x0，则 x|x|x2x_. (2)若3x3，求 x22x1 x26x9的值. 思路探究：(1)由 x0，先计算|x|及 x2，再化简 (2)结合3x3，开方，化简，再求值 (1)1 x0，|x|x， x2|x|x， x|x|x2xxx11. 解 (2)x22x1x26x9x12x32|x1|x3|， 通过练习巩固本节所学知识，提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。 当3x1 时，原式1x(x3)2x2. 当 1x3 时，原式x1(x3)4. 因此，原式 2x2，3x1，4，1x3. 四、小结 利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的 指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；