1、 第五章第五章 三角函数三角函数 5.6 函数函数 y=Asin（x+ ）的图像）的图像 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 15.6.2 节 函数 y=Asin(x+)的图象 通过图象变换,揭示参数、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响。通过引导学生对函数 ysinx 到 yAsin(x+)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、 由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数、A 的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系。通过图象变换和“
2、五点”作图法,正确找出函数 ysinx 到 yAsin(x+)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在。提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.借助计算机画出函数 yAsin(x+) 的图象，观察参数，A 对函数图象变化的影响； 2. 引导学生认识 yAsin(x+) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数 yAsin(x+)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程. 3.体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生从不同角度分析问题， 解决问题的能力. a.数学抽象：三个参数对函数图像
3、变化的影响； b.逻辑推理：由特殊到一般的归纳推理； c.数学运算：运用规律解决问题； d.直观想象：由函数图像归纳规律； e.数学建模：运用规律解决问题； 教学重点：重点：将考察参数、对函数 y=Asin(x+)图象的影响的问题进行分解，找出函数ysin x到yAsin(x+)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数 yAsin(x+)的简图. 教学难点： ：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一）创设问题情境 提出问题提出问题 上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如 y
4、=Asin（x+ ） 其中（ A ， ） 的函数 显然 ， 这个函数由参数 A ， ， 所确定 因此 ， 只要了解这些参数的意义 ， 知道它们的变化对函数图象的影响 ， 就能把握这个函数的性质 从解析式看 ， 函数 就是函数 yAsin(x)，在 A ， ， 时的特殊情形 (1)能否借助我们熟悉的函数 的图象与性质研究参数 A ， ， 对函数 yAsin(x)的影响 ？ (2)函数 yAsin(x)含有三个参数 ， 你认为应按怎样的思路进行研究. 1. 探索探索 对对 ysin(x)图象的影响图象的影响 为了更加直观地观察参数 对函数图象的影响 ， 下面借助信息技术做一个数学实验 如图 5.6
5、.4， 取 A ， ， 动点 M在单位圆 上以单位角速度按逆时针方向运动 图 5.6.4 如果动点 M 以 为起点 （ 此时 ） ， 经过 x 后运动到点 P ， 那么点 P 的纵坐标 y 就等于 sinx 以 （ x ， y ） 为坐标描点 ， 可得正弦函数 y =sinx 的图象 在单位圆上拖动起点 ， 使点 绕点 旋转 到 ， 你发现图象有什么变化 ？如果使点 绕点 旋转- , , - ， 或者旋转一个任意角 呢 当起点位于 时 ， = ， 可得函数 ysin(x ) 的图象 进一步 ， 在单位圆上 ， 设两个动点分别以 ， 为起点同时开始运 通过开门见山，提出问题，利用图像变换观察参数
6、对函数图像的影响问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 动 如果以 为起点的动点到达圆周上点 P 的时间为 x ， 那么以 为起点的动点相继到达点 P 的时间是 (x- 这个规律反映在图象上就是 ： 如果 F （ x ， y ） 是函数 ysinx 图象上的一点 ， 那么 G(x- , y )就是函数 ysin(x ) 图象上的点 ， 如图 5.6-4 所示 这说明 ， 把正弦曲线 ysinx 上的所有点向左平移 个单位长度 ， 就得到 ysin(x ) 的图象 分别说一说旋转- , , - 时的情况 一般地 ， 当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 时 ， 对应的函数是 ysin
7、(x) ( 0) ， 把正弦曲线上的所有点向左（ 当 时 ） 或向右 （ 当 时 ） 平移| 个单位长度 ， 就得到函数 ysin(x) 的图象 2. 探索探索 （ ） 对对 y=sin（x+ ） 图象的影响图象的影响下面 ， 仍然通过数学实验来探索 如图 5.6.5， 取圆的半径 A=1 为了研究方便 ， 不妨令 当 时得到 ysin(x ) 的图象 取 ， 图象有什么变化 ？ 取 呢 ？取 ， ， 图象又有什么变化 ？当 取任意正数呢? 取 时 ， 得到函数 ysin(2x ) 的图象 进一步 ， 在单位圆上 ， 设以 为起点的动点 ， 当 时到达点 P 的时间为 ，当 时到达点 P 的时
8、间为 因为 时动点的转速是 时的 倍 ， 所以 这样 ， 设 G （ x ， y ） 是函数 ysin(x ) 图象上的一点 ， 那么 K （ ， y ） 就是函数 ysin(2x )图象上的相应点 ， 如图 5.6-5 示 这说明 ， 把 ysin(x ) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（ 纵坐标不变 ）， 就得到 ysin(2x ) 的图象 ysin(2x ) 的周期为 ， 是 ysin(x ) 的周期的 倍 同理 ， 当 时 ， 动点的转速是 时的 倍 ， 以 为起点 ， 到达点 P 的时间是 时的 倍 这样 ， 把 ysin(x ) 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 倍 （ 纵
9、坐标不变 ） ， 就得到 ysin( x ) 的图象 ysin( x )的周期为， 是 ysin(x ) 的周期的 倍 一般地 ， 函数 的周期是 ， 把 ysin(x ) 图象上所有点的横坐标缩短 （ 当 时 ） 或伸长 （ 当 时 ） 到原来的 倍 （纵坐标不变 ）， 就得到 的图象 3. 探索探索 A（ A ） 对对 y=sin（x+ ）图象的影响）图象的影响 下面通过数学实验探索 A 对函数图象的影响 为了研究方便 ， 不妨令 =2, 当 A 时 ， 如图 5.6.6， 可得 y=sin（2x+ ）的图象 改变 A 的取值 ， 使 A 取 ， ， , 等 ， 你发现图象有什么变化 ？当
10、 A 取任意正数呢 ? 当 A 时 ， 得到函数 y=2sin（2x+ ）的图象 进一步 ， 设射线 与以 为圆心 、 为半径的圆交于 如果单位圆上以 为起点的动点 ， 以 的转速经过 x 到达圆 周上点 P ， 那么点 P 的纵坐标是 2sin（2x+ ）； 相应地 ， 点 在以 为圆心 、 为半径的圆上运动到点 T ， 点 T 的纵坐标是 2sin（2x+ ）这样 ， 设 K（ x ， y ） 是函数 y=sin（2x+ ） 图象上的一点 ， 那么点 N （ x ，2 y ）就是函数图象 y=2sin（2x+ ）上的相应点 ， 如图 5.6.6 所示 这说明 ， 把 y=sin（2x+ ）
11、图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍 （ 横坐标不变 ） ， 就得到 y=2sin （2x+ ）的图象 同理 ， 把 y=sin（2x+ ） 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍（ 横坐标不变 ）， 就得到 y= sin（2x+ ）的图象 一般地 ， 函数 yAsin(x)的图象 ， 可以看作是把 yAsin(x)图象上所有点的纵坐标伸长 （ 当 A 时 ）或缩短 （ 当 A 时 ） 到原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ） 而得到 从而 ， 函数 yAsin(x)的值域是 A ， A ，最大值是 A ， 最小值是 A 你能总结一下从正弦函数图象出发 ， 通过图象变换得到 yAsin(x) （ A
12、 ， ） 图象的过程与方法吗 ? 一般地 ， 函数 yAsin(x) （ A ， ） 的图象 ， 可以用下面的方法得到 ： 先画出函数 ysinx 的图象 ； 再把正弦曲线向左 （ 或右 ） 平移|个单位长度 ， 得到函数 ysin(x) 的图象 ； 然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍 （纵坐标不变 ）， 得到函数 ysin(x) 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ），这时的曲线就是函数 yAsin(x) 的图象 规律总结规律总结: 先平移后伸缩的步骤程序如下先平移后伸缩的步骤程序如下: y=sinx 的图象得 y=sin(x+)的图象 得 y=sin
13、(x+)的图象 通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 得 y=Asin(x+)的图象. 先伸缩后平移先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移但要注意第三步的平移. y=sinx 的图象得 y=Asinx 的图象 得 y=Asin(x)的图象来源:学科网 ZXXK 得 y=Asin(x+)的图象. 典例解析典例解析 例 画出函数 y= sin（3x- ）的简图 解 ：先画出函数 y=sinx 的图象 ； 再把正弦曲线向右平移 个单位长度 ， 得到函数的图象 ； 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍 ，
14、得到函数 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍 ， 这时的曲线就是函数 y= sin（3x- ）的图象 ， 如图 5.6.7 所示 下面用 “ 五点法 ” 画函数 y= sin（3x- ）在一个周期（ ）内的图象 令 X 3x- ， 则 x （ X+ ）列表 （ 表 5.6.1），描点画图 （ 图 5.6.8） 例 2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施 ， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转 ， 可以从高处俯瞰四周景色 如图 5.6.9， 某摩天轮最高点距离地面高度为 120 ， 转盘直径为 110 ， 设置有 48 个座舱 ， 开启后按三、当堂达标 1函数 y3sin2x4
15、的振幅和周期分别为( ) A3,4 B3，2 C. 2，4 D.2，3 【解析】 由于函数 y3sin2x4，振幅是 3，周期 T224. 【答案】 A 2将函数 ysinx3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 再将所得图象向左平移3个单位， 则所得函数图象对应的解析式为( ) A ysin12x3 B ysin2x6 C ysin12x D ysin12x6 【解析】 函数 ysinx3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得 ysin12x3的图象，再将此图象向左平移3个单位， 得 ysin12x33sin12x6的图象，选 D. 【答案】 D 3已知函数 y
16、Asin(x)(A0，0)的最大值是 3，最小正周期是27，初相是6，则这个函数的表达式是( ) Ay3sin7x6 By3sin7x6 Cy3sin7x42 Dy3sin7x42 【解析】 由已知得 A3， T27， 6， 2T7， 所以 y3sin7x6. 【答案】 B 4函数 y2sinx3图象的一条对称轴是_(填序号) x2；x0；x6；x6. 【解析】 由正弦函数对称轴可知x3k2，kZ，xk6，kZ，k0 时，x6. 【答案】 通过练习巩固本节所学知识，巩固对三角函数图像变换规律的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 5已知函数 f(x)2sin2x6
17、，xR. (1)写出函数 f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间； (2)求函数 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值. 【解】 (1)由 2x6k2，kZ，解得 f(x)的对称轴方程是 x3k2，kZ；由 2x6k， kZ 解得对称中心是12k2，0 ，kZ；由 2k22x62k2，kZ 解得单调递增区间是6k，3k ， kZ； 由 2k22x62k32，kZ，解得单调递减区间是3k，56k ，kZ. (2)0 x2，62x656， 当 2x66，即 x0 时，f(x)取最小值为1； 当 2x62，即 x3时，f(x)取最大值为 2. 四、小结 1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出 y=Asin(x+ )的图象,并分别观察参数、A 对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想. 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
