1、2021 年江苏省中考数学真题分类专题：方程与不等式组年江苏省中考数学真题分类专题：方程与不等式组 一、一、 选择题选择题 1. 一般地，如果nxa（n为正整数，且1n ） ，那么 x 叫做 a的 n次方根，下列结论中正确的是（ ） A. 16 的 4次方根是 2 B. 32 的 5次方根是2 C. 当 n为奇数时，2的 n次方根随 n 的增大而减小 D. 当 n为奇数时，2的 n次方根随 n 的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意 n 次方根，列举出选项中的 n次方根，然后逐项分析即可得出答案 【详解】A.42 =16Q 4( 2) =16，16的 4 次方根是2，故不符合题意
2、； B.5232Q，5( 2)32 ，32 的 5次方根是 2，故不符合题意； C.设352,2,xy 则155153232,28,xy 1515,xy 且1,1,xy ,xy 当 n为奇数时，2的 n 次方根随 n 的增大而减小，故符合题意； D.由C的判断可得：D错误，故不符合题意 故选C 【点睛】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意 x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键 2方程组的解是（ ） A B C D 【分析】将两个方程相加，可消去 y，得到 x 的一元一次方程，从而解得 x4，再将 x4 代入解出 y的值，即得答案 【解答
3、】解：， +得：2x8， x4， 把 x4 代入得：4+y5， y1， 方程组的解为 故选：C 3某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11 架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少 2 架设甲种型号无人机 x 架，乙种型号无人机 y 架，根据题意可列出的方程组是（ ） A B C D 【解答】 解： 设甲种型号无人机 x 架， 乙种型号无人机 y 架， 根据题意可列出的方程组是： 故选：D 4. 若12,x x是一元二次方程2230 xx的两个根，则12xx的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析
4、】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可 【详解】解：12,x x是一元二次方程2230 xx的两个根， 12xx=2 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键 5. 九章算术是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中卷第八方程记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少， 甲若得到乙所有钱的12， 则甲有 50 钱， 乙若得到甲所有钱的23， 则乙也有 50 钱 问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为 x 钱，乙持钱数为 y 钱，列出关于 x、y 的二元
5、一次方程组是（ ） A. 2503502xyxy B. 15022503xyxy C. 15023502xyxy D. 25031502xyxy 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙的持钱数分别为 x，y，根据“甲若得到乙所有钱的12，则甲有 50 钱，乙若得到甲所有钱的23，则乙也有 50 钱”，列出二元一次方程组解答即可 【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为 x，y， 根据题意可得：15022503xyxy， 故选 B 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程. 6. 不论 x取何值，下列代数式的值不可能为 0 的是（ ） A. 1x B.
6、 21x C. 11x D. 21x 【答案】C 【解析】 【分析】分别找到各式为 0 时的 x值，即可判断 【详解】解：A、当 x=-1 时，x+1=0，故不合题意； B、当 x= 1时，x2-1=0，故不合题意； C、分子是 1，而 10，则11x0，故符合题意； D、当 x=-1 时，210 x，故不合题意； 故选 C 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值若分式的值为零，需同时具备两个条件： （1）分子为 0； （2）分母不为 0这两个条件缺一不可 7. 如图，输入数值 1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算） ，输出的结果为（
7、） A. 1840 B. 1921 C. 1949 D. 2021 【答案】D 【解析】 【分析】把 1921 代入程序中计算，判断即可得到结果 【详解】解：把 1921 代入得： （19211840+50）（1）1311000， 把131 代入得： （1311840+50）（1）19211000， 则输出结果为 1921+1002021 故选：D 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键 二、填空题二、填空题 1. 设12,x x是关于 x的方程230 xxk的两个根，且122xx，则k _ 【答案】2 【解析】 【分析】 先利用根与系数的关系中两根之和等于 3
8、， 求出该方程的两个根， 再利用两根之积得到 k 的值即可 【详解】解：由根与系数的关系可得：123xx，12x xk， 122xx， 233x ， 21x ， 12x ， 1 22k ; 故答案为：2 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程200axbxca ，其两根之和为 ba，两根之积为ca 2若 2x+y1，且 0y1，则 x 的取值范围为 0 x 【解答】解：由 2x+y1 得 y2x+1， 根据 0y1 可知， 当 y0 时，x 取得最大值，且最大值为， 当 y1 时，x 取得最小值，且最小值为 0， 所以 0 x 故答案为：
9、0 x 3一条上山直道的坡度为 1：7，沿这条直道上山，每前进 100 米所上升的高度为 10 米 【分析】设上升的高度为 x 米，根据坡度的概念得到水平距离为 7x 米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案 【解答】解：设上升的高度为 x 米， 上山直道的坡度为 1：7， 水平距离为 7x 米， 由勾股定理得：x2+（7x）21002， 解得：x110，x210（舍去） ， 故答案为：10 4. 在平面直角坐标系中，若点1,52Pmm在第二象限，则整数 m的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据第二象限的点的横坐标小于 0，纵坐标大于 0列出不等式组，然后求解即可 【详解】解：由题意得：
10、10520mm， 解得：512m， 整数 m 的值为 2， 故答案为：2 【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键 5. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走 240里，慢马每天走 150 里，慢马先走 12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_天追上慢马 【答案】20 【解析】 【分析】设良马行 x 日追上驽马，根据路程=速度 时间结合两马的路程相等，即可得出关于 x
11、 的一元一次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设快马行 x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日， 依题意，得：240 x=150（x+12） ， 解得：x=20， 快马 20 天追上慢马， 故答案为：20 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 6. 已知方程230 xxk有两个相等的实数根，则k=_ 【答案】94 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：230 xxk有两个相等的实数根， =0， 9-4k=0， k=94 故答案为94 考点：根的判别式 7. 分式方程21x =1解是_ 【答案】x=1 【解析】 【分析】先给方程两边同乘最简公
12、分母 x+1，把分式方程转化为整式方程 2=x+1，求解后并检验即可 【详解】解：方程的两边同乘 x+1，得 2=x+1， 解得 x=1 检验：当 x=1 时，x+1=20 所以原方程的解为 x=1 故答案为：x=1 【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键 8. 劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入， 建设校园农场， 该农场一种作物的产量两年内从 300千克增加到 363 千克设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为_ 【答案】2300(1)363x 【解析】 【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，结合本题，如果设平
13、均每年增产的百分率为 x，根据“粮食产量在两年内从 300千克增加到 363 千克”，即可得出方程 【详解】解：设平均每年增产的百分率为 x； 第一年粮食的产量为：300（1+x） ； 第二年粮食的产量为：300（1+x） （1+x）300（1+x）2； 依题意，可列方程：300（1+x）2363； 故答案为：300（1+x）2363 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b 9. 一元二次方程(1)0 x x的解是_ 【答案】120,1xx 【解析】 【分析】根据
14、x（x-1）=0 得到两个一元一次方程 x=0，x-1=0，求出方程的解即可 【详解】x(x1)=0， x=0 或 x+1=0， 120,1xx 故答案为 x=0 或 x=-1. 【点睛】此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法. 10. 方程22142xxx的解是_ 【答案】11132x ，21132x 【解析】 【分析】先把两边同时乘以24x ，去分母后整理为230 xx，进而即可求得方程的解 【详解】解：22142xxx， 两边同时乘以24x ，得 22(2)4x xx， 整理得：230 xx 解得：11132x ，21132x ， 经检验，11132x ，21
15、132x 是原方程的解， 故答案为：11132x ，21132x 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键 三、解答题三、解答题 1. 解不等式1213x，并在数轴上表示解集 【答案】2x，数轴上表示解集见解析 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可 【详解】1213x 去括号：1 223x 移项：23 1 2x 合并同类项：24x 化系数为 1：2x 解集表示在数轴上： 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，数轴上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系数为 1
16、 的时候，不等号是否要改变方向；正确的计算和在数轴上表示出解集是解题关键 2. 解方程2111xxx 【答案】3x 【解析】 【分析】先将方程两边同时乘以11xx，化为整式方程后解整式方程再检验即可 【详解】解：2111xxx ， 21111xxxx x， 22221xxxx ， 3x ， 检验：将3x 代入11xx中得，110 xx， 3x 是该分式方程的解 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为 1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等 3. 计算222ababbababaabab
17、 【答案】abab 【解析】 【分析】先对括号里的分式进行通分，将通分后的分式进行合并，将合并后的结果与最后一项分式相除，将除法运算转化为乘法运算，最后约分化简后即可得到计算结果 【详解】解：原式=2ababb ababa abab =222aabbabab abab abab abab =222aabbabab abab =2ababab abab =abab 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是找到最简公分母，能正确进行分式之间的通分，同时应牢记相应计算法则，并能灵活运用等 4计算：+|2|32 【解答】解：原式2+29 5 5解方程组： 【解答】解： 由式得 y3x+4
18、， 代入式得 x2（3x+4）5x83 解得 x1 将 x1 代入式得12y3，得 y1 经检验，是方程组的解 故原方程组的解为 6先化简，再求值： （1+） ，其中 x1 【解答】解： （1+） x+1， 当 x1 时，原式1+1 7计算： （1）|（2）3+sin30； （2） 【分析】 （1）根据绝对值的意义，乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案 （2）根据分式的加减运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）原式+8+ 1+8 9 （2）原式 8 （1）解方程： （x+1）240； （2）解不等式组： 【分析】 （1）利用直接开平方求解即可 （2）分别求出各不等式的解集，再
19、求出其公共解集即可 【解答】解： （1）（x+1）240， （x+1）24， x+12， 解得：x11，x23 （2）， 由得，x1， 由得，x3， 故不等式组的解集为：1x3 9为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品现有经费 1275 元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为 4：3当用 600 元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品 25 件 （1）求一、二等奖奖品的单价； （2）若购买一等奖奖品的数量不少于 4 件且不超过 10 件，则共有哪几种购买方式
20、？ 【分析】 （1）设一等奖奖品单价为 4x 元，则二等奖奖品单价为 3x 元，根据数量总价单价，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出 x 的值，再将其代入 4x，3x 中即可求出结论； （2）设购买一等奖奖品 m 件，二等奖奖品 n 件，利用总价单价数量，即可得出关于 m，n 的二元一次方程，结合 m，n 均为正整数且 4m10，即可得出各购买方案 【解答】解： （1）设一等奖奖品单价为 4x 元，则二等奖奖品单价为 3x 元， 依题意得：+25， 解得：x15， 经检验，x15 是原方程的解，且符合题意， 4x60，3x45 答：一等奖奖品单价为 60 元，二等奖奖品单价为
21、45 元 （2）设购买一等奖奖品 m 件，二等奖奖品 n 件， 依题意得：60m+45n1275， n m，n 均为正整数，且 4m10， 或或， 共有 3 种购买方案， 方案 1：购买 4 件一等奖奖品，23 件二等奖奖品； 方案 2：购买 7 件一等奖奖品，19 件二等奖奖品； 方案 3：购买 10 件一等奖奖品，15 件二等奖奖品 10. 解不等式组105212xxx ，并写出满足不等式组的所有整数解 【答案】解集为413x，整数解为1，0 【解析】 【分析】 先分别解得每个不等式的解集，再根据大小小大取中间求得不等式组的解集，进而可求得整数解 【详解】解：105212xxx ， 由得：
22、1x， 由得：43x ， 原不等式组的解集为413x， 该不等式组的所有整数解为1，0 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解决本题的关键 11. （1）解方程：3x22x0； （2）解不等式组：311442xxxx 【答案】 （1）x6； （2）x2 【解析】 【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可 【详解】解： （1）3x22x0 去分母得：3（x2）2x0， 去括号得：3x62x0， 解得：x6， 检
23、验：把 x6 代入得：x（x2）240， 分式方程的解为 x6； （2）311?442?xxxx ， 由得：x1， 由得：x2， 则不等式组的解集为 x2 【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键 12. 九章算术被历代数学家尊为“算经之首” 下面是其卷中记载关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出 400 钱，会剩余 3400 钱；每人出 300 钱，会剩余 100 钱合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题 【答案】共 33 人合伙
24、买金，金价为 9800 钱 【解析】 【分析】设共 x 人合伙买金，金价为 y 钱，根据“每人出 400 钱，会剩余 3400 钱；每人出 300 钱，会剩余100 钱” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论 【详解】解：设共 x 人合伙买金，金价为 y 钱， 依题意得：4003400300100 xyxy， 解得：339800 xy 答：共 33 人合伙买金，金价为 9800 钱 【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 13. 解不等式组：311424xxxx 【答案】1x2 【解析】 【分析】解一元一次不等
25、式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再找到解集的公共部分 【详解】311424xxxx 解：解不等式得：1x 解不等式得：2x 在数轴上表示不等式、的解集（如图） 不等式组的解集为12x 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式是解题的关键，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解） 14. （1）计算：9（1）0sin30； （2）解不等式组：480332xxx 【答案】 （1）32； （2）1x2 【解析】 【分析】 （1）先计算算术平方根、零指数幂、三角函数值，再计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根
26、据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【详解】解： （1）原式3112， 32； （2）480332xxx 解不等式 4x80，得：x2， 解不等式32x3x，得：x1， 不等式组的解集为 1x2 【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟记三角函数值、和 0 指数幂，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 15. 解不等式组：311442xxxx 【答案】x2 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可 【详解】解：解不等式 3x1x+1，得：x1
27、， 解不等式 x+44x2，得：x2， 不等式组的解集为 x2 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“解一元一次不等式的方法和确定不等式组解集的方法”是解答本题的关键. 16. 解方程：214111xxx 【答案】无解 【解析】 分析】将分式去分母，然后再解方程即可 【详解】解：去分母得：()22141xx+-=- 整理得22x，解得1x ， 经检验，1x 是分式方程增根， 故此方程无解 【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键 17. 已知方程组271xyxy的解也是关于 x、y的方程4axy的一个解，求 a 的值 【答案】12a 【解析】 【分析】求出
28、方程组的解得到 x 与 y 的值，代入方程计算即可求出 a的值 【详解】解：方程组271xyxy， 把代入得：217yy， 解得：3y ，代入中， 解得：2x， 把2x，3y 代入方程4axy得，234a ， 解得：12a 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值 18. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了 20%，现在生产 240万剂疫苗所用的时间比原先生产 220 万剂疫苗所用的时间少 0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？ 【答案】40 万 【解析】 【分析】设原先每天生产
29、x 万剂疫苗，根据现在生产 240 万剂疫苗所用的时间比原先生产 220万剂疫苗所用的时间少 0.5天可得方程，解之即可 【详解】解：设原先每天生产 x 万剂疫苗， 由题意可得：2402200.5120% xx， 解得：x=40， 经检验：x=40 是原方程的解， 原先每天生产 40 万剂疫苗 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答必须严格按照这 5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性 19. 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知 2瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B型消毒液共需 41元，5瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B型消毒液共需
30、53 元 （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共 90瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用 【答案】 （1）A种消毒液的单价是 7元，B型消毒液的单价是 9元； （2）购进A种消毒液 67 瓶，购进B种23 瓶，最少费用为 676 元 【解析】 【分析】 （1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可； （2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案 【详解】解： （1）设A种消毒液的单价是x元，B型消毒
31、液的单价是y元 由题意得：23415253xyxy，解之得，79xy， 答：A种消毒液的单价是 7元，B型消毒液的单价是 9元 （2）设购进A种消毒液a瓶，则购进B种90a瓶，购买费用为W元 则79 902810Waaa， W随着a增大而减小，a最大时，W有最小值 又1903aa，67.5a 由于a是整数，a最大值为 67， 即当67a时，最省钱，最少费用为8102 67676 元 此时，90 6723 最省钱的购买方案是购进A种消毒液 67瓶，购进B种 23 瓶 【点睛】本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解
