1、考点 10 函数的单调性 【命题解读】【命题解读】 考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点） 、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查； 【基础知识回顾基础知识回顾】 1. 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数 f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(或减函数) (2)如果函数 yf(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说 f(x)在这个区间上具有(严
2、格的)单调性，这个区间叫做 f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间 2. 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数 f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减 3. 3. 复合函数的单调性 对于函数 yf(u)和 ug(x)，如果当 x(a，b)时，u(m，n)，且 ug(x)在区间(a，b)上和 yf(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数 yf(g(x)在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减 4.
3、4. 函数单调性的常用结论 (1)对x1，x2D(x1x2)，f（x1）f（x2）x1x20 f(x)在 D 上是增函数； f( )x1f( )x2x1x20)的增区间为(， a和 a，)，减区间为( a，0)和(0， a) (3)在区间 D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数 (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数； (2)若k0，则kf(x)与f(x)单调
4、性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y1f（x）的单调性相反； (4)复合函数yfg(x)的单调性与yf(u)和ug(x)的单调性有关简记： “同增异减” 2增函数与减函数形式的等价变形：x1，x2a，b且 x1x2，则 (x1x2)f(x1)f(x2)0f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是减函数 1、函数 yx25x6 在区间2，4上是( ) A递减函数 B递增函数 C先递减再递增函数 D先递增再递减函数 【答案】C 【解析】 作出函数yx25x6 的图象(图略)知开口向上，
5、且对称轴为x52， 在2， 4上先减后增 故选 C. 2、函数 y1x1在2，3上的最小值为( ) A2 B.12 C.13 D12 【答案】B 【解析】 因为 y1x1在2，3上单调递减，所以 ymin13112. 故选 B. 3、已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x1)f13的 x的取值范围是( ) A.13，23 B.13，23 C.12，23 D.12，23 【答案】D 【解析】因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足 f(2x1)f13.所以 02x113， 解得12x23.故选 D. 4、设函数 f(x)在 R 上为增函数，
6、则下列结论一定正确的是(D ) A. y1f（x）在 R 上为减函数 B. y|f(x)|在 R 上为增函数 C. y1f（x）在 R 上为增函数 D. yf(x)在 R 上为减函数 【答案】D. 【解析】 如f(x)x3，则y1f（x）的定义域为(，0)(0，)，在x0 时无意义，A、C 错；y|f(x)|是偶函数，在 R R 上无单调性，B 错故选 D. 5、对数函数log(0ayx a且1)a 与二次函数2(1)yaxx在同一坐标系内的图象不可能是( ) A B C D 【答案】BD 【解析】：若1a ，则对数函数logayx在(0,)上单调递增，二次函数2(1)yaxx开口向上，对称轴
7、102(1)xa，经过原点，可能为A，不可能为B 若01a，则对数函数logayx在(0,)上单调递减，二次函数2(1)yaxx开口向下，对称轴102(1)xa，经过原点，可能为C，不可能为D 故选：BD 6、函数 y|x22x1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 【答案】(1 2，1)，(1 2，)；(，1 2)，(1，1 2) 【解析】作出函数 y|x22x1|的图像如图所示由图像可知，函数 y|x22x1|的单调增区间为(1 2，1)，(1 2，)；单调递减区间是(，1 2)，(1，1 2)故应分别 考向一函数单调性的证明与判断 例 1、判断函数 f(x)x1x2在区间1，)上的单调性
8、并证明你的结论 【解析】 函数 f（x）21xx在区间1，）上是单调减函数，证明如下： 设 x1、x21，） ，且 x1x2，则 f（x1）f（x2）1211xx2221xx2212212212(1)(1)1)(1)xxxxxx（1 1122212()(1)1)(1)x xx xxx（.x1、x21，） ，且 x1x2， x1x20，1x1x20， f（x1）f（x2）0， 即 f（x1）f（x2）. f（x）21xx在1，）上为减函数. 变式 1、试讨论函数 f(x)xkx(k0)的单调性 【解析】法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取 x1，x2，令 x1x2，
9、那么 f(x2)f(x1)x2kx2x1kx1(x2x1)k1x21x1(x2x1)x1x2kx1x2 因为 0 x10，x1x20 故当 x1，x2( k，)时，f(x1)f(x2)， 即函数在(0， k)上单调递减 考虑到函数 f(x)xkx(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(， k)上单调递增，在( k，0)上单调递减 综上，函数 f(x)在(， k)和( k，)上单调递增，在( k，0)和(0， k)上单调递减 法二：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，) f(x)1kx2 令 f(x)0 得 x2k，即 x(， k)或 x( k，)，故函数的单调增区
10、间为(， k)和( k，)令 f(x)0 得 x20，又 a0，(x211)(x221)0. 当 x1，x2(0，1)时，x1x210， 从而a（x2x1）（x1x21）（x211）（x221）0，即 f(x1)f(x2)0f(x1)0， 从而a（x2x1）（x1x21）（x211）（x221）0，即 f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，此时 f(x)axx21 (a0)单调递减 函数 f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数 方法总结： 1.1. 判断函数的单调性，通常的方法有： （1）定义法； （2）图像法； （3）利用常见函数的单调性； （4）导数法.而要证明一个函数
11、的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法. 2. 2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下： 取值 作差 变形 确定符号 得出结论 其中， 变形是十分重要的一步， 其目的是使得变形后的式子易于判断符号， 常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等 考向二 函数的单调区间 例 1、求下列函数的单调区间 （1）yx22|x|1； （2） 、.函数y|x|(1x)的单调递增区间是_. 【解析】（1）由2221,0-x21,0 xxxxx ， ，即22(1)2,0-1)2,0.xxyxx（ 画出函数图像如图所示，单调增区间为(，1，0，1，单调减区间为1，0， 1，)
12、 （2）y|x|(1x)x（1x），x0，x（1x），x0 x2x，x0，x2x，x0，函数的大致图象如图所示. 由图易知函数的单调递增区间是0，12. 变式 1、（2019河北石家庄二中模拟）函数 f(x)|x23x2|的单调递增区间是( ) A.32， B.1，32 和2，) C(，1和32，2 D.，32 和2，) 【答案】B 【解析】y|x23x2|= x23x2，x1或x2，x23x，1x2. 如图所示，函数的单调递增区间是1，32 和2，) 变式 2、 函数 f(x)x12x1的单调减区间为_ 【答案】 ，12，12， 【解析】 因为 f(x)x12x1x12122x11214x1
13、2，且定义域为x|x12， 所以函数 f(x)的单调减区间为(，12)，(12，) 方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等值得引起高度重视的是： (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解 考向三 复合函数的单调区间 例 3、求下列函数的单调区间 (1)f(x) x22x3； （2）212log (32)yxx 【解析】(2)f(x) x22x3的定义域为(，13，)令 tx22x3， tx212x3 在 x(，1上是减函数，
14、在 x3，)为增函数，又 y t在 t(0，)上是增函数，函数 f(x) x22x3的单调减区间是(，1，单调递增区间是3，) (2)令 ux23x2，则原函数可以看成12logyu与 ux23x2 的复合函数 由 x23x20，解得 x1 或 x2. 函数的定义域为(，1)(2，) 又 ux23x2 的对称轴 x32，且开口向上 ux23x2 在(，1)上是减函数，在(2，)上是增函数 而12logyu在(0，)上是减函数，的单调减区间为(2，)，单调增区间为(，1) 变式 1、函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间为（ ） A,0 B2, C0, D, 2 【答案】 D 【解析】
15、 根据复合函数的单调性判断 因为 ylog12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 tx24 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2) 变式 2、函数f(x)2xx2的单调递增区间为( ) A.，12 B.0，12 C.12， D.12，1 【答案】B 【解析】令txx2，由xx20，得 0 x1，故函数的定义域为0，1因为g(t)2t是增函数，所以f(x)的单调递增区间即txx2的单调递增区间 利用二次函数的性质， 得txx2的单调递增区间为0，12，即原函数的单调递增区间为0，12.故选 B. 方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域
16、，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。 考向四 函数单调性中的含参问题 例 4、已知函数 f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】0，12 【解析】：当x1 时，f(x)2x11， 212log (32)yxx212log (32)yxx函数f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R R， 当x1 时，(12a)x3a必须取遍(，1)内的所有实数， 则12a0，12a3a1，解得 0a12. 变式 1、如果函数 f(x)（2a）x1，x0 成立，那么 a 的取值范围是_. 【答案】3
17、2，2 【解析】对任意x1x2，都有f（x1）f（x2）x1x20， 所以yf(x)在(，)上是增函数. 所以2a0，a1，（2a）11a，解得32a0，2a2，即2a210，a1，即 a1. 例 5、(2019安徽皖南八校第三次联考)已知函数 f(x)log2（x1），x1，1，x1，则满足 f(2x1)f(3x2)的实数 x 的取值范围是( ) A(，0 B(3，) C1，3) D(0，1) 【答案】B 【解析】 法一：由f(x)log2（x1），x1，1，x1可得当x1 时，f(x)1，当x1 时，函数f(x)在1，)上单调递增，且f(1)log221， 要使得f(2x1)f(3x2)，
18、则2x13x2，3x21，解得x3， 即不等式f(2x1)f(3x2)的解集为(3，)，故选 B. 法二：当x1 时，函数f(x)在1，)上单调递增，且f(x)f(1)1，要使f(2x1)f(3x2)成立，需2x11，2x13x2或2x11，3x21，解得x3.故选 B. 变式 1、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当12xx时，有1212 ( )()()0f xf xxx恒成立，若(31)(2)0fxf，则 x 的取值范围是_ 【答案】(, 1) 【解析】 根据已知条件： 当12xx时， 有1212 ( )()()0f xf xxx恒成立，
19、得函数( )f x是定义在R上的减函数， 又因为函数( )f x是定义在R上的奇函数，所以(2)( 2)ff，故(31)(2)0fxf等价于(31)(2)( 2)fxff ， 所以312x ，即1x. 故答案为：, 1 . 变式 2、已知函数 f(x)为 R R 上的减函数，则满足 f1xf(1)的实数 x 的取值范围是( ) A(1，1) B(0，1) C(1，0)(0，1) D(，1)(1，) 【答案】C 【解析】 (1)由f(x)为 R R 上的减函数且f1x1，x0，即|x|1，x0.所以1x0 或 0 x0 x0（，5、 （2017 山东）若函数e( )xf x(e=271828L，
20、是自然对数的底数)在( )f x的定义域上单调递增，则称函数( )f x具有M性质，下列函数中具有M性质的是 ( )2xf x ( )3xf x 3( ) f xx 2( )2f xx 【答案】 【解析】( )2( )2xxxxee f xe在R上单调递增，故( )2xf x具有性质； ( )3( )3xxxxee f xe在R上单调递减，故( )3xf x不具有性质； 3( )xxe f xex，令3( )xg xex，则322( )3(2)xxxg xexexx ex， 当2x时， 0g x，当2x时， 0g x， 3( )xxe f xex在, 2 上单调递减，在2,上单调递增， 故 3
21、f xx不具有性质； 2( )(2)xxe f xex，令 22xg xex， 则22( )(2)2(1)10 xxxg xexexex， 2( )(2)xxe f xex在R上单调递增，故2( )2f xx具有性质 6、(2012 安徽)若函数( ) |2|f xxa的单调递增区间是), 3 ，则a=_ 【答案】6 【解析】由22( )22axaxf xaxax 可知( )f x的单调递增区间为,)2a，故362aa 7、已知 f(x)xxa(xa) (1)若 a2，试证 f(x)在(，2)内单调递增； (2)若 a0 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围 【解析】：(1)证明：当a2 时，f(x)xx2. 任取x1，x2(，2)，且x1x2， 则f(x1)f(x2)x1x12x2x222（x1x2）（x12）（x22）. 因为(x12)(x22)0，x1x20， 所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 所以f(x)在(，2)内单调递增 (2)任取x1，x2(1，)，且x1x2， 则f(x1)f(x2)x1x1ax2x2aa（x2x1）（x1a）（x2a）. 因为a0，x2x10，又由题意知f(x1)f(x2)0， 所以(x1a)(x2a)0 恒成立，所以a1. 所以 0a1. 所以a的取值范围为(0，1
