1、考点 13 指数与对数的运算 【命题解读】【命题解读】 学生应指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质； 【基础知识回顾基础知识回顾】 1根式 (1)概念：式子na叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 (2)性质：(na)na(a 使na有意义)；当 n 为奇数时，nana，当 n 为偶数时，nan|a|a，a0，a，a0. 2分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 amnnam(a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义是 amn1nam(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指
2、数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ 3对数的概念 如果 abN(a0 且 a1)，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数 4对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN； logaMnnlogaM (nR)；malogMnnmlogaM (2)对数的性质 Naalog_N_；logaaN_N_(a0 且 a1
3、) (3)对数的重要公式 换底公式：logaNlogcNlogcb (a，c 均大于零且不等于 1)； logab1logba，推广 logab logbc logcdlogad 1、设 a， b， c 均为不等于 1 的正实数， 则下列等式中恒成立的是 A B C()logogglloaaabcbc g D 2、23(log 9) (log 4)= A 14 B12 C 2 D 4 3、化简 4a23b1323a13b23的结果为( ) A2a3b B8ab C6ab D6ab 4、(多选)已知 aa13，在下列各选项中，其中正确的是( ) Aa2a27 Ba3a318 Ca12a12 5
4、Da a1a a2 5 5、lg5lg20的值是_ 6、计算：log5412log210(3 3)237log72_ 7、 （2012 北京）已知函数( )lgf xx，若()1f ab ，则22()()f af b 考向一 指数幂的运算 例 1 化简下列各式(其中各字母均为正数) (1)278230.0021210( 52)10 logloglogaccbab loglologgaaabab()loggogollaaabbcc(2)a3b23ab2（a14b12）4a13b13(a0，b0) (3)1253(0.064 )2.5 33380； (4)12112133265ababa bggg
5、g 变式 1、 计算下列各式的值： （）； （） 变式 2、已知1122xx3，求22332223xxxx的值 方法总结： (1)指数幂的运算首先将根式、 分数指数幂统一为分数指数幂， 以便利用法则计算， 这时要注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 考向二 对数的运算 例 1、 （1）化简：lg 2lg 5lg 8lg 50lg 40_ （2）化简：45 . 0log32_ （3）设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于( ) A. 100 B. 10 C
6、. 2log 10 D. 10 变式 1、 化简下列各式： (1)12lg25lg2lg 10lg(0.01)1； (2)(lg2)2lg2lg50lg25； (3)计算(log32log92) (log43log83)； （4）2log32log3329log383log55； 变式 2、(1)2log32log3329log385log 35； (2)(log2125log425log85) (log52log254log1258) 方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如： (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数
7、幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 考向三 指数是与对数式的综合 例 3 (1)已知 a，b，c 均为正数，且 3a4b6c，求证：2a1b2c ； (2)若 60a3，60b5，求12(1)12a bb 的值 变式 1、设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于_. 方法总结： 这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注： 1. 1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化
8、难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低” ，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法 1、 （2013 浙江）已知为正实数，则 A B C D 2、（2020 全国文 8）设3log 42a，则4a （ ） A116 B19 C18 D16 3、 （2017 新课标）设, ,x y z为正数，且235xyz，则 A235xyz B523zxy C352yzx D325yxz 4、 （2017 北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3048） A3310 B5310 C7310 D9310 5、（2020 全国理 12）若242log42logabab，则 （ ） A2ab B2ab C2ab D2ab yx,yxyxlglglglg222lg()lglg222x yxygyxyxlglglglg222lg()lglg222xyxyg6、 化简下列各式： (1)(0.06415)2.52333380； (2)56a13 b23a12b14a23 b312.
