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2022届高三数学一轮复习考点10:函数的单调性(解析版)

1、考点 10 函数的单调性 【命题解读】【命题解读】 考查函数的基本性质,如奇偶性、单调性与最值、函数与方程(零点) 、不等式的解法等,考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查; 【基础知识回顾基础知识回顾】 1. 1. 函数单调性的定义 (1)一般地,对于给定区间上的函数 f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、x2,当 x1x2时,都有 f(x1)f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(或减函数) (2)如果函数 yf(x)在某个区间上是增函数(或减函数),那么就说 f(x)在这个区间上具有(严

2、格的)单调性,这个区间叫做 f(x)的单调区间;若函数是增函数则称该区间为增区间,若函数为减函数则称该区间为减区间 2. 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数 f(x),若函数图像从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增;若函数图像从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减 3. 3. 复合函数的单调性 对于函数 yf(u)和 ug(x),如果当 x(a,b)时,u(m,n),且 ug(x)在区间(a,b)上和 yf(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,则复合函数 yf(g(x)在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:增增(或减减)则增,增减(或减增)则减 4.

3、4. 函数单调性的常用结论 (1)对x1,x2D(x1x2),f(x1)f(x2)x1x20 f(x)在 D 上是增函数; f( )x1f( )x2x1x20)的增区间为(, a和 a,),减区间为( a,0)和(0, a) (3)在区间 D 上,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数 (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: (1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)g(x)是增(减)函数; (2)若k0,则kf(x)与f(x)单调

4、性相同;若k0)在公共定义域内与yf(x),y1f(x)的单调性相反; (4)复合函数yfg(x)的单调性与yf(u)和ug(x)的单调性有关简记: “同增异减” 2增函数与减函数形式的等价变形:x1,x2a,b且 x1x2,则 (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)x1x20f(x)在a,b上是增函数; (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)x1x20f(x)在a,b上是减函数 1、函数 yx25x6 在区间2,4上是( ) A递减函数 B递增函数 C先递减再递增函数 D先递增再递减函数 【答案】C 【解析】 作出函数yx25x6 的图象(图略)知开口向上,

5、且对称轴为x52, 在2, 4上先减后增 故选 C. 2、函数 y1x1在2,3上的最小值为( ) A2 B.12 C.13 D12 【答案】B 【解析】 因为 y1x1在2,3上单调递减,所以 ymin13112. 故选 B. 3、已知函数 f(x)是定义在区间0,)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足 f(2x1)f13的 x的取值范围是( ) A.13,23 B.13,23 C.12,23 D.12,23 【答案】D 【解析】因为函数f(x)是定义在区间0,)上的增函数,满足 f(2x1)f13.所以 02x113, 解得12x23.故选 D. 4、设函数 f(x)在 R 上为增函数,

6、则下列结论一定正确的是(D ) A. y1f(x)在 R 上为减函数 B. y|f(x)|在 R 上为增函数 C. y1f(x)在 R 上为增函数 D. yf(x)在 R 上为减函数 【答案】D. 【解析】 如f(x)x3,则y1f(x)的定义域为(,0)(0,),在x0 时无意义,A、C 错;y|f(x)|是偶函数,在 R R 上无单调性,B 错故选 D. 5、对数函数log(0ayx a且1)a 与二次函数2(1)yaxx在同一坐标系内的图象不可能是( ) A B C D 【答案】BD 【解析】:若1a ,则对数函数logayx在(0,)上单调递增,二次函数2(1)yaxx开口向上,对称轴

7、102(1)xa,经过原点,可能为A,不可能为B 若01a,则对数函数logayx在(0,)上单调递减,二次函数2(1)yaxx开口向下,对称轴102(1)xa,经过原点,可能为C,不可能为D 故选:BD 6、函数 y|x22x1|的单调递增区间是 ;单调递减区间是 【答案】(1 2,1),(1 2,);(,1 2),(1,1 2) 【解析】作出函数 y|x22x1|的图像如图所示由图像可知,函数 y|x22x1|的单调增区间为(1 2,1),(1 2,);单调递减区间是(,1 2),(1,1 2)故应分别 考向一函数单调性的证明与判断 例 1、判断函数 f(x)x1x2在区间1,)上的单调性

8、并证明你的结论 【解析】 函数 f(x)21xx在区间1,)上是单调减函数,证明如下: 设 x1、x21,) ,且 x1x2,则 f(x1)f(x2)1211xx2221xx2212212212(1)(1)1)(1)xxxxxx(1 1122212()(1)1)(1)x xx xxx(.x1、x21,) ,且 x1x2, x1x20,1x1x20, f(x1)f(x2)0, 即 f(x1)f(x2). f(x)21xx在1,)上为减函数. 变式 1、试讨论函数 f(x)xkx(k0)的单调性 【解析】法一:由解析式可知,函数的定义域是(,0)(0,)在(0,)内任取 x1,x2,令 x1x2,

9、那么 f(x2)f(x1)x2kx2x1kx1(x2x1)k1x21x1(x2x1)x1x2kx1x2 因为 0 x10,x1x20 故当 x1,x2( k,)时,f(x1)f(x2), 即函数在(0, k)上单调递减 考虑到函数 f(x)xkx(k0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故在(, k)上单调递增,在( k,0)上单调递减 综上,函数 f(x)在(, k)和( k,)上单调递增,在( k,0)和(0, k)上单调递减 法二:由解析式可知,函数的定义域是(,0)(0,) f(x)1kx2 令 f(x)0 得 x2k,即 x(, k)或 x( k,),故函数的单调增区

10、间为(, k)和( k,)令 f(x)0 得 x20,又 a0,(x211)(x221)0. 当 x1,x2(0,1)时,x1x210, 从而a(x2x1)(x1x21)(x211)(x221)0,即 f(x1)f(x2)0f(x1)0, 从而a(x2x1)(x1x21)(x211)(x221)0,即 f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2),此时 f(x)axx21 (a0)单调递减 函数 f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,)上为减函数 方法总结: 1.1. 判断函数的单调性,通常的方法有: (1)定义法; (2)图像法; (3)利用常见函数的单调性; (4)导数法.而要证明一个函数

11、的单调性,基本方法是利用单调性定义或导数法. 2. 2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性,其基本步骤如下: 取值 作差 变形 确定符号 得出结论 其中, 变形是十分重要的一步, 其目的是使得变形后的式子易于判断符号, 常用的方法是(1)分解因式;(2)配方;(3)通分约分等 考向二 函数的单调区间 例 1、求下列函数的单调区间 (1)yx22|x|1; (2) 、.函数y|x|(1x)的单调递增区间是_. 【解析】(1)由2221,0-x21,0 xxxxx , ,即22(1)2,0-1)2,0.xxyxx( 画出函数图像如图所示,单调增区间为(,1,0,1,单调减区间为1,0, 1,)

12、 (2)y|x|(1x)x(1x),x0,x(1x),x0 x2x,x0,x2x,x0,函数的大致图象如图所示. 由图易知函数的单调递增区间是0,12. 变式 1、(2019河北石家庄二中模拟)函数 f(x)|x23x2|的单调递增区间是( ) A.32, B.1,32 和2,) C(,1和32,2 D.,32 和2,) 【答案】B 【解析】y|x23x2|= x23x2,x1或x2,x23x,1x2. 如图所示,函数的单调递增区间是1,32 和2,) 变式 2、 函数 f(x)x12x1的单调减区间为_ 【答案】 ,12,12, 【解析】 因为 f(x)x12x1x12122x11214x1

13、2,且定义域为x|x12, 所以函数 f(x)的单调减区间为(,12),(12,) 方法总结:求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似,有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等值得引起高度重视的是: (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求单调区间,必须先求出定义域; (2)对于基本初等函数的单调区间,可以直接利用已知结论求解 考向三 复合函数的单调区间 例 3、求下列函数的单调区间 (1)f(x) x22x3; (2)212log (32)yxx 【解析】(2)f(x) x22x3的定义域为(,13,)令 tx22x3, tx212x3 在 x(,1上是减函数,

14、在 x3,)为增函数,又 y t在 t(0,)上是增函数,函数 f(x) x22x3的单调减区间是(,1,单调递增区间是3,) (2)令 ux23x2,则原函数可以看成12logyu与 ux23x2 的复合函数 由 x23x20,解得 x1 或 x2. 函数的定义域为(,1)(2,) 又 ux23x2 的对称轴 x32,且开口向上 ux23x2 在(,1)上是减函数,在(2,)上是增函数 而12logyu在(0,)上是减函数,的单调减区间为(2,),单调增区间为(,1) 变式 1、函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间为( ) A,0 B2, C0, D, 2 【答案】 D 【解析】

15、 根据复合函数的单调性判断 因为 ylog12t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数 tx24 的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(,2) 变式 2、函数f(x)2xx2的单调递增区间为( ) A.,12 B.0,12 C.12, D.12,1 【答案】B 【解析】令txx2,由xx20,得 0 x1,故函数的定义域为0,1因为g(t)2t是增函数,所以f(x)的单调递增区间即txx2的单调递增区间 利用二次函数的性质, 得txx2的单调递增区间为0,12,即原函数的单调递增区间为0,12.故选 B. 方法总结:求复合函数的单调性,首先要注意复合函数的定义域

16、,其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成,根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。 考向四 函数单调性中的含参问题 例 4、已知函数 f(x)(12a)x3a,x1,2x1,x1的值域为 R,则实数 a 的取值范围是_ 【答案】0,12 【解析】:当x1 时,f(x)2x11, 212log (32)yxx212log (32)yxx函数f(x)(12a)x3a,x1,2x1,x1的值域为 R R, 当x1 时,(12a)x3a必须取遍(,1)内的所有实数, 则12a0,12a3a1,解得 0a12. 变式 1、如果函数 f(x)(2a)x1,x0 成立,那么 a 的取值范围是_. 【答案】3

17、2,2 【解析】对任意x1x2,都有f(x1)f(x2)x1x20, 所以yf(x)在(,)上是增函数. 所以2a0,a1,(2a)11a,解得32a0,2a2,即2a210,a1,即 a1. 例 5、(2019安徽皖南八校第三次联考)已知函数 f(x)log2(x1),x1,1,x1,则满足 f(2x1)f(3x2)的实数 x 的取值范围是( ) A(,0 B(3,) C1,3) D(0,1) 【答案】B 【解析】 法一:由f(x)log2(x1),x1,1,x1可得当x1 时,f(x)1,当x1 时,函数f(x)在1,)上单调递增,且f(1)log221, 要使得f(2x1)f(3x2),

18、则2x13x2,3x21,解得x3, 即不等式f(2x1)f(3x2)的解集为(3,),故选 B. 法二:当x1 时,函数f(x)在1,)上单调递增,且f(x)f(1)1,要使f(2x1)f(3x2)成立,需2x11,2x13x2或2x11,3x21,解得x3.故选 B. 变式 1、 (2020 届山东师范大学附中高三月考)已知函数( )f x是定义在R上的奇函数,当12xx时,有1212 ( )()()0f xf xxx恒成立,若(31)(2)0fxf,则 x 的取值范围是_ 【答案】(, 1) 【解析】 根据已知条件: 当12xx时, 有1212 ( )()()0f xf xxx恒成立,

19、得函数( )f x是定义在R上的减函数, 又因为函数( )f x是定义在R上的奇函数,所以(2)( 2)ff,故(31)(2)0fxf等价于(31)(2)( 2)fxff , 所以312x ,即1x. 故答案为:, 1 . 变式 2、已知函数 f(x)为 R R 上的减函数,则满足 f1xf(1)的实数 x 的取值范围是( ) A(1,1) B(0,1) C(1,0)(0,1) D(,1)(1,) 【答案】C 【解析】 (1)由f(x)为 R R 上的减函数且f1x1,x0,即|x|1,x0.所以1x0 或 0 x0 x0(,5、 (2017 山东)若函数e( )xf x(e=271828L,

20、是自然对数的底数)在( )f x的定义域上单调递增,则称函数( )f x具有M性质,下列函数中具有M性质的是 ( )2xf x ( )3xf x 3( ) f xx 2( )2f xx 【答案】 【解析】( )2( )2xxxxee f xe在R上单调递增,故( )2xf x具有性质; ( )3( )3xxxxee f xe在R上单调递减,故( )3xf x不具有性质; 3( )xxe f xex,令3( )xg xex,则322( )3(2)xxxg xexexx ex, 当2x时, 0g x,当2x时, 0g x, 3( )xxe f xex在, 2 上单调递减,在2,上单调递增, 故 3

21、f xx不具有性质; 2( )(2)xxe f xex,令 22xg xex, 则22( )(2)2(1)10 xxxg xexexex, 2( )(2)xxe f xex在R上单调递增,故2( )2f xx具有性质 6、(2012 安徽)若函数( ) |2|f xxa的单调递增区间是), 3 ,则a=_ 【答案】6 【解析】由22( )22axaxf xaxax 可知( )f x的单调递增区间为,)2a,故362aa 7、已知 f(x)xxa(xa) (1)若 a2,试证 f(x)在(,2)内单调递增; (2)若 a0 且 f(x)在(1,)内单调递减,求 a 的取值范围 【解析】:(1)证明:当a2 时,f(x)xx2. 任取x1,x2(,2),且x1x2, 则f(x1)f(x2)x1x12x2x222(x1x2)(x12)(x22). 因为(x12)(x22)0,x1x20, 所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2), 所以f(x)在(,2)内单调递增 (2)任取x1,x2(1,),且x1x2, 则f(x1)f(x2)x1x1ax2x2aa(x2x1)(x1a)(x2a). 因为a0,x2x10,又由题意知f(x1)f(x2)0, 所以(x1a)(x2a)0 恒成立,所以a1. 所以 0a1. 所以a的取值范围为(0,1