(新高考)2021届高三数学小题必练10:计数原理与概率(含答案解析)

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资源描述

1、 1掌握古典概率的基本特征,解决简单的概率实际问题,借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件,以及随机事件的概率 2能够根据实际问题的需求,选择恰当的抽样方法获取样本数据,重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养 3了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义,利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1 【2020 全国新高考卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ) A120种 B90种 C60

2、种 D30种 2 【2020 全国 II 卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作,已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05志愿者每人每天完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( ) A10名 B18名 C24名 D32名 一、单选题 1某电视台一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序,最前只能排甲或乙,最后不能排甲,则不同的排法共有( ) A192种 B216种 C24

3、0种 D288种 2某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的和数为( ) A360 B520 C600 D720 3某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位, (新高考)小题必练(新高考)小题必练 1010:计数原理与概率:计数原理与概率 且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( ) A120种 B156种 C188种 D240种 4若二项式7(2)axx的展开式中31x的系数是84,则实数a ( ) A2 B54 C1

4、D24 551()(2)axxxx展开式中,各项系数之和为3,则展开式中的常数项为( ) A120 B80 C80 D120 6 “暑假”期间,三个家庭(每家均为一对夫妇和一个孩子)去“沈阳世博园”游玩,在某一景区前合影留念,要求前排站三个小孩,后排为三对夫妇,则每对夫妇均相邻,且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率是( ) A115 B190 C1180 D1360 7已知集合1,2,3,4,5,6A ,若从集合A中任取3个不同的数,则这三个数可以作为三角形三边长的概率为( ) A310 B720 C12 D1320 8中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动

5、的民间艺术,蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图,其中的4个小圆均过正方形的中心,且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为( ) A(32 2)2 B6 C(32 2)4 D8 二、多选题 9为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周则( ) A某学生从中选3门,共有30种选法 B课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法 C课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法 D课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排

6、法 10已知二项式*1(2) ()nxnxN的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5,则下列说法正确的是( ) A所有项的系数之和为1 B所有项的系数之和为1 C含3x的项的系数为240 D含3x的项的系数为240 11一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列结论:从中任取3球,恰有一个白球的概率是35;从中有放回的取球6次,每次任取一球,恰好有两次白球的概率为80243;现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为25;从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为2627则其中正确命题的序号是( ) A B C D

7、12如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣分别为A、B、C、D、E箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是( ) AAB所在线路畅通的概率为16 BABC所在线路畅通的概率为56 CDE所在线路畅通的概率为130 D当开关合上时,整个电路畅通的概率为2936 三、填空题 13 (北京市海淀区 2018 年高三一模)社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,小红必须与2位老人都相邻,且两位老人不排在两端,则不同的排法种数是_ (用数字作答) 14(广东省东莞市 2018 届高三上学期期末数学试卷)201520150120152 )(1()xaa xaxx

8、RL, 则32015122320152222aaaaL的值为_ 15 (山西省忻州一中、临汾一中 2020 届联考)M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过3R的概率是_ 16已知x,y满足约束条件6300 xxxyyk,且42zxy的最小值为6 (1)常数k _; (2) 向上述不等式组所表示的平面区域D内随机投石子, 则石子落在该区域内的最大圆内的概率为P _ 1 【答案】C 【解析】123653C C C60 【点睛】本题主要考查计数原理的相关知识,考查数学运算 2 【答案】B 【解析】由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货, 如果没有志

9、愿者帮忙,则超市第二天共会积压超过500(1600 1200)900份订单的概率为0 05., 因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95, 至少需要志愿者9001850(名) ,故选 B 【点睛】本题主要考查概率知识在生活中的应用,考查数学运算和数据分析 一、单选题 1 【答案】B 【解析】最前排甲,共有55A120种, 最前只排乙,最后不能排甲,有1444AA96种, 根据加法原理可得,共有12096216种,故选 B 2 【答案】C 答案答案与解析与解析 【解析】根据题意,分2种情况讨论,若只有甲乙其中一人参加,有134254CCC480种情况; 若甲乙两人都参加,有

10、224254CCA240种情况,其中甲乙相邻的有22322532CCAA120种情况, 则不同的发言顺序种数为480 240 120600种,故选 C 3 【答案】A 【解析】根据题意,由于节目甲必须排在前三位,分3种情况讨论: 甲排在第一位,节目丙、丁必须排在一起,则丁、丙相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况, 将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有33A6种安排方法, 则此时有4 2 648 种编排方法; 甲排在第二位,节目丙、丁必须排在一起,则丁、丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况, 将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有33A6安排方法, 则此时有3

11、 2 636 种编排方法; 甲排在第三位,节目丙、丁必须排在一起,则丁、丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况, 将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有33A6种安排方法, 则此时有3 2 636 种编排方法, 则符合题意要求的编排方法有363648120种,故选 A 4 【答案】C 【解析】二项式7(2)axx的展开式,即7(2 )axx的展开式中3x项的系数为84, 所以777 2177C (2 ) ( )C 2rrrrrrrraTxaxx ,令723r ,解得2r , 代入得25272C84a,解得1a ,故选 C 5 【答案】D 【解析】51()(2)axxxx展开式中

12、,各项系数之和为3, 1x时,13a,2a, 55121()(2)()(2)axxxxxxxx, 展开式中x的一项为80 x,x的1此项为140 x, 展开式中的常数项为16040120,故选 D 6 【答案】B 【解析】前排站三个小孩,后排为三对夫妇的排列为3636A A种, 前排站三个小孩,后排为三对夫妇,则每对夫妇均相邻,且小孩恰与自家父母排列的顺序一致, 故有22232223A A A A48种, 故每对夫妇均相邻,且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率36368A41A90P ,故选 B 7 【答案】B 【解析】不妨设取出的三个数为abc, ,且abc,若abc, ,能够成三角形,

13、则有以下几种情况; 当6c 时,( , )(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)a b ; 当5c 时,( , )(2,4),(3,4)a b ; 当4c 时,( , )(2,3)a b 一共有7组, 所求的概率为3677C20P 8 【答案】A 【解析】分析题意可知,阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形, 设圆的半径为R,该正方形的边长为l,则对于正方形的对角线而言,可以分为三个部分,第一个部分为正方形的对角线上的顶点到圆心的距离,两圆的圆心距,对角线上顶点到圆心的距离, 故(222RRl),解得( 22)lR, 故概率222(32 2)2( 22)RPR,故选 A 二、多选题 9 【答案

14、】CD 【解析】6门中选3门共有36C20种,故 A 错误; 课程“射”“御”排在不相邻两周,共有4245A A480种排法,故 B 错误; 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有3434A A144种排法,故 C 正确; 课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有51145444AC C A504种排法,故 D 正确 10 【答案】AC 【解析】二项式*1(2) ()nxnxN展开式通项为:23211C(2 )()( 1) 2Cnrrn rrrn rrrnnTxxx , 因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5,所以12C :C2:5nn,解得6n ; 则该二项式为6

15、(2)1xx,令1x ,则所有项的系数之和为6(2 1)1,故 A 正确,B 错误; 则展开式的通项公式为12 3621( 1) 2CrrrrrnTx , 令12332r,则2r =,因此含3x的项的系数为2426( 1) 2 C240,故 C 正确,D 错误 11 【答案】ABD 【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球, 从中任取3球,恰有一个白球的概率是214236C C3C5p ,故正确; 从中有放回的取球6次,每次任取一球,每次抽到白球的概率为2163p , 则恰好有两次白球的概率为24262180C ( ) ( )33243p ,故正确; 现从中不放回的取球2次, 每次任取1球

16、, 则在第一次取到红球后, 第二次再次取到红球的概率为11431145C C3C C5,故错误; 从中有放回的取球 3 次,每次任取一球,每次抽到红球的概率为4263p , 则至少有一次取到红球的概率为0331261 C ( )327p ,故正确 12 【答案】BD 【解析】 由题意知,A、B、C、D、E保险闸被切断的概率分别为1( )2P A ,1( )3P B ,1( )4P C ,1()5P D ,1( )6P E , 所以A、B两个盒子畅通的概率为121233,因此 A 错误; D、E两个盒子并联后畅通的概率为1112911563030 ,因此 C 错误; A、B、C三个盘子混联后畅通

17、的概率为2115113466 ,B 正确; 根据上述分析可知,当开关合上时,电路畅通的概率为2952930636,D 正确 三、填空题 13 【答案】24 【解析】首先小红必须与2位老人都相邻有2种排法,将三人看成一个整体,从剩下的3名志愿者中选出两人排在两端有23A种,剩下的一名志愿者与小红等三人可乱排有22A种, 根据分步计数原理可得不同的排法种数22232 AA24种 14 【答案】1 【解析】由题意得2015C( 2)rrra ,取0 x ,代入二式项得01a , 12332015122015201520152322014201520152015015CCC2222CCaaaa LL,

18、 0123201420152015201520152015201520152015CCCCC(1 1)CL, 320151223201512222aaaa L 15 【答案】13 【解析】根据题意可得,满足条件: “弦MN的长度超过”对应的弧,其构成的区域是圆的13, 故弦MN的长度超过3R的概率13P 16 【答案】 (1)0; (2)(32 2) 【解析】由42zxy的几何意义可知, 当42zxy经过60 xy与0 xyk的交点( 3,3)22kk 时,取得最小值6, 故4 ( 3)2 (3)622kk ,解得0k (2)由(1)可知,在直角坐标系内画出可行域如图,易求得(3, 3)A,(3,9)B,( 3,3)C 而ABC为等腰直角三角形,且斜边12AB ,其内切圆半径6( 21)r , 所以平面区域D内圆的最大面积是36(32 2), 又平面区域D的面积112 6362ABCS, 所以所求概率36(32 2)(32 2)36P

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