1、专题专题 5 三角形与四边形三角形与四边形 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 （2020鼓楼区校级模拟）如图，在MON 中，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 OM 于点 A，交射线 ON 于点 B，再分别以 A，B 为圆心，OA 的长为半径作弧，两弧在MON 的内部交于点 C，作射线 OC若 OA10，AB12，则点 B 到 AC 的距离为（ ） A485 B245 C10 D12 2 （2020鼓楼区一模）如图，在ABC 中，ABAC，BD 平分ABC 交 AC 于 D，AEBD 交 CB 延长线于点 E，若AEB25，则ADB 的度数为（ ） A50 B70 C75
2、 D80 3 （2021福州模拟）若 n 边形的每个内角都与其外角相等，则 n 的值为（ ） A3 B4 C6 D8 4 （2021福州模拟）如图，A+B+C+D+E+F 的值是（ ） A360 B480 C540 D720 5 （2021闽侯县模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD8，E 是 BC 边上一点，作点 B 关于 AE 的对称点 F，P 为 CF 中点，则 DP 的最小值为（ ） A43 4 B5 C23 2 D25 2 6 （2020闽侯县模拟）如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，则下列四个判断中错误的是（ ） A四边形 ADEF 不一定
3、是平行四边形 B若A90，则四边形 ADEF 是矩形 C若四边形 ADEF 是菱形，则ABC 是等腰三角形 D若四边形 ADEF 是正方形，则ABC 是等腰直角三角形 7 （2020鼓楼区校级模拟）若 n 边形的内角和等于外角和的 3 倍，则边数 n 为（ ） A6 B7 C8 D9 8 （2020鼓楼区校级模拟）若一个多边形的内角和与外角和总共是 900，则此多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 9 （2021福州模拟）在ABC 中，B60，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，若 AEBC，则A 10 （2021鼓
4、楼区校级模拟）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ABCD，中间阴影部分是一个小正方形 EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图” 若 AB10，AE8，则正方形 EFGH 的面积为 11 （2020福州模拟）如图，已知线段 AB，将线段 AB 沿某个方向平移 4 个单位得到线段 DC，其中点 D是A的对应点， 且点D不在直线AB上 连接AC， BD交于点O， 若E是CD中点， 则OE的长度值是 12 （2021福州模拟）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 CEDF，DE，AF 交于点 G，AF 的中点为点 H，连接 BG，DH现有以下结论： AFDE
5、； ADGDEC； HDBG； ABGDHF 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 13 （2021闽侯县模拟）如图，已知点 B，E，C，F 在同一条直线上，且 BECF，ABDE，ABDE求证：ACDF 14 （2020鼓楼区一模）已知：整式 A（n21）2+（2n）2，整式 B0尝试化简整式 A发现 AB2求整式 B 联想由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当 n1 时，n21，2n，B 为直角三角形的三边长，如图，填写下表中 B 的值； 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 8 勾股数组 35 15 （2020仓山区模拟）问
6、题提出： （1）如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb，填空：当ABC 时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示） 问题探究： （2）点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC6，AB3，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE，找出图中与 BE 相等的线段，请说明理由，并直接写出线段 BE长的最大值 问题解决： （3）如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（5，0） ，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PMPB，BPM90，求线段 AM
7、长的最大值及此时点 P 的坐标 16 （2020福清市模拟）如图，ABC 中，点 E，F 分别在边 CB 及其延长线上，且 CEBF，DFAC，且 DFAC，连接 DE，求证：AD 17 （2020鼓楼区校级模拟）如图，CAEBAD，BD，ACAE求证：BCDE 18 （2021鼓楼区校级模拟）如图，在四边形 ABCD 和 RtEBF 中，ABCD，CDAB，点 C 在 EB 上，ABCEBF90，ABBE8cm，BCBF6cm，延长 DC 交 EF 于点 M点 P 从点 A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时，点 Q 从点 M 出发，沿 AMF 方向匀速运动，速度为 1cm
8、/s过点 P 作 GHAB 于点 H，交 CD 于点 G设运动时间为 t（s） （0t5） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时，CMQ 是等腰三角形？ （2）连接 PQ，作 QNAF 于点 N，当四边形 PQNH 为矩形时，求 t 的值； （3）点 P 在运动过程中，当点 P 在AFE 的平分线上时，求 AP 的长度 19 （2021闽侯县模拟）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，DFDE 交 BC 的延长线于点 F，连接 EF，交 AC 于 G （1）求证：ADECDF； （2）求证：DGEF； （3）将正方形 ABCD 改为长与宽不相等的矩形，且其余条件保持不变（
9、图 2） ，试问（2）中的结论是否成立？说明理由 20 （2021福州模拟）如图，在ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 边上的点，且 BEDF，直线 EF 分别与AD，CB 的延长线交于点 G，H求证：EGFH 21 （2021鼓楼区校级模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，BECF，连接AF，DE 交于点 G，求证：AFDE 22 （2020福州模拟）已知：如图，在ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，BEDF，求证：AECF 23 （2020福州模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB，AD 上各有一点 P，Q，如果APQ 的周长
10、为2，求PCQ 的度数 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 【解答】解：作 AHOB 于 H，连接 AB 交 OC 于 D，如图， 由作法得 OC 平分AOB， 而 OAOB10， ODAB， ADBD=12AB6， 在 RtAOD 中，OD= 102 62=8， 12AHOB=12ODAB， AH=81210=485， AOAC， AOCACO， ACOBOC， ACOB， 点 B 到 AC 的距离为485 故选：A 2 【解答】解：AEBD， EDBC25， ABAC， ABCACB， BD 平分ABC， ABDDBC25， ABCACB5
11、0， ADBACB+DBC75， 故选：C 3 【解答】解：由题意得：这个 n 边形的每个外角等于 90 这个 n 边形的边数为 360904 n4 故选：B 4 【解答】解：如图，AC、DF 与 BE 分别相交于点 M、N， 在四边形 NMCD 中，MND+CMN+C+D360， CMNA+E，MNDB+F， A+B+C+D+E+F360， 故选：A 5 【解答】解：连接 AC、BD 交于点 O，连接 AF，OP， 四边形 ABCD 是矩形，BAD90，AB4，AD8， 点 O 为 AC 的中点，BD= 2+ 2=45， 又点 P 是 CF 的中点， OP 是CAF 的中位线， 点 B 关于
12、 AE 的对称点 F，AB4， AF4， OP2， BD45， OD25， OP+DPOD，OP2，OD25， 当点 P 在 OD 上时，DP 取得最小值，此时 DPODOP25 2， 故选：D 6 【解答】解：点 D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点， EFADDB=12AB，DEAFFC=12AC，EFAB，DEAC， 四边形 ADEF 是平行四边形， 故 A 错误， 若B+C90，则A90 四边形 ADEF 是矩形， 故 B 正确， 若四边形 ADEF 是菱形，则 ADAF， ABAC， ABC 是等腰三角形， 故 C 正确， 若四边形 ADEF 是正方形，则 ADAF，A90，
13、 ABAC，A90， ABC 是等腰直角三角形， 故 D 正确， 故选：A 7 【解答】解：由题意得：180（n2）3603， 解得：n8， 故选：C 8 【解答】解：多边形的内角和与外角和的总和为 900， 多边形的外角和是 360， 多边形的内角和是 900360540， 多边形的边数是： 540180+2 3+2 5 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 9 【解答】解：如图，连接 BE， DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE， AABE， BECA+ABE2A， AEBC， BEBC， CBEC2A， A+ABC+C180， A+2A+60180， A40， 故答案
14、为：40 10 【解答】解：直角三角形直角边的较短边为102 82=6， 正方形 EFGH 的面积10108624100964 故答案为：4 11 【解答】解：如图，连接 AD，BC， 根据平移的性质知：AD4，ABCD 且 ABCD，则四边形 ABCD 是平行四边形， O 点是 AC 的中点， E 是 CD 中点， OE 是ACD 的中位线， OE=12AD2 故答案是：2 12 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADCD，ADCDCB90， 又DFCE， ADFDCE（SAS） ， DAFCDE，DFADEC， ADBC， ADGDEC， ADGAFD， DAF+AFD90， DA
15、F+ADG90， AGD90， AFDE，故正确； DAFCDE，AGDDCE90， ADGDEC，故正确； 如图，连接 AE， ABCAGE90， 点 A，点 B，点 E，点 G 四点共圆， AEBAGB， 点 H 是 AF 的中点， AHDHHF， HDFHFD， DHF+2AFD180， 当AEDDEC 时，则AEB+2DEC180， AEBDHFAGB， DHBG， 又点 E 是 BC 上任意一点， AED 不一定等于DEC， DH 与 BG 不一定平行，故错误； DHHF， DHF 是等腰三角形， 点 A，点 B，点 E，点 G 四点共圆， 点 G 是动点， ABG 不一定是等腰三角
16、形， ABG 不一定与DHF 相似，故错误； 故答案为 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 13 【解答】证明：BECF， BE+ECCF+EC， 即 BCEF， ABDE， BDEF， 在ABC 和DEF 中， = = = ， ABCDEF（SAS） ACDF 14 【解答】解：A（n21）2+（2n）2n42n2+1+4n2n4+2n2+1（n2+1）2， AB2，B0， Bn2+1， 当 2n8 时，n4，n2142115，n2+142+117； 当 n2135 时，n6（负值舍去） ，2n2612，n2+137 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 15 8 17 勾股
17、数组 35 12 37 故答案为：15，17；12，37 15 【解答】解： （1）点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb， 当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BC+ABa+b， ABC180， 故答案为：180，a+b； （2）CDBE， 理由：ABD 与ACE 是等边三角形， ADAB，ACAE，BADCAE60， BAD+BACCAE+BAC， 即CADEAB， 在CAD 与EAB 中， = = = ， CADEAB（SAS） ， CDBE； 线段 BE 长的最大值线段 CD 的最大值， 由（1）知，当线段 CD 的长取得最大值时，点
18、 D 在 CB 的延长线上， 最大值为 BD+BCAB+BC3+69； （3）如图 1，连接 BM， 将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN，连接 AN，则APN 是等腰直角三角形， PNPA2，BNAM， A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（5，0） ， OA2，OB5， AB3， 线段 AM 长的最大值线段 BN 长的最大值， 当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值， 最大值AB+AN， AN= 2AP22， 最大值为 22 +3； 如图 2，过 P 作 PEx 轴于 E， APN 是等腰直角三角形， PEAE= 2， OEBOABAE532 =22，
19、P（22，2） 16 【解答】证明：如图，CEBF， CE+BEBF+BE，即 BCEF DFAC， CF 在ABC 与DEF 中 = = = ABCDEF（SAS） AD 17 【解答】证明：CAEBAD， CAE+BAEBAD+BAE， CABEAD， 在CAB 和EAB 中， CABEAD，BD，ACAE CABEAD（AAS） ， BCDE 18 【解答】解： （1）ABCD， ECMEBF， =， 868=6， CM=32， CMQ90， 当CMQ 是等腰三角形时， 只有 CMMQ， 1t=32， t=32， 即当 t=32时，CMQ 是等腰三角形； （2）如图，过点 Q 作 QNA
20、F 于点 N， ABCEBF90，ABBR8cm，BCBF6cm， AC= 2+ 2=10cm，EF= 2+ 2=10cm， CE2cm，CM=32cm， EM= 2+ 2=52， sinPAHsinCAB， =， 610=2， PH=65， 同理可求 QN645， 四边形 PQNH 是矩形， PHNQ， 645 =65， t3， 即当 t3 时，四边形 PQNH 为矩形； （3）如图，连接 PF，延长 AC 交 EF 于点 K， ABBE8cm，BCBF6cm，ACEF10cm， ABCEBF（SSS） ， ECAB， 又ACBECK， ABCEKC90， SCEM=12 =12 ， CK=
21、23252=65， PF 平分AFE，PHAF，PKEF， PHPK， 65 = 10 2 +65， t=72， 则 AP2t7cm 19 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ADCD，EADADCBCDFCD90， DFDE， EDF90， ADCCDEEDFCDE，即ADECDF， 在ADE 和CDF 中， = = = ， ADECDF（ASA） ； （2）证明：由（1）得：ADECDF， DEDF， EDF90， DEF 是等腰直角三角形， DFG45， 四边形 ABCD 是正方形， DCG45， DFGDCG， D、F、C、G 四点共圆， DCF90， DGFDCF90
22、， DGEF； （3）解： （2）中的结论成立，理由如下： 四边形 ABCD 为矩形， ADCDAEBCDDCF90， EDF90， ADCCDEEDFCDE，即ADECDF， DAEDCF， DAEDCF， =， ADCEDF90， ADCEDF， DFGDCG， D、F、C、G 四点共圆， DCF90， DGFDCF90， DGEF，即（2）中的结论成立 20 【解答】证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ADCCBA， GDFHBE， 又AGCH， GH， 在GDF 和HBE 中， = = = ， GDFHBE（AAS） ， GFHE， GF+EFHE+EF， 即 EGFH 21 【解
23、答】证明：四边形 ABCD 是正方形， ADCDBC,ADCDCB90， BECF, BCBECDCF 即 CEDF, 在ADF 和DCE 中， = = = , ADFDCE(SAS), DAFCDE, ADC90,即CDE+EDA90， DAF+EDA90， AGD180（DAF+EDA）90， AFDE 22 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD ABECDF 在ABE 和DCF 中， = = = ， ABEDCF（SAS） AECF 23 【解答】解：如图所示， APQ 的周长为 2，即 AP+AQ+PQ2， 正方形 ABCD 的边长是 1，即 AQ+QD1，AP+PB1， AP+AQ+QD+PB2， 得，PQQDPB0， PQPB+QD 延长 AB 至 M，使 BMDQ连接 CM，CBMCDQ（SAS） ， BCMDCQ，CMCQ， DCQ+QCB90， BCM+QCB90，即QCM90， PMPB+BMPB+DQPQ 在CPQ 与CPM 中， CPCP，PQPM，CQCM， CPQCPM（SSS） ， PCQPCM=12QCM45
