1、专题专题 6 二次函数二次函数 一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题） 1 （2021越秀区校级三模）若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在二次函数 y（x2）2+3 的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay3y2y1 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy1y2y3 2 （2021越秀区校级二模）将二次函数 yx24x+5 的图象向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位后得到的图象的顶点坐标是（ ） A （0，4） B （5，1） C （4，4） D （1，1） 3 （2021南沙区一模）如图，抛物线 yax22ax3a（a0）与 x 轴交于点 A，
2、B与 y 轴交于点 C连接 AC、BC已知ABC 的面积为 3将抛物线向左平移 h（h0）个单位，记平移后抛物线中 y 随着 x的增大而增大的部分为 H当直线 BC 与 H 没有公共点时，h 的取值范围是（ ） Ah52 B0h52 Ch2 D0h2 4 （2021黄埔区二模）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A（3，0） 、点B （1， 0） 下列结论： abc0； b2a0； 8a+c0； a+bn （an+b） （n1） 正确的有 （ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 5 （2021花都区一模）如图，抛物线 yx24x+3 与 x
3、轴交于 A，B 两点，将抛物线向上平移 m 个单位长度后，点 A，B 在新抛物线上的对应点分别为点 C，D，若图中阴影部分的面积为 8，则平移后新抛物线的解析式为（ ） Ayx24x+3 Byx24x+5 Cyx24x+7 Dyx24x+11 6 （2021越秀区校级模拟）抛物线 y2（x+1） （x3）关于 y 轴对称后所得到的抛物线解析式为（ ） Ay2（x+1） （x3） By2（x1） （x3） Cy2（x1） （x+3） Dy2（x1） （x+3） 7 （2021荔湾区三模）如图，函数 yax2+bx+c 经过点（3，0） ，对称轴为直线 x1，下列结论： b24ac0；abc0；9
4、a3b+c0；5a+b+c0；若点 A（a+1，y1） 、B（a+2，y2）在抛物线上，则 y1y20其中结论的正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 （2021增城区一模）直线 yx+2m 经过第一、三、四象限，则抛物线 yx2+2x+1m 与 x 轴的交点个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 9 （2021广州模拟）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2）且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中1x10，1x22，下列结论：abc0，4a+2b+c0，2ab0，b2+8a4ac，a1，其中结论正确的有（ ） A1
5、 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 （2020花都区一模）若点 A（2，y1） ，B（1，y2）在抛物线 y（x2）2+1 的图象上，则 y1、y2的大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D无法确定 11 （2020荔湾区一模）如图，抛物线 G：y1a（x+1）2+2 与 H：y2（x2）21 交于点 B（1，2） ，且分别与 y 轴交于点 D、E过点 B 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A、C，则以下结论： 无论 x 取何值，y2总是负数； 抛物线 H 可由抛物线 G 向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到； 当3x1 时，随着 x 的增大，y1y2的值先增
6、大后减小； 四边形 AECD 为正方形 其中正确的是（ ） A B C D 12 （2020天河区一模）对于抛物线 y= 14x2+x4，下列说法正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而减少 B当 x2 时，y 有最大值3 C顶点坐标为（2，7） D抛物线与 x 轴有两个交点 13 （2020广州模拟）二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图，图象过点 A（3，0） ，对称轴为直线 x1，下列结论： ab+c0；2a+b0；4acb20；a+bam2+bm（m 为实数） 其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 14 （2020越秀区一模） 在同一平面直角坐标系中， 函
7、数 yax2+bx+2b 与 yax+b 的图象可能是 （ ） A B C D 15 （2020南沙区一模）已知 A（3，y1） ，B（32，y2） ，C（1，y3）为二次函数 yx24x+5 的图象上的三点，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 16 （2021天河区校级二模）将二次函数 yx24x+5 化成 ya（x+h）2+k 的形式应为 17 （2021花都区二模） 如图， 已知抛物线 yax2+bx+c （a0） 的对称轴为 x1， 与 x 轴的一个交点是 （3，0） ，则方
8、程 ax2+bx+c0（a0）的两根是 18 （2021广州模拟）如图 1，AO，BC 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图 2 建立坐标系，绳子形如抛物线 y=1102x+4 的图象因实际需要，在 OA 与 BC 间用一根高为 2.5m 的立柱 MN 将绳子撑起，若立柱 MN 到 OA 的水平距离为 3m，MN 左侧抛物线的最低点 D与 MN 的水平距离为 1m，则点 D 到地面的距离为 19 （2021越秀区校级二模）抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0） 、B（1，0） 下列结论：2ab0； 2c3b； 当 a0 时， 无论 m 取何值都
9、有 abam2+bm； 若 a0 时， 抛物线交 y 轴于点 C，且ABC 是等腰三角形，c= 7或15； 抛物线交 y 轴于正半轴，抛物线上的两点 E（x1， y1） 、F （x2，y2）且 x1x2，x1+x22，则 y1y2；则其中正确的是 （填写所有正确结论的序号） 20 （2021越秀区校级二模）对于函数 yx2+2x+1，当 1x2 时，y 随 x 的增大而 （填写“增大”或“减小” ） 三解答题（共三解答题（共 13 小题）小题） 21 （2021越秀区校级三模）已知抛物线 yx2（2m1）x+4m6 （1）试说明：不论 m 取任何实数，该抛物线都经过 x 轴上的定点 A （2）
10、设该抛物线与 x 轴的另一个交点为 B（A 与 B 不重合） ，顶点为 C，当ABC 为直角三角形时，求m 的值 （3）在（2）的条件下，若点 B 在 A 的右侧，点 D（0，3） ，点 E 是抛物线上的一点问：在 x 轴上是否存在一点 F，使得以 D，E，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且EDF90，若存在，求 F 点的坐标；若不存在，请说明理由 22（2021越秀区校级二模） 已知抛物线 yx2+4ax4a2+3a （a34） ， 顶点为点 D， 抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的最大值； （2）若当 0 x2 时，
11、抛物线函数有最大值 3，求此时 a 的值； （3）若直线 CD 交 x 轴于点 G，求的值 23 （2021越秀区校级模拟）设抛物线 G1：yax2+bx+c（a0，c1） ，当 xc 时，y0；当 0 xc 时，y0 （1）试用含 a，c 的式子表示 b； （2）请比较 ac 和 1 的大小，并说明理由； （3）若 c2，点 A（x，y1）在抛物线 G1上，点 B（x，y2）在另一条抛物线 G2上，点 C（x，x）为平面内一点，若对于任意实数 x 点 A、B 到点 C 的距离都相等，设抛物线 G2的顶点为点 D，抛物线 G1的对称轴与抛物线 G2的交点为 F，直线 DF 解析式为 ymx+n
12、，请求出 m 的值 24 （2021南沙区一模）已知，抛物线 ymx2+94x4m 与 x 轴交于点 A（4，0）和点 B，与 y 轴交于点C点 D（n，0）为 x 轴上一动点，且有4n0，过点 D 作直线 lx 轴，且与直线 AC 交于点 M，与抛物线交于点 N，过点 N 作 NPAC 于点 P点 E 在第三象限内，且有 OEOD （1）求 m 的值和直线 AC 的解析式 （2）若点 D 在运动过程中，12AD+CD 取得最小值时，求此时 n 的值 （3）若ADM 的周长与MNP 的周长的比为 5：6 时，求 AE+23CE 的最小值 25 （2021越秀区校级二模）已知抛物线 y= 13x
13、2+233x+3 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 CBAC 的平分线 AD 交 y 轴于点 D过点 D 的直线 l 与射线 AC、AB 分别交于点 M、N （1）求抛物线的对称轴； （2）当实数 a2 时，求二次函数 y= 13x2+233x+3 在2xa 时的最大值； （可用含 a 的代数式表示） （3）当直线 l 绕点 D 旋转时，试证明1+1为定值，并求出该定值 26 （2021黄埔区二模）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx5 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的二次函数解析式：
14、 （2）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； （3）如图 2，点 H 是直线 BC 下方抛物线上的动点，连接 BH，CH当BCH 的面积最大时，求点 H的坐标 27 （2021从化区一模）在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点 A，B （1）求 a，b 满足的关系式及 c 的值 （2）当 x0 时，若 yax2+bx+c（a0）的函数值随 x 的增大而增大，求实数 a 的取值范围 （3）当 a1 时，在抛物线上是否存在点 P，使PAB
15、的面积为 1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由 28 （2021番禺区一模） 已知抛物线 y= 12x2+x+c 与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C， 点 B 坐标为 （2，0） （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 Q（h，k）为抛物线上一动点，且 h0，k0 过点 Q 作平行于 BC 的直线 l1交线段 AC 于点 D，记线段 QD 的长为 d当 d 取最大值时，求点 Q 的坐标； 点 Q1为点 Q 关于 y 轴的对称点，又过点 Q1作直线 l1的平行线 l2交直线 AC 于点 D1记线段 Q1D1的长为 d1，求当 dd1时，h 的取
16、值范围 29 （2021白云区一模）抛物线 G：yx22axa+3（a 为常数）的顶点为 A （1）用 a 表示点 A 的坐标； （2）经过探究发现，随着 a 的变化，点 A 始终在某一抛物线 H 上，若将抛物线 G 向右平移 t（t0）个单位后，所得抛物线顶点 B 仍在抛物线 H 上； 平移距离 t 是 a 的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出 a 的取值范围；如果不是，请说明理由； 若 yx22axa+3 在 x4 时，都有 y 随 x 的增大而增大，设抛物线 H 的顶点为 C，借助图象，求直线 AC 与 x 轴交点的横坐标的最小值 30 （2021越秀区校级二模）在平面直角坐标系 x
17、Oy 中，C1：二次函数 ymx2+（m3）x3（m0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）且 AB4，与 y 轴交于点 C （1）求二次函数的表达式； （2） 将抛物线 C1向上平移 n 个单位， 得到抛物线 C2， 当 0 x32时， 抛物线 C2与 x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出 n 的取值范围； （3）将ACB 绕 AB 的中点 Q 旋转 180，得到BDA，若点 M 是线段 AD 上一动点，MBNB 交直线AC 于点 N，点 P 为线段 MN 的中点，当点 M 从点 D 向点 A 运动时 求 tanNMB 的值如何变化？请说明理由； 求点 M 到达
18、点 A 时，直接写出点 P 经过的路线长 31 （2021越秀区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 C1：yax2+bx1 的最高点为点 D（1，0） ，将C1左移 1 个单位，上移 1 个单位得到抛物线 C2，点 P 为 C2的顶点 （1）求抛物线 C1的解析式； （2）若过点 D 的直线 l 与抛物线 C2只有一个交点，求直线 l 的解析式； （3）直线 yx+c 与抛物线 C2交于 D、B 两点，交 y 轴于点 A，连接 AP，过点 B 作 BCAP 于点 C，点Q为C2上PB之间的一个动点， 连接PQ交BC于点E， 连接BQ并延长交AC于点F， 试说明： FC（AC+EC）为定值 32
19、（2021增城区一模）已知抛物线 y= 14x2+bx+c 经过点 A（4，3） ，顶点为 B，对称轴是直线 x2 （1）求抛物线的函数表达式和顶点 B 的坐标； （2）如图 1，抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AC，过 A 作 ADx 轴于点 D，E 是线段 AC 上的动点（点 E不与 A，C 两点重合） ； （i）若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3 的两部分，求点 E 的坐标； （ii）如图 2，连接 DE，作矩形 DEFG，在点 E 的运动过程中，是否存在点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时 AE 的长；若不存在，请说明理由 33
20、（2021广州模拟）A 是直线 x1 上一个动点，以 A 为顶点的抛物线 y1a（x1）2+t 和抛物线 y2ax2交于点 B（A，B 不重合，a 是常数） ，直线 AB 和抛物线 y2ax2交于点 B，C，直线 x1 和抛物线 y2ax2交于点 D （如图仅供参考） （1）求点 B 的坐标（用含有 a，t 的式子表示） ； （2）若 a0，且点 A 向上移动时，点 B 也向上移动，求的范围； （3）当 B，C 重合时，求的值； （4）当 a0，且BCD 的面积恰好为 3a 时，求的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题） 1 【解答】解：y（x2
21、）2+3 的开口向上，对称轴为直线 x2， A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在二次函数 y（x2）2+3 的图象上，且 B 在对称轴上，A 到对称轴的距离最远， y2y3y1， 故选：B 2 【解答】解：二次函数 yx24x+5（x2）2+1 的图象的顶点坐标是（2，1） ，将其向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位后得到（0，4） 故选：A 3 【解答】解：yax22ax3aa（x+1） （x3） ， 令 y0，则（x+1） （x3）0， 解得 x1 或 3， A（1，0） ，B（3，0） ， AB4， ABC 的面积为 3 12ABOC3，即12 4 =3， OC=
22、32， C（0，32） ，3a=32， a= 12， 抛物线 y= 12x2+x+32， y= 12x2+x+32= 12（x1）2+2， 抛物线的顶点为（1，2） ， B（3，0） ，C（0，32） ， 直线 BC 为 y= 12x+32， 把 y2 代入 y= 12x+32，得 2= 12x+32， 解得 x1， 1（1）2， h 的取值范围是 h2， 故选：C 4 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 顶点坐标（1，n） ， 对称轴为直线 x1， 2=1， b2a0， 与 y 轴的交点在正半轴上， c0， abc0，故错误； 2=1， b+2a0，得 b2a， 所以 b2a2a2a4a，
23、a0， 所以4a0，故正确； 点 A（3，0） ， 9a+3b+c0， b2a， 3a+c0， a0， 8a+c0，故正确； 顶点坐标的横坐标为 1， 当 x1 时，函数有最大值， a+b+can2+bn+c， a+ban2+bnn（an+b） ，故正确， 综上所述，结论正确的是共 3 个 故选：B 5 【解答】解：当 y0 时，有 x24x+30， 解得：x11，x23， AB2 S阴影ACAB8， AC4， 平移后新抛物线的解析式为 yx24x+3+4x24x+7 故选：C 6 【解答】解：关于 y 轴对称的点的坐标横坐标化为相反数，纵坐标相同， 抛物线 y2（x+1） （x3）关于 y
24、轴对称后所得到的抛物线解析式为 y2（x+1） （x3）2（x1） （x+3） ， 故选：C 7 【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点， 0， b24ac0， 正确； 抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴在 y 轴右侧， b 与 a 异号，即 b0， 抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， c0， abc0， 正确； 抛物线对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点为（3，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 当 x3 时，y0， 9a3b+c0， 错误； 抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0） ， 9a+3b+c0， 抛物
25、线对称轴为 x1， 2=1， b2a， 5a+b+c0， 正确； a0， 1a+1a+2， 抛物线对称轴为 x1，抛物线开口向上，在对称轴右侧 y 随 x 增大而增大， y1y2， y1y20， 正确； 综上所述，正确； 故选：D 8 【解答】解：直线 yx+2m 经过第一、三、四象限， 2m0， 又由抛物线 yx2+2x+1m 的解析式可知，224（1m）4m0， 抛物线与 x 轴无交点 故选：A 9 【解答】解：抛物线的开口向下， a0， 抛物线与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上， c0， 021， 又a0， b0， abc0，所以错误； b2a，即 2ab0，所以正确； x2，y0，
26、 4a+2b+c0，所以正确； 4;242， 而 a0， 4acb28a， b2+8a4ac，所以正确； 当 x1 时，a+b+c2 ab+c0，4a+2b+c0， 由+得到 2a+2c2， 由2 得到 2ac4，即 4a2c8， 上面两个相加得到 6a6， a1，所以正确； 故选：D 10 【解答】解：当 x2 时，y1（x2）2+11； 当 x1 时，y2（x2）2+110； 101， y1y2 故选：A 11 【解答】解：（x2）20， （x2）20， y2（x2）2110， 无论 x 取何值，y2总是负数； 故正确； 抛物线 G：y1a（x+1）2+2 与抛物线 H：y2（x2）21
27、交于点 B（1，2） ， 当 x1 时，y2， 即2a（1+1）2+2， 解得：a1； y1（x+1）2+2， H 可由 G 向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到； 故正确； y1y2（x+1）2+2（x2）216x+6， 随着 x 的增大，y1y2的值减小； 故错误； 设 AC 与 DE 交于点 F， 当 y2 时，（x+1）2+22， 解得：x3 或 x1， 点 A（3，2） ， 当 y2 时，（x2）212， 解得：x3 或 x1， 点 C（3，2） ， AFCF3，AC6， 当 x0 时，y11，y25， DE6，DFEF3， 四边形 AECD 为平行四边形， ACDE，
28、四边形 AECD 为矩形， ACDE， 四边形 AECD 为正方形 故正确 故选：B 12 【解答】解：y= 14x2+x4= 14（x2）23， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 A 错误； 当 x2 时，y 有最大值3，故选项 B 正确； 顶点坐标为（2，3） ，故选项 C 错误； 当 y0 时，0= 14x2+x4，此时124（14）（4）30，则该抛物线与 x 轴没有交点，故选项 D 错误； 故选：B 13 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A（3，0） ，对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y0，即 ab+c0
29、 正确； 对称轴为直线 x1， 2=1， b2a， 2a+b0， 故正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， 4acb20， 故错误； 当 x1 时，函数有最大值， a+b+cam2+bm+c， a+bam2+bm， 故正确 综上，正确的有 故选：C 14 【解答】 解： A、 一次函数的图象经过一、 二、 四象限， 则a0， 即 a0， b0， 所以函数 yax2+bx+2b的图象开口向上， 对称轴 x0， 与 y 轴的交点位于直线的上方， 由 ax2+bx+2bax+b 整理得 ax2+ （a+b）x+b0，由于（a+b）24ab（ab）20，则两图象有交点， 故 A 错误；
30、B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则a0，即 a0，b0，所以函数 yax2+bx+2b 开口向上，对称轴 x0， 故 B 错误； C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则a0，即 a0，b0，所以函数 yax2+bx+2b 开口向下，对称轴 x0， 故 C 错误； D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则a0，即 a0，b0，所以函数 yax2+bx+2b 开口向上，对称轴 x0， 故 D 正确； 故选：D 15 【解答】解：二次函数 yx24x+5（x+2）2+9， 该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x2 点 A（3，y1） ，B（32，y2） ，C（1，y3）都在二次函数 yx
31、24x+5 的图象上， 而三点横坐标离对称轴 x2 的距离按由远到近为： （1，y3） 、 （3，y1） 、 （32，y2） ， y3y1y2 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 16 【解答】解：yx24x+5 x24x+4+1 （x2）2+1， 所以，y（x2）2+1 故答案为：y（x2）2+1 17 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点是（3，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 当 y0 时，0ax2+bx+c 的两个根为 x3 或 x1 故答案为：x3 或 x1 18 【解答】解：抛物线的解析式为 y
32、=1102x+4， 点 A 的坐标为（0，4） ， 立柱 MN 到 OA 的水平距离为 3m，MN 左侧抛物线的最低点 D 与 MN 的水平距离为 1m， 点 N 左侧的抛物线的顶点的横坐标为 2，点 N 的坐标为（3，52） ， 设点 N 左侧的抛物线的解析式为 ya（x2）2+k，把（0，4） ， （3，52）分别代入解析式，得： + =524 + = 4， 解得 =12 = 2， 该抛物线的解析式为 y=12（x2）2+2， 点 D 到地面的距离为 2m 故答案为：2m 19 【解答】解：二次函数与 x 轴交于点 A（3，0） 、B（1，0） 二次函数的对称轴为 x=3+12= 1，即2
33、= 1， 2ab0 故正确； 二次函数 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（3，0） 、B（1，0） 9a3b+c0，a+b+c0， 又b2a 32b+c0， 2c3b 故错误； a0， 抛物线开口向下 x1 时，二次函数有最大值 a+b+cam2+bm+c 即 a+bam2+bm 故正确； 由图象可得，ACBC 当 BCAB4 时，则 12+c242，解得 c= 15， 当 ACAB4 时，则 32+c242，解得 c= 7 故ABC 是等腰三角形时，c= 7或15， 故正确； 由题意可知，点 E（x1，y1）到对称轴的距离小于点 F（x2，y2）到对称轴的距离， y1y2， 故正确；
34、 故答案为 20 【解答】解：yx2+2x+1（x+1）2， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 则当 1x2 时，y 随 x 的增大而增大， 故答案为：增大 三解答题（共三解答题（共 13 小题）小题） 21 【解答】解： （1）取 x2，则 y22（2m1）2+4m60， 抛物线过 x 轴上定点 A（2，0） ； （2）当 yx2（2m1）x+4m6（x2） （x2m+3）0 时， 有 x2 或 x2m3， 点 B（2m3，0） ， 抛物线的对称轴为 xm12， 当 xm12时，y（ 122） （ 122m+3）= ( 52)2= 2+ 5 254， C（m12，2+ 5 254）
35、， ABC 为直角三角形， ACB90， 又ACBC， |2m32|2(2+ 5 254)， 解得 m=32或 m=52或 m=72 当 m=52时，A 与 B 重合， m=52舍去， m=32， m=32或 m=72； （3）点 B 在 A 的右侧， 2m32， 解得 m52， m=72， 抛物线的解析式为 yx26x+8， 设 E（x，x26x+8） ，F（n，0） （n0） ， 又以 D，E，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且EDF90， 如图，过点 D 作 HK 平行 x 轴，HFx 轴于点 F，KEx 轴， FDE90， FDH+KDE90， 又FDH+HFD90， 在DHF 和
36、EKD 中， = = = ， DHFEKD（AAS） ， HFDK3，HDKEn， E 到 x 轴的距离为 3， |x|3， x3， 当 x3 时，yx26x+8918+81， KE4， n4， n4， F（4，0） ， 当 x3 时，yx26x+89+18+835， E（3，35） ， 又D（0，3） ， n+335， n32， F（32，0） ， 综上，F（4，0）或 F（32，0） 22 【解答】解： （1）抛物线开口向下， 在顶点时有最大值， 由顶点坐标公式得 y最大=4(1)(42+3)(4)24(1)=3a， 即抛物线最大值为 3a； （2）yx2+4ax4a2+3a（x2a）2+
37、3a， 抛物线的对称轴是：x2a， a34， 2a32， 分两种情况： 当322a2 时，即34a1， 当 0 x2 时，抛物线函数有最大值是 3a，即 3a3， a1； 当 2a2 时，即 a1，y 随 x 的增大而增大， 当 0 x2 时，x2 时有最大值 3， y（22a）2+3a3， 解得：a1=74，a21（舍） ， 综上，a 的值是 1 或74； （3）如图， y（x2a）2+3a， D（2a，3a） ，C（0，4a2+3a） ， 当 y0 时，（x2a）2+3a0， 解得：x12a3a，x22a+3a， A（2a3a，0） ，B（2a+3a，0） ， 设 DC 的解析式为：ykx
38、+b， 则2 + = 3 = 42+ 3， 解得： = 2 = 42+ 3， 设 DC 的解析式为：y2ax4a2+3a， 当 y0 时，2ax4a2+3a0， x2a32， OG2a32， =(2;32);(2;3)(2:3);(2;32)2;32=(3;32)(3:32)2;32=3;942;32=12;98;6=32 23 【解答】解： （1）当 xc 时，y0， ac2+bc+c0， c1， ac+b+10， b1ac； （2）ac1， 理由如下：当 0 xc 时，y0，当 xc 时，y0， 二次函数 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x= 2c，即 b2ac bac12ac， ac
39、1； （3）当 c2，则抛物线 G1的解析式为 yax2+（12a）x+2， 点 A、B 到点 C 的距离都相等， y1xxy2， y22xy1ax2+（3+2a）x2， 抛物线 G2的解析式为 yax2+（3+2a）x2， 点 D（3:22，42:4:94） ， 抛物线 G1的对称轴为直线 x=1+22， 点 F（1:22，42:4:54） ， 直线 DF 解析式为 ymx+n， 42+4+94=3+22 + 42+4+54=1+22 + ， 解得：m1， m 的值为 1 24 【解答】解： （1）抛物线 ymx2+94x4m 与 x 轴交于点 A（4，0） ， m （4）2+94（4）4m
40、0， 解得：m=34， 抛物线解析式为 y=34x2+94x3， 令 x0，得 y3， C（0，3） ， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， A（4，0） ，C（0，3） ， 4 + = 0 = 3， 解得： = 34 = 3， 直线 AC 的解析式为 y= 34x3. （2）A（4，0） ，D（n，0）为 x 轴上一动点，且有4n0， ADn（4）n+4， 在 x 轴上方作射线 AM，使MAO30，过点 D 作 DKAM 于 K， AKD90， DK=12AD，ADK60， 当 C、D、K 在同一条直线上时，CD+DK 最小，即12AD+CD 取得最小值时，CDOADK60， ODn，C
41、OD90， =tanCDOtan60，即3;=3， n= 3 （3）DMx 轴，NPAC， ADMNPM90， AMDNMP， AMDNMP， ADM 的周长与MNP 的周长的比为 5：6， =56， =sinDAM=35， =12， DN3DM， DM=34n+3，DN= 34n294n+3， 34n294n+33（34n+3） ， 解得：n12，n24（舍去） ， D（2，0） ， OD2， 如图 2 中，在 y 轴上 取一点 R，使得 OR=43，连接 AR，在 AR 上取一点 E 使得 OEOD2 OE2，OROC=4334， OE2OROC， =， COEROE， ROEEOC， =
42、23， RE=23CE， 当 A、R、E 共线时，AE+23CEAE+ERAR，此时 AE+23CE 最小， AE+23CE 的最小值AR= 2+ 2=42+ (43)2=4310 25 【解答】解： （1）抛物线对称轴为：x=2332(13)= 3； （2）当 a 3时，如图： 此时二次函数y= 13x2+233x+3在2xa时的最大值， 在xa时取得， 最大值为y= 13a2+233a+3， 当 a3时，如图： 此时二次函数 y= 13x2+233x+3 在2xa 时的最大值，在 x= 3时取得，最大值为 y4， 综上所述，当 a 3时，最大值为13a2+233a+3；当 a3时，最大值为
43、 4； （3）过 M 作 MEx 轴于 E， 在 y= 13x2+233x+3 中令 x0 得 y3，令 y0 得 x1= 3，x233， A（3，0） ，B（33，0） ，C（0，3） ， OA= 3，OC3， tanOAC= 3， OAC60，即BAC60， BAC 的平分线 AD 交 y 轴于点 D， OAD30， ODOAtan301， D（0，1） ， 当 M 在线段 AC 上时，如图： 设 AMa，ANb，则 ONANOAb3， N（b3，0） ， 设直线 DN 解析式为 ykx+m，将 D（0，1） ，N（b3，0）代入得： 0 = ( 3) + 1 = ，解得 =13 = 1，
44、 直线 DN 解析式为 y=13x+1， 在 RtAME 中，OAC60，AMa， AE=12a，ME=32a， OE= 3 12a=232， M（;232，32a） ， 将 M（;232，32a）代入 y=13x+1 得： 32a=13232+1，变形为：3ab2（a+b） ， a+b=32ab， 1+1=1+1=:=32=32， 1+1为定值，是32； 当 M 在线段 AC 延长线上时，如图： 设 AMa，ANb，则 ONOAAN= 3 b， N（b3，0） ， 设直线 DN 解析式为 ytx+n，将 D（0，1） ，N（b3，0）代入得： 0 = ( 3) + 1 = ，解得 =13 =
45、 1， 直线 DN 解析式为 y=13x+1， 在 RtAME 中，OAC60，AMa， AE=12a，ME=32a， OE=12a3 =232， M（;232，32a） ， 将 M（;232，32a）代入 y=13x+1，得： 32a=13232+1，变形为：3ab2（a+b） ， a+b=32ab， 1+1=1+1=:=32=32， 1+1为定值，是32； 综上所述，直线 l 绕点 D 旋转时，1+1为定值，该定值是32 26 【解答】解： （1）y 过 A（1，0） ，B（5，0） 把 A（1，0） ，B（5，0）代入抛物线 yax2+bx5 得0 = 50 = 25 + 5 5， 解得
46、 = 1 = 4 yx24x5； （2）当 x0 时，y5， C（0，5） ， 设 P（m，m24m5） ，Q（n，0） ， BC 为对角线， 则 xQxCxBxP，yQyCyByP， 解得 = 4 = 1， （ = 0 = 5舍去） ， P（4，5） ， CP 为对角线， 则 xQxCxPxB，yQyCyPyB， 解得 = 2 + 14 = 14 3或 = 2 14 = 3 14， P（2+14，5）或（214，5） ， 综上 P（4，5）或（214，5）或（2+14，5） ； 第三种，CQ 为对角线不合要求，舍去； （3）过 H 作 HDy 轴交 BC 于 D， SBCHSCDH+SBDH
47、=12HD（xHxC）+12HD（xBxH）=12HD（xBxC）=52HD， 设 BC：ykx+b1， BC 过 B、C 点， 代入得， 5 + 1= 01= 5， = 11= 5， yx5， 设 H（h，h24h5） ，D（h，h5） ， SBCH=52HD=52h5（h24h5）= 52（h52）2+1258， 当 h=52时，H（52，354）时，SBCHmax=1258 27 【解答】解： （1）yx+2，令 x0，则 y2，令 y0，则 x2， 故点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （0，2） ，则 c2， 则函数表达式为：yax2+bx+2， 将点 A 坐标代入上式并整理得：
48、b2a+1； （2）当 x0 时，若 yax2+bx+c（a0）的函数值随 x 的增大而增大， 则函数对称轴 x= 20，而 b2a+1， 即2+120，解得：a 12， 故 a 的取值范围为：12a0； （3）当 a1 时，二次函数表达式为：yx2x+2， 过点 P 作直线 lAB，作 PQy 轴交 BA 于点 Q，作 PHAB 于点 H， OAOB， BAOPQH45， SPAB=12ABPH=1222 PQ22=1， 则 PQyPyQ1， 在直线 AB 下方作直线 m，使直线 m 和 l 与直线 AB 等距离， 则直线 m 与抛物线两个交点坐标，分别与点 AB 组成的三角形的面积也为 1
49、， 故：|yPyQ|1， 设点 P（x，x2x+2） ，则点 Q（x，x+2） ， 即：x2x+2x21， 解得：x1 或12， 故点 P（1，2）或（1+2，2）或（12，2） 28 【解答】解： （1）把 B（2，0）代入 y= 12x2+x+c，得过且22+c0，解得 c4， 抛物线的解析式为 y= 12x2+x+4， 当 x0 时，y4， C（0，4） ， 设直线 BC 的解析式为 ymx+4，则2m+40，解得 m2， 直线 BC 的解析式为 y2x+4 （2）如图 1，作 QEx 轴于点 E，交线段 AC 于点 F，作 DGQF 于点 G，设直线 l1交 x 轴于点 H 当 y0
50、时，由12x2+x+40，得 x12，x24， A（4，0） ， 设直线 AC 的解析式为 yax+4，则 4a+40，解得 a1， yx+4， 设 Q（h，12h2+h+4） ，则 F（h，h+4） ， QF= 12h2+h+4+h4= 12h2+2h； OAOC4，AOC90， OACOCA45， DGAB，FGOC， GDFOAC45，GFDOCA45， DGFG； OB2，OC4，BOC90， BC= 22+ 42=25， QDGQHACBO，DGQBOC90， DGQBOC， DG：GQ：QDBO：OC：CB1：2：5 GQ2DG2FG，DGFG=13QF，QD= 5DG=53QF，
