1、专题专题 6 二次函数二次函数 一选择题(共一选择题(共 15 小题)小题) 1 (2021越秀区校级三模)若点 A(1,y1) ,B(2,y2) ,C(3,y3)在二次函数 y(x2)2+3 的图象上,则 y1、y2、y3的大小关系是( ) Ay3y2y1 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy1y2y3 2 (2021越秀区校级二模)将二次函数 yx24x+5 的图象向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位后得到的图象的顶点坐标是( ) A (0,4) B (5,1) C (4,4) D (1,1) 3 (2021南沙区一模)如图,抛物线 yax22ax3a(a0)与 x 轴交于点 A,
2、B与 y 轴交于点 C连接 AC、BC已知ABC 的面积为 3将抛物线向左平移 h(h0)个单位,记平移后抛物线中 y 随着 x的增大而增大的部分为 H当直线 BC 与 H 没有公共点时,h 的取值范围是( ) Ah52 B0h52 Ch2 D0h2 4 (2021黄埔区二模)如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于点 A(3,0) 、点B (1, 0) 下列结论: abc0; b2a0; 8a+c0; a+bn (an+b) (n1) 正确的有 ( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 5 (2021花都区一模)如图,抛物线 yx24x+3 与 x
3、轴交于 A,B 两点,将抛物线向上平移 m 个单位长度后,点 A,B 在新抛物线上的对应点分别为点 C,D,若图中阴影部分的面积为 8,则平移后新抛物线的解析式为( ) Ayx24x+3 Byx24x+5 Cyx24x+7 Dyx24x+11 6 (2021越秀区校级模拟)抛物线 y2(x+1) (x3)关于 y 轴对称后所得到的抛物线解析式为( ) Ay2(x+1) (x3) By2(x1) (x3) Cy2(x1) (x+3) Dy2(x1) (x+3) 7 (2021荔湾区三模)如图,函数 yax2+bx+c 经过点(3,0) ,对称轴为直线 x1,下列结论: b24ac0;abc0;9
4、a3b+c0;5a+b+c0;若点 A(a+1,y1) 、B(a+2,y2)在抛物线上,则 y1y20其中结论的正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 (2021增城区一模)直线 yx+2m 经过第一、三、四象限,则抛物线 yx2+2x+1m 与 x 轴的交点个数为( ) A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 9 (2021广州模拟)如图,二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象经过点(1,2)且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中1x10,1x22,下列结论:abc0,4a+2b+c0,2ab0,b2+8a4ac,a1,其中结论正确的有( ) A1
5、 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 (2020花都区一模)若点 A(2,y1) ,B(1,y2)在抛物线 y(x2)2+1 的图象上,则 y1、y2的大小关系是( ) Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D无法确定 11 (2020荔湾区一模)如图,抛物线 G:y1a(x+1)2+2 与 H:y2(x2)21 交于点 B(1,2) ,且分别与 y 轴交于点 D、E过点 B 作 x 轴的平行线,交抛物线于点 A、C,则以下结论: 无论 x 取何值,y2总是负数; 抛物线 H 可由抛物线 G 向右平移 3 个单位,再向下平移 3 个单位得到; 当3x1 时,随着 x 的增大,y1y2的值先增
6、大后减小; 四边形 AECD 为正方形 其中正确的是( ) A B C D 12 (2020天河区一模)对于抛物线 y= 14x2+x4,下列说法正确的是( ) Ay 随 x 的增大而减少 B当 x2 时,y 有最大值3 C顶点坐标为(2,7) D抛物线与 x 轴有两个交点 13 (2020广州模拟)二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图,图象过点 A(3,0) ,对称轴为直线 x1,下列结论: ab+c0;2a+b0;4acb20;a+bam2+bm(m 为实数) 其中正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 14 (2020越秀区一模) 在同一平面直角坐标系中, 函
7、数 yax2+bx+2b 与 yax+b 的图象可能是 ( ) A B C D 15 (2020南沙区一模)已知 A(3,y1) ,B(32,y2) ,C(1,y3)为二次函数 yx24x+5 的图象上的三点,则 y1、y2、y3的大小关系是( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 16 (2021天河区校级二模)将二次函数 yx24x+5 化成 ya(x+h)2+k 的形式应为 17 (2021花都区二模) 如图, 已知抛物线 yax2+bx+c (a0) 的对称轴为 x1, 与 x 轴的一个交点是 (3,0) ,则方
8、程 ax2+bx+c0(a0)的两根是 18 (2021广州模拟)如图 1,AO,BC 是两根垂直于地面的立柱,且长度相等在两根立柱之间悬挂着一根绳子,如图 2 建立坐标系,绳子形如抛物线 y=1102x+4 的图象因实际需要,在 OA 与 BC 间用一根高为 2.5m 的立柱 MN 将绳子撑起,若立柱 MN 到 OA 的水平距离为 3m,MN 左侧抛物线的最低点 D与 MN 的水平距离为 1m,则点 D 到地面的距离为 19 (2021越秀区校级二模)抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A(3,0) 、B(1,0) 下列结论:2ab0; 2c3b; 当 a0 时, 无论 m 取何值都
9、有 abam2+bm; 若 a0 时, 抛物线交 y 轴于点 C,且ABC 是等腰三角形,c= 7或15; 抛物线交 y 轴于正半轴,抛物线上的两点 E(x1, y1) 、F (x2,y2)且 x1x2,x1+x22,则 y1y2;则其中正确的是 (填写所有正确结论的序号) 20 (2021越秀区校级二模)对于函数 yx2+2x+1,当 1x2 时,y 随 x 的增大而 (填写“增大”或“减小” ) 三解答题(共三解答题(共 13 小题)小题) 21 (2021越秀区校级三模)已知抛物线 yx2(2m1)x+4m6 (1)试说明:不论 m 取任何实数,该抛物线都经过 x 轴上的定点 A (2)
10、设该抛物线与 x 轴的另一个交点为 B(A 与 B 不重合) ,顶点为 C,当ABC 为直角三角形时,求m 的值 (3)在(2)的条件下,若点 B 在 A 的右侧,点 D(0,3) ,点 E 是抛物线上的一点问:在 x 轴上是否存在一点 F,使得以 D,E,F 为顶点的三角形是等腰直角三角形,且EDF90,若存在,求 F 点的坐标;若不存在,请说明理由 22(2021越秀区校级二模) 已知抛物线 yx2+4ax4a2+3a (a34) , 顶点为点 D, 抛物线与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的最大值; (2)若当 0 x2 时,
11、抛物线函数有最大值 3,求此时 a 的值; (3)若直线 CD 交 x 轴于点 G,求的值 23 (2021越秀区校级模拟)设抛物线 G1:yax2+bx+c(a0,c1) ,当 xc 时,y0;当 0 xc 时,y0 (1)试用含 a,c 的式子表示 b; (2)请比较 ac 和 1 的大小,并说明理由; (3)若 c2,点 A(x,y1)在抛物线 G1上,点 B(x,y2)在另一条抛物线 G2上,点 C(x,x)为平面内一点,若对于任意实数 x 点 A、B 到点 C 的距离都相等,设抛物线 G2的顶点为点 D,抛物线 G1的对称轴与抛物线 G2的交点为 F,直线 DF 解析式为 ymx+n
12、,请求出 m 的值 24 (2021南沙区一模)已知,抛物线 ymx2+94x4m 与 x 轴交于点 A(4,0)和点 B,与 y 轴交于点C点 D(n,0)为 x 轴上一动点,且有4n0,过点 D 作直线 lx 轴,且与直线 AC 交于点 M,与抛物线交于点 N,过点 N 作 NPAC 于点 P点 E 在第三象限内,且有 OEOD (1)求 m 的值和直线 AC 的解析式 (2)若点 D 在运动过程中,12AD+CD 取得最小值时,求此时 n 的值 (3)若ADM 的周长与MNP 的周长的比为 5:6 时,求 AE+23CE 的最小值 25 (2021越秀区校级二模)已知抛物线 y= 13x
13、2+233x+3 与 x 轴交于点 A、B(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 CBAC 的平分线 AD 交 y 轴于点 D过点 D 的直线 l 与射线 AC、AB 分别交于点 M、N (1)求抛物线的对称轴; (2)当实数 a2 时,求二次函数 y= 13x2+233x+3 在2xa 时的最大值; (可用含 a 的代数式表示) (3)当直线 l 绕点 D 旋转时,试证明1+1为定值,并求出该定值 26 (2021黄埔区二模)如图 1,在平面直角坐标系中,已知抛物线 yax2+bx5 与 x 轴交于 A(1,0) ,B(5,0)两点,与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的二次函数解析式:
14、 (2)若点 P 在抛物线上,点 Q 在 x 轴上,当以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时,求点P 的坐标; (3)如图 2,点 H 是直线 BC 下方抛物线上的动点,连接 BH,CH当BCH 的面积最大时,求点 H的坐标 27 (2021从化区一模)在平面直角坐标系中,直线 yx+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,抛物线 yax2+bx+c(a0)经过点 A,B (1)求 a,b 满足的关系式及 c 的值 (2)当 x0 时,若 yax2+bx+c(a0)的函数值随 x 的增大而增大,求实数 a 的取值范围 (3)当 a1 时,在抛物线上是否存在点 P,使PAB
15、的面积为 1?若存在,请求出符合条件的所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由 28 (2021番禺区一模) 已知抛物线 y= 12x2+x+c 与 x 轴交于 A、 B 两点, 与 y 轴交于点 C, 点 B 坐标为 (2,0) (1)求直线 BC 的解析式; (2)点 Q(h,k)为抛物线上一动点,且 h0,k0 过点 Q 作平行于 BC 的直线 l1交线段 AC 于点 D,记线段 QD 的长为 d当 d 取最大值时,求点 Q 的坐标; 点 Q1为点 Q 关于 y 轴的对称点,又过点 Q1作直线 l1的平行线 l2交直线 AC 于点 D1记线段 Q1D1的长为 d1,求当 dd1时,h 的取
16、值范围 29 (2021白云区一模)抛物线 G:yx22axa+3(a 为常数)的顶点为 A (1)用 a 表示点 A 的坐标; (2)经过探究发现,随着 a 的变化,点 A 始终在某一抛物线 H 上,若将抛物线 G 向右平移 t(t0)个单位后,所得抛物线顶点 B 仍在抛物线 H 上; 平移距离 t 是 a 的函数吗?如果是,求出函数解析式,并写出 a 的取值范围;如果不是,请说明理由; 若 yx22axa+3 在 x4 时,都有 y 随 x 的增大而增大,设抛物线 H 的顶点为 C,借助图象,求直线 AC 与 x 轴交点的横坐标的最小值 30 (2021越秀区校级二模)在平面直角坐标系 x
17、Oy 中,C1:二次函数 ymx2+(m3)x3(m0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)且 AB4,与 y 轴交于点 C (1)求二次函数的表达式; (2) 将抛物线 C1向上平移 n 个单位, 得到抛物线 C2, 当 0 x32时, 抛物线 C2与 x 轴只有一个公共点,结合函数图象,求出 n 的取值范围; (3)将ACB 绕 AB 的中点 Q 旋转 180,得到BDA,若点 M 是线段 AD 上一动点,MBNB 交直线AC 于点 N,点 P 为线段 MN 的中点,当点 M 从点 D 向点 A 运动时 求 tanNMB 的值如何变化?请说明理由; 求点 M 到达
18、点 A 时,直接写出点 P 经过的路线长 31 (2021越秀区模拟)在平面直角坐标系中,抛物线 C1:yax2+bx1 的最高点为点 D(1,0) ,将C1左移 1 个单位,上移 1 个单位得到抛物线 C2,点 P 为 C2的顶点 (1)求抛物线 C1的解析式; (2)若过点 D 的直线 l 与抛物线 C2只有一个交点,求直线 l 的解析式; (3)直线 yx+c 与抛物线 C2交于 D、B 两点,交 y 轴于点 A,连接 AP,过点 B 作 BCAP 于点 C,点Q为C2上PB之间的一个动点, 连接PQ交BC于点E, 连接BQ并延长交AC于点F, 试说明: FC(AC+EC)为定值 32
19、(2021增城区一模)已知抛物线 y= 14x2+bx+c 经过点 A(4,3) ,顶点为 B,对称轴是直线 x2 (1)求抛物线的函数表达式和顶点 B 的坐标; (2)如图 1,抛物线与 y 轴交于点 C,连接 AC,过 A 作 ADx 轴于点 D,E 是线段 AC 上的动点(点 E不与 A,C 两点重合) ; (i)若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1:3 的两部分,求点 E 的坐标; (ii)如图 2,连接 DE,作矩形 DEFG,在点 E 的运动过程中,是否存在点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰好落在抛物线上?若存在,求出此时 AE 的长;若不存在,请说明理由 33
20、(2021广州模拟)A 是直线 x1 上一个动点,以 A 为顶点的抛物线 y1a(x1)2+t 和抛物线 y2ax2交于点 B(A,B 不重合,a 是常数) ,直线 AB 和抛物线 y2ax2交于点 B,C,直线 x1 和抛物线 y2ax2交于点 D (如图仅供参考) (1)求点 B 的坐标(用含有 a,t 的式子表示) ; (2)若 a0,且点 A 向上移动时,点 B 也向上移动,求的范围; (3)当 B,C 重合时,求的值; (4)当 a0,且BCD 的面积恰好为 3a 时,求的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 15 小题)小题) 1 【解答】解:y(x2
21、)2+3 的开口向上,对称轴为直线 x2, A(1,y1) ,B(2,y2) ,C(3,y3)在二次函数 y(x2)2+3 的图象上,且 B 在对称轴上,A 到对称轴的距离最远, y2y3y1, 故选:B 2 【解答】解:二次函数 yx24x+5(x2)2+1 的图象的顶点坐标是(2,1) ,将其向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位后得到(0,4) 故选:A 3 【解答】解:yax22ax3aa(x+1) (x3) , 令 y0,则(x+1) (x3)0, 解得 x1 或 3, A(1,0) ,B(3,0) , AB4, ABC 的面积为 3 12ABOC3,即12 4 =3, OC=
22、32, C(0,32) ,3a=32, a= 12, 抛物线 y= 12x2+x+32, y= 12x2+x+32= 12(x1)2+2, 抛物线的顶点为(1,2) , B(3,0) ,C(0,32) , 直线 BC 为 y= 12x+32, 把 y2 代入 y= 12x+32,得 2= 12x+32, 解得 x1, 1(1)2, h 的取值范围是 h2, 故选:C 4 【解答】解:抛物线开口向下, a0, 顶点坐标(1,n) , 对称轴为直线 x1, 2=1, b2a0, 与 y 轴的交点在正半轴上, c0, abc0,故错误; 2=1, b+2a0,得 b2a, 所以 b2a2a2a4a,
23、a0, 所以4a0,故正确; 点 A(3,0) , 9a+3b+c0, b2a, 3a+c0, a0, 8a+c0,故正确; 顶点坐标的横坐标为 1, 当 x1 时,函数有最大值, a+b+can2+bn+c, a+ban2+bnn(an+b) ,故正确, 综上所述,结论正确的是共 3 个 故选:B 5 【解答】解:当 y0 时,有 x24x+30, 解得:x11,x23, AB2 S阴影ACAB8, AC4, 平移后新抛物线的解析式为 yx24x+3+4x24x+7 故选:C 6 【解答】解:关于 y 轴对称的点的坐标横坐标化为相反数,纵坐标相同, 抛物线 y2(x+1) (x3)关于 y
24、轴对称后所得到的抛物线解析式为 y2(x+1) (x3)2(x1) (x+3) , 故选:C 7 【解答】解:抛物线与 x 轴有两个交点, 0, b24ac0, 正确; 抛物线开口向上, a0, 抛物线对称轴在 y 轴右侧, b 与 a 异号,即 b0, 抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方, c0, abc0, 正确; 抛物线对称轴为 x1,与 x 轴的一个交点为(3,0) , 抛物线与 x 轴的另一个交点为(1,0) , 抛物线开口向上,在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小, 当 x3 时,y0, 9a3b+c0, 错误; 抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0) , 9a+3b+c0, 抛物
25、线对称轴为 x1, 2=1, b2a, 5a+b+c0, 正确; a0, 1a+1a+2, 抛物线对称轴为 x1,抛物线开口向上,在对称轴右侧 y 随 x 增大而增大, y1y2, y1y20, 正确; 综上所述,正确; 故选:D 8 【解答】解:直线 yx+2m 经过第一、三、四象限, 2m0, 又由抛物线 yx2+2x+1m 的解析式可知,224(1m)4m0, 抛物线与 x 轴无交点 故选:A 9 【解答】解:抛物线的开口向下, a0, 抛物线与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上, c0, 021, 又a0, b0, abc0,所以错误; b2a,即 2ab0,所以正确; x2,y0,
26、 4a+2b+c0,所以正确; 4;242, 而 a0, 4acb28a, b2+8a4ac,所以正确; 当 x1 时,a+b+c2 ab+c0,4a+2b+c0, 由+得到 2a+2c2, 由2 得到 2ac4,即 4a2c8, 上面两个相加得到 6a6, a1,所以正确; 故选:D 10 【解答】解:当 x2 时,y1(x2)2+11; 当 x1 时,y2(x2)2+110; 101, y1y2 故选:A 11 【解答】解:(x2)20, (x2)20, y2(x2)2110, 无论 x 取何值,y2总是负数; 故正确; 抛物线 G:y1a(x+1)2+2 与抛物线 H:y2(x2)21
27、交于点 B(1,2) , 当 x1 时,y2, 即2a(1+1)2+2, 解得:a1; y1(x+1)2+2, H 可由 G 向右平移 3 个单位,再向下平移 3 个单位得到; 故正确; y1y2(x+1)2+2(x2)216x+6, 随着 x 的增大,y1y2的值减小; 故错误; 设 AC 与 DE 交于点 F, 当 y2 时,(x+1)2+22, 解得:x3 或 x1, 点 A(3,2) , 当 y2 时,(x2)212, 解得:x3 或 x1, 点 C(3,2) , AFCF3,AC6, 当 x0 时,y11,y25, DE6,DFEF3, 四边形 AECD 为平行四边形, ACDE,
28、四边形 AECD 为矩形, ACDE, 四边形 AECD 为正方形 故正确 故选:B 12 【解答】解:y= 14x2+x4= 14(x2)23, 当 x2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x2 时,y 随 x 的增大而减小,故选项 A 错误; 当 x2 时,y 有最大值3,故选项 B 正确; 顶点坐标为(2,3) ,故选项 C 错误; 当 y0 时,0= 14x2+x4,此时124(14)(4)30,则该抛物线与 x 轴没有交点,故选项 D 错误; 故选:B 13 【解答】解:二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A(3,0) ,对称轴为直线 x1, 当 x1 时,y0,即 ab+c0
29、 正确; 对称轴为直线 x1, 2=1, b2a, 2a+b0, 故正确; 抛物线与 x 轴有两个交点, b24ac0, 4acb20, 故错误; 当 x1 时,函数有最大值, a+b+cam2+bm+c, a+bam2+bm, 故正确 综上,正确的有 故选:C 14 【解答】 解: A、 一次函数的图象经过一、 二、 四象限, 则a0, 即 a0, b0, 所以函数 yax2+bx+2b的图象开口向上, 对称轴 x0, 与 y 轴的交点位于直线的上方, 由 ax2+bx+2bax+b 整理得 ax2+ (a+b)x+b0,由于(a+b)24ab(ab)20,则两图象有交点, 故 A 错误;
30、B、一次函数的图象经过一、二、四象限,则a0,即 a0,b0,所以函数 yax2+bx+2b 开口向上,对称轴 x0, 故 B 错误; C、一次函数的图象经过一、二、三象限,则a0,即 a0,b0,所以函数 yax2+bx+2b 开口向下,对称轴 x0, 故 C 错误; D、一次函数的图象经过二、三,四象限,则a0,即 a0,b0,所以函数 yax2+bx+2b 开口向上,对称轴 x0, 故 D 正确; 故选:D 15 【解答】解:二次函数 yx24x+5(x+2)2+9, 该二次函数的抛物线开口向下,且对称轴为:x2 点 A(3,y1) ,B(32,y2) ,C(1,y3)都在二次函数 yx
31、24x+5 的图象上, 而三点横坐标离对称轴 x2 的距离按由远到近为: (1,y3) 、 (3,y1) 、 (32,y2) , y3y1y2 故选:C 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 16 【解答】解:yx24x+5 x24x+4+1 (x2)2+1, 所以,y(x2)2+1 故答案为:y(x2)2+1 17 【解答】解:抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴为 x1,与 x 轴的一个交点是(3,0) , 抛物线与 x 轴的另一个交点为(1,0) , 当 y0 时,0ax2+bx+c 的两个根为 x3 或 x1 故答案为:x3 或 x1 18 【解答】解:抛物线的解析式为 y
32、=1102x+4, 点 A 的坐标为(0,4) , 立柱 MN 到 OA 的水平距离为 3m,MN 左侧抛物线的最低点 D 与 MN 的水平距离为 1m, 点 N 左侧的抛物线的顶点的横坐标为 2,点 N 的坐标为(3,52) , 设点 N 左侧的抛物线的解析式为 ya(x2)2+k,把(0,4) , (3,52)分别代入解析式,得: + =524 + = 4, 解得 =12 = 2, 该抛物线的解析式为 y=12(x2)2+2, 点 D 到地面的距离为 2m 故答案为:2m 19 【解答】解:二次函数与 x 轴交于点 A(3,0) 、B(1,0) 二次函数的对称轴为 x=3+12= 1,即2
33、= 1, 2ab0 故正确; 二次函数 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(3,0) 、B(1,0) 9a3b+c0,a+b+c0, 又b2a 32b+c0, 2c3b 故错误; a0, 抛物线开口向下 x1 时,二次函数有最大值 a+b+cam2+bm+c 即 a+bam2+bm 故正确; 由图象可得,ACBC 当 BCAB4 时,则 12+c242,解得 c= 15, 当 ACAB4 时,则 32+c242,解得 c= 7 故ABC 是等腰三角形时,c= 7或15, 故正确; 由题意可知,点 E(x1,y1)到对称轴的距离小于点 F(x2,y2)到对称轴的距离, y1y2, 故正确;
34、 故答案为 20 【解答】解:yx2+2x+1(x+1)2, 当 x1 时,y 随 x 的增大而增大, 则当 1x2 时,y 随 x 的增大而增大, 故答案为:增大 三解答题(共三解答题(共 13 小题)小题) 21 【解答】解: (1)取 x2,则 y22(2m1)2+4m60, 抛物线过 x 轴上定点 A(2,0) ; (2)当 yx2(2m1)x+4m6(x2) (x2m+3)0 时, 有 x2 或 x2m3, 点 B(2m3,0) , 抛物线的对称轴为 xm12, 当 xm12时,y( 122) ( 122m+3)= ( 52)2= 2+ 5 254, C(m12,2+ 5 254)
35、, ABC 为直角三角形, ACB90, 又ACBC, |2m32|2(2+ 5 254), 解得 m=32或 m=52或 m=72 当 m=52时,A 与 B 重合, m=52舍去, m=32, m=32或 m=72; (3)点 B 在 A 的右侧, 2m32, 解得 m52, m=72, 抛物线的解析式为 yx26x+8, 设 E(x,x26x+8) ,F(n,0) (n0) , 又以 D,E,F 为顶点的三角形是等腰直角三角形,且EDF90, 如图,过点 D 作 HK 平行 x 轴,HFx 轴于点 F,KEx 轴, FDE90, FDH+KDE90, 又FDH+HFD90, 在DHF 和
36、EKD 中, = = = , DHFEKD(AAS) , HFDK3,HDKEn, E 到 x 轴的距离为 3, |x|3, x3, 当 x3 时,yx26x+8918+81, KE4, n4, n4, F(4,0) , 当 x3 时,yx26x+89+18+835, E(3,35) , 又D(0,3) , n+335, n32, F(32,0) , 综上,F(4,0)或 F(32,0) 22 【解答】解: (1)抛物线开口向下, 在顶点时有最大值, 由顶点坐标公式得 y最大=4(1)(42+3)(4)24(1)=3a, 即抛物线最大值为 3a; (2)yx2+4ax4a2+3a(x2a)2+
37、3a, 抛物线的对称轴是:x2a, a34, 2a32, 分两种情况: 当322a2 时,即34a1, 当 0 x2 时,抛物线函数有最大值是 3a,即 3a3, a1; 当 2a2 时,即 a1,y 随 x 的增大而增大, 当 0 x2 时,x2 时有最大值 3, y(22a)2+3a3, 解得:a1=74,a21(舍) , 综上,a 的值是 1 或74; (3)如图, y(x2a)2+3a, D(2a,3a) ,C(0,4a2+3a) , 当 y0 时,(x2a)2+3a0, 解得:x12a3a,x22a+3a, A(2a3a,0) ,B(2a+3a,0) , 设 DC 的解析式为:ykx
38、+b, 则2 + = 3 = 42+ 3, 解得: = 2 = 42+ 3, 设 DC 的解析式为:y2ax4a2+3a, 当 y0 时,2ax4a2+3a0, x2a32, OG2a32, =(2;32);(2;3)(2:3);(2;32)2;32=(3;32)(3:32)2;32=3;942;32=12;98;6=32 23 【解答】解: (1)当 xc 时,y0, ac2+bc+c0, c1, ac+b+10, b1ac; (2)ac1, 理由如下:当 0 xc 时,y0,当 xc 时,y0, 二次函数 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x= 2c,即 b2ac bac12ac, ac
39、1; (3)当 c2,则抛物线 G1的解析式为 yax2+(12a)x+2, 点 A、B 到点 C 的距离都相等, y1xxy2, y22xy1ax2+(3+2a)x2, 抛物线 G2的解析式为 yax2+(3+2a)x2, 点 D(3:22,42:4:94) , 抛物线 G1的对称轴为直线 x=1+22, 点 F(1:22,42:4:54) , 直线 DF 解析式为 ymx+n, 42+4+94=3+22 + 42+4+54=1+22 + , 解得:m1, m 的值为 1 24 【解答】解: (1)抛物线 ymx2+94x4m 与 x 轴交于点 A(4,0) , m (4)2+94(4)4m
40、0, 解得:m=34, 抛物线解析式为 y=34x2+94x3, 令 x0,得 y3, C(0,3) , 设直线 AC 的解析式为 ykx+b, A(4,0) ,C(0,3) , 4 + = 0 = 3, 解得: = 34 = 3, 直线 AC 的解析式为 y= 34x3. (2)A(4,0) ,D(n,0)为 x 轴上一动点,且有4n0, ADn(4)n+4, 在 x 轴上方作射线 AM,使MAO30,过点 D 作 DKAM 于 K, AKD90, DK=12AD,ADK60, 当 C、D、K 在同一条直线上时,CD+DK 最小,即12AD+CD 取得最小值时,CDOADK60, ODn,C
41、OD90, =tanCDOtan60,即3;=3, n= 3 (3)DMx 轴,NPAC, ADMNPM90, AMDNMP, AMDNMP, ADM 的周长与MNP 的周长的比为 5:6, =56, =sinDAM=35, =12, DN3DM, DM=34n+3,DN= 34n294n+3, 34n294n+33(34n+3) , 解得:n12,n24(舍去) , D(2,0) , OD2, 如图 2 中,在 y 轴上 取一点 R,使得 OR=43,连接 AR,在 AR 上取一点 E 使得 OEOD2 OE2,OROC=4334, OE2OROC, =, COEROE, ROEEOC, =
42、23, RE=23CE, 当 A、R、E 共线时,AE+23CEAE+ERAR,此时 AE+23CE 最小, AE+23CE 的最小值AR= 2+ 2=42+ (43)2=4310 25 【解答】解: (1)抛物线对称轴为:x=2332(13)= 3; (2)当 a 3时,如图: 此时二次函数y= 13x2+233x+3在2xa时的最大值, 在xa时取得, 最大值为y= 13a2+233a+3, 当 a3时,如图: 此时二次函数 y= 13x2+233x+3 在2xa 时的最大值,在 x= 3时取得,最大值为 y4, 综上所述,当 a 3时,最大值为13a2+233a+3;当 a3时,最大值为
43、 4; (3)过 M 作 MEx 轴于 E, 在 y= 13x2+233x+3 中令 x0 得 y3,令 y0 得 x1= 3,x233, A(3,0) ,B(33,0) ,C(0,3) , OA= 3,OC3, tanOAC= 3, OAC60,即BAC60, BAC 的平分线 AD 交 y 轴于点 D, OAD30, ODOAtan301, D(0,1) , 当 M 在线段 AC 上时,如图: 设 AMa,ANb,则 ONANOAb3, N(b3,0) , 设直线 DN 解析式为 ykx+m,将 D(0,1) ,N(b3,0)代入得: 0 = ( 3) + 1 = ,解得 =13 = 1,
44、 直线 DN 解析式为 y=13x+1, 在 RtAME 中,OAC60,AMa, AE=12a,ME=32a, OE= 3 12a=232, M(;232,32a) , 将 M(;232,32a)代入 y=13x+1 得: 32a=13232+1,变形为:3ab2(a+b) , a+b=32ab, 1+1=1+1=:=32=32, 1+1为定值,是32; 当 M 在线段 AC 延长线上时,如图: 设 AMa,ANb,则 ONOAAN= 3 b, N(b3,0) , 设直线 DN 解析式为 ytx+n,将 D(0,1) ,N(b3,0)代入得: 0 = ( 3) + 1 = ,解得 =13 =
45、 1, 直线 DN 解析式为 y=13x+1, 在 RtAME 中,OAC60,AMa, AE=12a,ME=32a, OE=12a3 =232, M(;232,32a) , 将 M(;232,32a)代入 y=13x+1,得: 32a=13232+1,变形为:3ab2(a+b) , a+b=32ab, 1+1=1+1=:=32=32, 1+1为定值,是32; 综上所述,直线 l 绕点 D 旋转时,1+1为定值,该定值是32 26 【解答】解: (1)y 过 A(1,0) ,B(5,0) 把 A(1,0) ,B(5,0)代入抛物线 yax2+bx5 得0 = 50 = 25 + 5 5, 解得
46、 = 1 = 4 yx24x5; (2)当 x0 时,y5, C(0,5) , 设 P(m,m24m5) ,Q(n,0) , BC 为对角线, 则 xQxCxBxP,yQyCyByP, 解得 = 4 = 1, ( = 0 = 5舍去) , P(4,5) , CP 为对角线, 则 xQxCxPxB,yQyCyPyB, 解得 = 2 + 14 = 14 3或 = 2 14 = 3 14, P(2+14,5)或(214,5) , 综上 P(4,5)或(214,5)或(2+14,5) ; 第三种,CQ 为对角线不合要求,舍去; (3)过 H 作 HDy 轴交 BC 于 D, SBCHSCDH+SBDH
47、=12HD(xHxC)+12HD(xBxH)=12HD(xBxC)=52HD, 设 BC:ykx+b1, BC 过 B、C 点, 代入得, 5 + 1= 01= 5, = 11= 5, yx5, 设 H(h,h24h5) ,D(h,h5) , SBCH=52HD=52h5(h24h5)= 52(h52)2+1258, 当 h=52时,H(52,354)时,SBCHmax=1258 27 【解答】解: (1)yx+2,令 x0,则 y2,令 y0,则 x2, 故点 A、B 的坐标分别为(2,0) 、 (0,2) ,则 c2, 则函数表达式为:yax2+bx+2, 将点 A 坐标代入上式并整理得:
48、b2a+1; (2)当 x0 时,若 yax2+bx+c(a0)的函数值随 x 的增大而增大, 则函数对称轴 x= 20,而 b2a+1, 即2+120,解得:a 12, 故 a 的取值范围为:12a0; (3)当 a1 时,二次函数表达式为:yx2x+2, 过点 P 作直线 lAB,作 PQy 轴交 BA 于点 Q,作 PHAB 于点 H, OAOB, BAOPQH45, SPAB=12ABPH=1222 PQ22=1, 则 PQyPyQ1, 在直线 AB 下方作直线 m,使直线 m 和 l 与直线 AB 等距离, 则直线 m 与抛物线两个交点坐标,分别与点 AB 组成的三角形的面积也为 1
49、, 故:|yPyQ|1, 设点 P(x,x2x+2) ,则点 Q(x,x+2) , 即:x2x+2x21, 解得:x1 或12, 故点 P(1,2)或(1+2,2)或(12,2) 28 【解答】解: (1)把 B(2,0)代入 y= 12x2+x+c,得过且22+c0,解得 c4, 抛物线的解析式为 y= 12x2+x+4, 当 x0 时,y4, C(0,4) , 设直线 BC 的解析式为 ymx+4,则2m+40,解得 m2, 直线 BC 的解析式为 y2x+4 (2)如图 1,作 QEx 轴于点 E,交线段 AC 于点 F,作 DGQF 于点 G,设直线 l1交 x 轴于点 H 当 y0
50、时,由12x2+x+40,得 x12,x24, A(4,0) , 设直线 AC 的解析式为 yax+4,则 4a+40,解得 a1, yx+4, 设 Q(h,12h2+h+4) ,则 F(h,h+4) , QF= 12h2+h+4+h4= 12h2+2h; OAOC4,AOC90, OACOCA45, DGAB,FGOC, GDFOAC45,GFDOCA45, DGFG; OB2,OC4,BOC90, BC= 22+ 42=25, QDGQHACBO,DGQBOC90, DGQBOC, DG:GQ:QDBO:OC:CB1:2:5 GQ2DG2FG,DGFG=13QF,QD= 5DG=53QF,