1、6 6. .3.53.5 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 1(多选)设向量 a(2,0)，b(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A|a|b2 Ba b0 Cab D(ab)b 答案 AD 解析 |a|b22，故 A 正确，B，C 显然错误， ab(1，1)，所以(ab) b110， 所以(ab)b.故 D 正确 2已知向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|等于( ) A. 5 B. 10 C2 5 D10 答案 B 解析 由题意可得 a bx 11(2)x20， 解得 x2. 再由 ab(x1，1)(3，1)， 可得|ab| 10. 3已知 A(2,1)，
2、B(6，3)，C(0,5)，则ABC 的形状是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 答案 A 解析 由题设知AB(8，4)，AC(2,4)，BC(6,8)，所以AB AC28(4)40，即ABAC.所以BAC90 ，故ABC 是直角三角形 4平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ，a(2,0)，|b|1，则|a2b|等于( ) A. 3 B2 3 C4 D12 答案 B 解析 a(2,0)，|b|1， |a|2，a b21cos 60 1. |a2b|a24a b4b22 3. 5设点 A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O 为坐标原点，若四边形 OABC 是平
3、行四边形，则向量OA与OC的夹角为( ) A.3 B.4 C.6 D.2 答案 B 解析 四边形 OABC 是平行四边形， OACB，即(40,20)(a2,8a)， a6，OA(4,2)，OC(2,6)， 设向量OA与OC的夹角为 ， cos OA OC|OA|OC|42264222 226222， 又 (0，)，OA与OC的夹角为4. 6已知 a(1,1)，b(1,2)，则 a (a2b)_. 答案 4 解析 a2b(1,5)，a (a2b)4. 7设向量 a(1,0)，b(1，m)若 a(mab)，则 m_. 答案 1 解析 由题意得 mab(m1，m)， 根据向量垂直的充要条件可得 1
4、(m1)0(m)0， 所以 m1. 8设向量 a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_，|ab|_. 答案 2 10 解析 由|ab|2|a|2|b|2，得 a b0， 即 m20，解得 m2. 所以 ab(1,3)， 所以|ab| 10. 9已知向量 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，1) (1)若|c|3 2，且 ca，求向量 c 的坐标； (2)若 b 是单位向量，且 a(a2b)，求 a 与 b 的夹角 . 解 (1)设 c(x，y)，由|c|3 2，ca 可得 yx0，x2y218，所以 x3，y3或 x3，y3， 故 c(3,3)或 c(3
5、，3) (2)因为|a| 2，且 a(a2b)，所以 a (a2b)0， 即 a22a b0，所以 a b1， 故 cos a b|a| |b|22， 因为 0， 所以 4. 10已知向量 a(1， 3)，b(2,0) (1)求 ab 的坐标以及 ab 与 a 之间的夹角； (2)当 t1,1时，求|atb|的取值范围 解 (1)因为向量 a(1， 3)，b(2,0)， 所以 ab(1， 3)(2,0)(3， 3)， 设 ab 与 a 之间的夹角为 ， 所以 cos ab a|ab| |a|64 332. 因为 0，所以向量 ab 与 a 的夹角为6. (2)|atb|2a22ta bt2b2
6、4t24t44t1223.易知当 t1,1时，|atb|23,12，所以|atb|的取值范围是 3，2 3 11已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 等于( ) A4 B3 C2 D1 答案 B 解析 由 mn(23,3)，mn(1，1)， (mn)(mn)， 可得(mn) (mn)(23,3) (1，1)260，解得 3. 12 (多选)在ABC 中， AB(2,3)， AC(1， k)， 若ABC 是直角三角形， 则 k 的值可能为( ) A23 B.113 C.3 132 D.23 答案 ABC 解析 AB(2,3)，AC(1，k)， BCACAB(1，k3) 若
7、A90 ，则AB AC213k0，k23； 若B90 ，则AB BC2(1)3(k3)0， k113； 若C90 ，则AC BC1(1)k(k3)0， k3 132. 故所求 k 的值为23或113或3 132. 13已知 O 为坐标原点，向量OA(2,2)，OB(4,1)，在 x 轴上有一点 P 使得AP BP有最小值，则点 P 的坐标是( ) A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0) 答案 C 解析 设点 P 的坐标为(x,0)，则AP(x2，2)， BP(x4，1) AP BP(x2)(x4)(2)(1) x26x10(x3)21， 所以当 x3 时，AP BP有最小值 1
8、. 此时点 P 的坐标为(3,0) 14.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 在边 CD 上，且DE2EC，则AE BE的值是_ 答案 329 解析 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴、 AD 所在直线为 y 轴建立如图所示平面直角坐标系 AB 2，BC2， A(0,0)，B( 2，0)，C( 2，2)，D(0,2)， 点 E 在边 CD 上，且DE2EC， E2 23，2 .AE2 23，2 ，BE23，2 ， AE BE494329. 15已知 A，B，C 是锐角三角形 ABC 的三个内角，向量 p(sin A，1)，q(1，cos B)，则 p 与 q 的夹
9、角是( ) A锐角 B钝角 C直角 D不确定 答案 A 解析 因为ABC 是锐角三角形，所以 AB2， 即2A2B0， 又因为函数 ysin x 在0，2上单调递增， 所以 sin Asin2B cos B， 所以 p qsin Acos B0， 设 p 与 q 的夹角为 ，所以 cos p q|p|q|0， 又因为 p 与 q 不共线，所以 p 与 q 的夹角是锐角 16已知向量AB(6,1)，BC(x，y)，CD(2，3) (1)BCDA，求 x 与 y 之间的关系式； (2)在(1)的条件下，若ACBD，求 x，y 的值及四边形 ABCD 的面积 解 (1)ADABBCCD(x4，y2)， DAAD(x4,2y) 又BCDA，且BC(x，y)，x(2y)y(x4)0， 即 x2y0. (2)ACABBC(x6，y1)，BDBCCD(x2，y3)ACBD，AC BD0， 即(x6)(x2)(y1)(y3)0. 由(1)知 x2y0，与上式联立，化简得 y22y30， 解得 y3 或 y1. 当 y3 时，x6， 此时AC(0,4)，BD(8,0)； 当 y1 时，x2，此时AC(8,0)，BD(0，4)； S四边形ABCD12|AC| |BD|16.
