1、专题专题 9 四边形四边形 一选择题(共一选择题(共 9 小题)小题) 1 (2021新都区模拟)下列性质中,平行四边形,矩形,菱形,正方形共有的性质是( ) A对角线相等 B对角线互相垂直 C对角线互相平分 D对角线平分内角 2 (2021成都模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点,过点 D 作 DFDE 交 BC 的延长线于点 F,连接 EF,若 AE1,则 EF 的值为( ) A3 B10 C23 D4 3 (2021温江区模拟)如图,在直角坐标系中,已知菱形 OABC 的顶点 A(1,2) ,B(3,3) 作菱形 OABC关于 x 轴的对称图形 OABC,则点 A 的对
2、应点 A的坐标是( ) A (2,1) B (1,2) C (3,3) D (2,1) 4 (2021双流区模拟)如图,在ABCD 中,AB4,BAD 的平分线交 DC 于点 E,且点 E 恰好是 DC 的中点,过点 D 作 DFAE,垂足为 F若 AE23,则 DF 的长为( ) A3 B2 C1 D32 5 (2021都江堰市模拟) 如图, 在正方形点阵中, 相邻的四个点构成正方形 图中线段的端点都在点阵上,则图中与 相等的角有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 (2020简阳市 一模)下列说法错误的是( ) A对角线相等的四边形是矩形 B平行四边形的对边相等 C对角线互相
3、垂直的平行四边形是菱形 D正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 7 (2020都江堰市模拟)菱形不具备的性质是( ) A对角线一定相等 B对角线互相垂直 C是轴对称图形 D是中心对称图形 8 (2020锦江区模拟)如图,在正方形 ABCD 中,AB1,将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 60,得正方形 ABCD,则线段 AC 扫过的面积为( ) A26 B23 C13 D23 9 (2020锦江区校级模拟)如图,延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E,使 CECA,连接 AE,如果ACB38,则E 的值是( ) A18 B19 C20 D40 二填空题(共二填空题(共 10 小题)小
4、题) 10 (2021金牛区模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AB12,BC16,AC 与 BD 相交于 O,E 为 DC 上的一点,过点 O 作 OFOE 交 BC 于 F,记 d= 2+ 2,则 d 的最小值为 11 (2021锦江区校级模拟)正方形 ABCD 的边长为 4,F 是 AD 上的动点,将FCD 沿着 CF 折叠,当AEF 是等腰三角形,DF 12 (2021成都模拟)如图,面积为 4 的平行四边形 ABCD 中,AB4,过点 B 作 CD 边的垂线,垂足为点E,点 E 正好是 CD 的中点,点 M、点 N 分别是 AB、AC上的动点,MN 的延长线交线段 DE 于点 P,若点
5、 P 是唯一使得线段MPB45的点,则线段 BM 长 x 的取值范围是 13 (2021温江区模拟)如图,矩形 ABCD 中,AB6,AD3,E 为 AB 的中点,F 为 EC 上一动点,P 为DF 中点,连接 PB,则 PB 的最大值是 14 (2021金堂县模拟)边长为 4 的正方形 ABCD 中,E、F、G 分别为 AB、CD、AD 上的中点,连接 EF、CG 交于点 N,以点 C 为圆心,CB 为半径的弧交 EF 于点 M,则 MN 15 (2021都江堰市模拟)如图,在正五边形 ABCDE 中,DF 是边 CD 的延长线,连接 BD,则BDF 的度数是 度 16 (2021金牛区模拟
6、)如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中,AC 为其对角线,ABC60,点 M、N 分别是边 BC、CD 上的动点,且 MBNC连接 AM、AN、MN,MN 交 AC 于点 P则点 P 到直线 CD 的距离的最大值为 17 (2021青羊区校级模拟)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,过点 O 作 BD 的垂线分别交AD,BC 于 E,F 两点若 AC43,AEO120,则 FC 的长度为 18 (2021郫都区模拟)如图,已知正方形 ABCD 中,两动点 M 和 N 分别从顶点 B、C 同时出发,以相同的速度沿 BC、CD 向终点 C、D 运动,连接 AM、BN,交
7、于点 P,再连接 PC,若 AB4,则 PC 长的最小值为 19 (2021成都模拟)如图,矩形 ABCD 的对角线交于点 O,AB8,AD4,点 E 在 AB 边上,若 EOBD 于点 O,则 DE 的长是 三解答题(共三解答题(共 11 小题)小题) 20 (2021成都模拟)正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 上的动点,且 BECF,AE 与 BF 交于点 G (1)如图 1,若 AB3,BECF1,求 EG; (2) 如图 2, 在 GF 上截取 GMGB, MAD 的平分线交 BF 于点 N, 连接 CN, 求证: AN+CN= 2BN (3)如图 3,若 AB22,在
8、 AG 上截取 GPGB,点 Q、R 分别是 AD、BD 上的动点,直接写出PQR的周长的最小值 21 (2021龙泉驿区模拟)已知矩形 ABCD,点 E 为 AB 边上的动点(点 E 不与点 AB 重合) ,连接 DE,作 EFDE 交射线 DC 于 F,交 BC 于 G,连接 CE,BF (1)如图 1,若点 F 与点 C 重合,求证:AD2AEBE; (2)如图 2,当 AB16,AD8,且 BFCE 时,求 AE 的长; (3)如图 3当 BE3AE,且CBFDCE 时,求的值 22 (2021温江区模拟)如图 1,已知点 O 在四边形 ABCD 的边 AB 上,且 OAOBOCOD3
9、,OC 平分BOD,与 BD 交于点 G,AC 分别与 BD、OD 交于点 E、F (1)求证:OCAD; (2)如图 2,若 DEDF,求的值; (3)当四边形 ABCD 的周长取最大值时,求的值 23 (2021金堂县模拟)如图 1,在矩形 ABCD 中,AB4,BC3,BD 为对角线,将ABD 沿过点 D 的某条直线折叠得到FED,直线 EF 分别与线段 AB、BD 交于点 G、H (1)求证:BGEG; (2)如图 2,当点 E、H、C 三点共线时,请求 SDFH的值 (3)若DEH 是等腰三角形,求 tanDEB 的值 24 (2021锦江区模拟)如图,AC 是正方形 ABCD 的对
10、角线,E 为边 BC 上一点,过点 E 作 EGAC 交 AC于 P,交 CD 于 G,连接 DP 并延长交 BC 于点 F (1)求证:PEPG; (2)若 BEFC,求EPF 的大小; (3)若 BC6,EF1,求PEF 的面积 25 (2021都江堰市模拟)如图,已知菱形 ABCD,B90,点 E 为边 BC 上一点,连接 AE,过点 E作 EFAE,EF 与边 CD 交于点 F,且 EC3CF (1)如图,当B90时,SABE:SECF等于 ; (2)如图,当点 E 是边 BC 的中点时,求 cosB 的值; (3)如图,连接 AF,当AFEB 且 CF2 时,求菱形的边长 (直接写出
11、结果) 26 (2021青羊区校级模拟) (1)证明推断:如图(1) ,在正方形 ABCD 中,点 E,Q 分别在边 BC,AB上,DQAE 于点 O,点 G,F 分别在边 CD,AB 上,GFAE求证:AEFG; (2)类比探究:如图(2) ,在矩形 ABCD 中,=k(k 为常数) 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠,使点 A落在 BC 边上的点 E 处,得到四边形 FEPG,EP 交 CD 于点 H,连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与AE 之间的数量关系,并说明理由; (3)拓展应用:在(2)的条件下,连接 CP,当时 k=34,若 tanCGP=43,GF25,求 CP 的长
12、 27 (2021新都区模拟)将矩形 ABCD 折叠,使得点 C 落在边 AB 上,折痕为 EF, (1)如图 1,当点 C 与点 A 重合时,若 AB4,BF3,求 AE 的长; (2)如图 2,点 C 落在 AB 边的点 M 处(不与 A,B 重合) ,若 AB4,AD8, 取 EF 的中点 O,连接并延长 MO 与 DE 的延长线交于点 P,连接 PF,ME求证:四边形 MFPE 是平行四边形; 设 BMt, 用含有 t 的式子表示四边形 ABFE 的面积, 并求四边形 ABFE 的面积的最大值及此时 t 的值 28 (2021锦江区校级模拟)如图,正方形 ABCD 边长为 a,正方形
13、CEFG 边长为 b, (1)如图 1,若点 F 在线段 BC 上移动,且不与 B、C 两点重合,连接 AF、AE、DE,点 M、K、L 分别为 AF、AE、DE 中点 求证:ML12(a+b) ; 求线段 ML 与线段 ED 的关系; (2)若点 F 从点 C 出发,沿边 CBBA 向终点 A 运动,整个运动过程中,求点 E 所经过的路径长(用含 a 的代数式表示) 29 (2021温江区校级模拟)如图 1,正方形 ABCD 的边长为 5,点 E、F 分别是边 BC、AB 上一点,且四边形 BEGF 为边长为 2 的正方形,连接 DG (1)在图 1 中,求的值; (2) 将图 1 中的正方
14、形 BEGF 绕点 B 旋转一周, 探究的值是否变化?若不变, 请利用图 2 求出该值;若变化请说明理由; (3)当正方形 BEGF 旋转至 D,G,E 三点共线时,求 CE 的长 30(2021成华区模拟) 将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转 (090) 至 AB, 连接 BB,过点 D 作直线 BB的垂线,垂足为点 E,连接 DB,CE (1)求证:DEB是等腰直角三角形; (2)求的值; (3)连接 CB,当四边形 CEDB是平行四边形时,请直接写出的值及 sin 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 9 小题)小题) 1 【解答】解:平
15、行四边形的对角线互相平分, 矩形,菱形,正方形的对角线也必然互相平分 故选:C 2 【解答】解:四边形 ABCD 是正方形, ABCDADC90,ADCDABBC, DCFDCBA90, DFDE, EDF90, CDF+EDC90, ADE+EDC90, CDFADE, 在ADE 与CDF 中, = = = , ADECDF(ASA) , CFAE1, E 为 AB 的中点,AE1, BEAE1,BCAB2AE2, BFBC+CF2+13, 在 RtBEF 中,根据勾股定理得: EF= 2+ 2= 12+ 32= 10, 故选:B 3 【解答】解:由题可得,点 A 的坐标为(1,2) , 点
16、 A 关于 x 轴的对称点 A的坐标是(1,2) , 故选:B 4 【解答】解:AB4,点 E 是 DC 的中点, DEEC2, AE 为DAB 的平分线, DAEBAE, DCAB, BAEDEA, DAEDEA, ADED2, DFAE, AFEF=12AE= 3, DF= 2 2= 4 3 =1, 故选:C 5 【解答】解:如图,由题意得,ABDE, AOD,BOC, 图中与 相等的角有 2 个, 故选:B 6 【解答】解:A对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项错误; B平行四边形的对边相等,故本选项正确; C对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故本选项正确; D正方形既是轴对称图形、又
17、是中心对称图形,故本选项正确; 故选:A 7 【解答】解:根据菱形的性质可知: 菱形的对角线互相垂直平分; 菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形 矩形的对角线相等,而菱形不具备对角线一定相等 故选:A 8 【解答】解:正方形 ABCD 中,ABBC1,B90, AC= 2+ 2= 2, 正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 60,得正方形 ABCD, CAC60, 线段 AC 扫过的面积为扇形 CAC的面积: 60(2)2360=13 故选:C 9 【解答】解:CECA, ECAE, ACBE+CAE2E, E19 故选:B 二填空题(共二填空题(共 10 小题)小题) 10 【解答】解:延
18、长 EO 交 AB 于 G,连接 GF, 四边形 ABCD 是矩形, OBOD,ABCD, OBGODE, 在DOE 与BOG 中, = = = , DOEBOG(ASA) , BGDE, d= 2+ 2= 2+ 2=FG, 过 O 点作 OHAB 于 H,OIBC 于 I, 四边形 HBIO 是矩形, OHGOIBHOI90, OIF90OHG, EOF90, GOF1809090, HOGIOF, OHGOIF, =, O 为 AC 的中点,HOBC, HO=12BC, 同理 IO=12AB, AB12,BC16, =34, 设 BGx,则 HG6x, IF=9234x, BF8+9234
19、x=25234x, d=2+ (25234)2=2516( 6)2+ 100, 0 x6, 当 x6 时,d 最小为 10, 故答案为:10 11 【解答】解:当AEF 是等腰三角形时,此题有三种情况: 如图 1,当 AFEF 时, 由折叠得:EFDF, AFDF, 又正方形 ABCD 的边长为 4, DF=12AD2; 如图 2,当 AEEF 时,过点 E 作 MNAD 于 M,交 BC 于点 N, AMFM,AEMFEM 四边形 ABCD 为正方形, DAC45, AME 是等腰直角三角形, AMEM, 设 DFa,则 FMAMEM=12(4a) , 由折叠得 EFDFa, 在 RtEFM
20、 中,由勾股定理得:EF2EM2+FM2, (42)2+ (42)2=a2, 解得:a142 4(不符题意,舍去) ,a242 4, DF42 4; 当 AFAE 时,作 AKEF 于 K,交 CF 于 G,作 GHAD 于 H,过点 E 作 MNAD 于 M,交 BC 于N, 设 DFEF2a,则 AF42a, AFAE, FKEKa, CEEF,AKEF, KGCE, =12, KG=12CE2,FG=12CF, GHAD, FHG90D, GHCD, =12, GH=12CD2,FHDHa, AH4a, tanFAK=, =24;, AK=(4)2, sinEFM=, 2=(4)24;2
21、, EM=2(4)42, CEN+FEM90EFM+FEM, CENEFM, CEN+ECN90,EFM+FAK90, ECNFAK, sinECNsinFAK, =, 4=4;2, EN=22, EM+EN4, 2(4;)4;2+22;=4, 整理得:a34a212a+160, (a+2) (a24a8)0, a12,a22+23,a3223(均不符合题意,舍去) , 综上所述,DF2 或 42 4, 故答案为:2 或 42 4 12 【解答】解:平行四边形 ABCD 的面积为 4,AB4,BECD, BE1, 点 P 是唯一使得线段MPB45的点, 则可看成弦 MB 所对的圆周角MPB45
22、, 设MBP 外接圆的圆心为 O, 则MOB90, =22, CD 与 AB 之间的距离为 1, 12 +22 1, x 22 2, 又MB4, 22 2 4 故答案为:22 2x4 13 【解答】解:如图,取 CD 中点 H,连接 AH,BH,设 AH 与 DE 的交点为 O,连接 BO, 四边形 ABCD 是矩形, ABCD6,ADBC3,CDAB, 点 E 是 AB 中点,点 H 是 CD 中点, CHAEDHBE3, 四边形 AECH 是平行四边形, AHCE, 点 P 是 DF 的中点,点 H 是 CD 的中点, PHEC, 点 P 在 AH 上, ADDHCHBC3, DHADAH
23、CBHCHB45,AHBH32, AHB90, ADAE3, ADE45HDE, AOOH=322, 当点 F 与点 E 重合时,此时点 P 与点 O 重合,BP 有最大值, BP= 2+ 2=18 +184=3102, 故答案为:3102 14 【解答】解:E、F、G 分别为 AB、CD、AD 上的中点, EFAD, FN 是CGD 的中位线, FN=12 =1, 又CM4,FC2, MF= 2 2= 42 22=23, MNMFFN23 1 故答案为:23 1 15 【解答】解:五边形 ABCDE 是正五边形, C=180(52)5=108,BCDC, BDCDBC=12(180C)=12
24、(180108)36, BDF180BDC18036144, 故答案为:144 16 【解答】解:ABC60,ABBC, ABC 为等边三角形,ACBACD60, 在ABM 和ACN 中, = = = , ABMACN(SAS) , AMAN, AMN 为等边三角形, BACBAMP60, BAM+BMABMA+CMP18060120, BAMCMP,BMACPM, BAMCMP, =, 设 BM 长为 x,则 CM6x, 6=6;, 6CPx(6x)(x3)2+9, 当 x3 时 CP 最长, 即当 AM 垂直于 BC 时,等边三角形边长最小,此时 CP 最长,满足条件,作 PECD 于点
25、E ABAC,AMBC, BMMC3,CMP30,CPM90, PC=12MC=32, 在 RtPCE 中, CPE30,PC=32, EC=12PC=34, PE= 2 2=334, 故答案为:334 17 【解答】解:矩形 ABCD,AC43, OAOCOBOD23,ADBC,ADCBCD90,BDAC43, AEO120, DEO180AEO60, BFODEO60, EFBD, DOEBOF90, =sinBFO, BF=2360=4, CBD90BFO30, =cosCBDcos30, BCBDcos3043 32=6, FCBCBF642 故答案为:2 18 【解答】解:由题意得:
26、BMCN, 四边形 ABCD 是正方形, ABMBCN90,ABBC4, 在ABM 和BCN 中, = = = , ABMBCN(SAS) , BAMCBN, ABP+CBN90, ABP+BAM90, APB90, 点 P 在以 AB 为直径的圆上运动,设圆心为 O,运动路径一条弧,是这个圆的14,如图所示: 连接 OC 交圆 O 于 P,此时 PC 最小, AB4, OPOB2, 由勾股定理得:OC= 22+ 42=25, PCOCOP25 2; 故答案为:25 2 19 【解答】解:四边形 ABCD 是矩形, ODOB, EOBD, DEBE, 设 DEBEx, AE8x, 在 RtAE
27、D 中,AE2+AD2ED2, 42+(8x)2x2, 解得:x5, 故答案为:5 三解答题(共三解答题(共 11 小题)小题) 20 【解答】 (1)解:四边形 ABCD 为正方形, ABCB,ABCBCD90, BECF, CFBBEA(SAS) , BEABFC, 在 RtABE 中,AE= 2+ 2= 32+ 12= 10, AEBF= 10, FBC+BFC90, FBC+BEGFBC+BFC90, BGE90, AEBF, FBCFBC,BGEBCF90, BGEBCF, =,即1=110, EG=1010; (2)证明:如图 2,过 B 作 BHBN,与 NA 交于点 H, 四边
28、形 ABCD 为正方形, ABBC,ABCHBN90, HBANBC, 由(1)得:AEBF HBAE, HEAN, BGMG,则 AE 是 BM 的垂直平分线, ABAM,则BAGMAG, AN 平分DAM, DANMAN, EAM+MANEAN45H, BNH45H, BHBN,HN= 2BN, ABHCBN(SAS) , AHCN, AN+CNAH+ANHN= 2BN; (3)解:如图 3,作 P 关于 AD 的对称点 P,作 P 点关于 BD 的对称点 P,连接 PP,DP,DP,DP,PP,BP,CG,PP,QP,RP, 由对称性可得:QPQP,RPRP, PQR 的周长PQ+PR+
29、QRQP+QR+RPPP时PQR 的周长最短, 同理由对称性可得:PDP2(ADP+BDP)2ADB90,DPDPDP, DPP是等腰直角三角形, PP= 2DP, GPGB,AEBF, PBG45,=2, 四边形 ABCD 为正方形, DBC45,=2, PBDGBC,=, BPDBGC, =2, PD= 2CG, PP= 2 2CG2CG, AGB90取 AB 的中点 O,连接 OG, G 在以 AB 为直径的圆上运动, 当 C,G,O 三点共线时,CG 最短, 此时:AOBOOG= 2,BCAB22, CO= 2+ 2= 10, CG= 10 2, PP2CG210 22, PQR 的周
30、长的最小值为210 22 21 【解答】 (1)证明:EFDE, DEF90,AED+BEC90, 四边形 ABCD 是矩形, AB90,AED+ADE90,ADBC, ADEBEC, ADEBEC, =, ADBCAEBE, ADBC, AD2AEBE; (2)解:四边形 ABCD 是矩形, AABC90,AED+ADE90,ABCD, BFCE, 四边形 EBFC 是平行四边形, GB=12BC4, EFDE, DEF90,AED+BEG90, ADEBEG, ADEBEG, =,即4=816;, 解得:AE842; (3)过点 F 作 FMAB 交 AB 的延长线于点 M, 矩形 ABC
31、D 中,ABCD, DCECEB, DCECBF, CEBCBF, 又EBCBCF90, CBEFCB, =, CFBM, BC2BEBM, 由(1)可知ADEMEF, =, BC2AEEMAE (BE+BM) , BEBMAE (BE+BM) , 设 AEx,BE3x, 3xBM3x2+xBM, BM=32x, BC23x32x, BC=322x, AB4x, =4322=432 22 【解答】 (1)证明:AOOD, OADADO, OC 平分BOD, DOCCOB, 又DOC+COBOAD+ADO, ADODOC, COAD; (2)解:如图 1, OAOBOD, ADB90, 设DAC
32、,则ACODAC OAOD,DAOC, ODAOAD2, DFE3, DFDE, DEFDFE3, 490, 22.5, DAO45, AOD 和ABD 为等腰直角三角形, AD= 2AO, =2, DEDF, DFEDEF, DFEAFO, AFOAED, 又ADEAOF90, ADEAOF, =2; (3)解:如图 2, ODOB,BOCDOC, BOCDOC(SAS) , BCCD, 设 BCCDx,CGm,则 OG3m, OB2OG2BC2CG2, 9(3m)2x2m2, 解得:m=16x2, OG316x2, ODOB,DOGBOG, G 为 BD 的中点, 又O 为 AB 的中点,
33、 AD2OG613x2, 四边形 ABCD 的周长为 2BC+AD+AB2x+613x2+6= 13x2+2x+12= 13(x3)2+15, 130, x3 时,四边形 ABCD 的周长有最大值为 15 BC3, BCO 为等边三角形, BOC60, OCAD, DAOCOB60, ADFDOC60,DAE30, AFD90, =33,DF=12DA, =233 23 【解答】解: (1)证明:如图 1,连接 BE. 由折叠,得 BDED,DBADEF, DBEDEB,DBEDBADEBDEF, GBEGEB, BGEG (2)如图 2,在矩形 ABCD 中,GBC90 由折叠,得EFDA9
34、0,DFDACB3, E、H、C 三点共线, CFD180EFD90GBC, CDAB, FCDBGC, FCDBGC(AAS) , GCCDAB4, GBCF= 42 32= 7; CDGB, CDHGBH, 4;=47, 解得 CH=641679, FH= 7 641679=257649, SDFH=123=257649=257646 (3)如图 3,EF 的延长线交 BD 于点 H,DEHE 延长 BA 交 DE 于点 M,作 BNDE 于点 N,则BNEBND90 由折叠,得 MBHE,DEBD= 32+ 42=5, MBBD5,AM541, DAN90, DM= 12+ 32= 10
35、,MNDN=12DM=102, EN5102,BN=52 (102)2=3102, tanDEB=31025102=10+13; 如图 4,EF 交 BD 于点 H,DHEH 作 BQDE 于点 Q,则DQBBQE90 由折叠,得FEDABD,DEBD5, FEDQDB, QDBABD, 又DQBA90,BDDB, DQBBAD, QDAB4,QBAD3, QE541, tanDEB=31=3; 如图 5,当点 F 与点 A 重合时,则点 G 也与点 A 重合,点 H 与点 B 重合, 此时点 E、A、B 在同一条直线上, DAE90,AEAB4,AD3, tanDEB=34 综上所述,tan
36、DEB 的值为10:13或 3 或34 24 【解答】解: (1)证明:EGAC 于 P, EPCGPC90, 在正方形 ABCD 中,ACBDCA45, PECPCE45,PGCPCG45, PEPC,PGPC, PEPG (2)过点 P 作 PMPF 交 CD 于点 M, FPMEPC90 EPFCPM, 在EPF 和CPM 中, = = = , EPFCPM(ASA) , EFCM, GECEGC45, CECG, BCDC,EFCM, BEDG,FCMG, BECF, DGMG, DPM90, PG=12MDDG, DPGPDG=12PGM22.5, EPF22.5 (3)过点 G 作
37、 GHBC 交 DF 于点 H, HGPFEP,DHGDFC, 在GHP 和EFP 中, = = = , GHPEFP(ASA) , HGEF1, HDGFDC,DHGDFC, HDGFDC, =, 设 BEx,则 FC5x,DGBEx, 则15;=6, 解得:x12,x23, 经检验,2 和 3 均是原方程的根 CE4 或 3, 过点 P 作 PNBC 于点 N, EPCP,CPE90, 点 N 为 EC 中点, PN=12EC, PN2 或32, SPEF1 或34 25 【解答】解: (1)四边形 ABCD 是菱形,B90, 四边形 ABCD 是正方形, BC90, EFAE, AEB+
38、CEFAEB+BAE90, BAECEF, ABECEF, =, EC3CF, 设 CFx,ABa,则 EC3x,BEa3x, ;3=3, 解得,a4.5x, =()2(4.53)2=94 故答案为:94 (2)过点 A 作 AMBC 于点 M,过点 F 用 FNBC 于点 H,如图 2, 则AMECNF90, 四边形 ABCD 是菱形, ABBC,ABCD, BFCN, 设 CFx,则 CE3x, E 是 BC 的中点, BECE3x,ABBC2CE6x, BMABcosB6xcosB,AMABsinB6xsinB,CNCFcosFCNxcosB,FNCFsinFCNxsinB, MEBEB
39、M3x6xcosB,ENEC+CN3x+xcosB, AEF90, AEM+NEFAEM+MAE90, MAENEF, AMEENF, =, 即63:=3;6,即23:=1;2, 整理得,2sin2B35cosB2cos2B, 235cosB, cosB=15 (3)过点 A 作 AMBC 于点 M,过点 F 用 FNBC 于点 H,如图 3, 则AMECNF90, 四边形 ABCD 是菱形, ABBC,ABCD, BFCN, AEF90, AEM+NEFAEM+MAE90, MAENEF, AMEENF, =, AFEB, tanB=,tanAFE=, =, =, BMEN, 设菱形 ABC
40、D 的边长为 a,则 ABBCa, BMacosB,CNCFcosFCNCFcosB, acosBEC+CFcosB, CF2,EC3CF, EC6, acosB6+2cosB, cosB=62, =, AMABsinBasinB,EN6+2cosB,MEaacosB6,NFCFsinFCN2sinB, 6:2=;62, 化简得,2a(sin2B+cos2B)6a4acosB12cosB36, 2a6a4acosB12cosB36, aacosB3cosB90, cosB=62, a6218290, 解得,a17,或 a0(舍) , 菱形的边长为 17 26 【解答】解: (1)四边形 ABC
41、D 是正方形, ABDA,ABE90DAQ, QAO+OAD90, AEDQ, ADO+OAD90, QAOADO, ABEDAQ(ASA) , AEDQ, DQAE,GFAE, DQGF, FQDG, 四边形 DQFG 是平行四边形, GFDQ, AEDQ, AEFG; (2)结论:=k理由如下: 如图 2 中,过 G 作 GMAB 于 M, AEGF, AOFGMFABE90, BAE+AFO90,AFO+FGM90, BAEFGM, ABEGMF, =, AMGDDAM90, 四边形 AMGD 是矩形, GMAD, =k; (3)解:如图 3 中,过点 P 作 PMBC 交 BC 的延长
42、线于 M FBGC,FEGP, CGPBFE, tanCGPtanBFE=43=, 可以假设 BE4k,BF3k,EFAF5k, =34,FG25, AE=853, (4k)2+(8k)2(853)2, k=23或23(舍弃) , BE=83,AB=163,EFAF=103,BF2, BC:AB3:4, BC4, CEBCBE483=43,ADPEBC4, EBFFEPPME90, FEBEPM, FEBEPM, =, 1034=2=83, EM=125,PM=165, CMEMCE=12543=1615, CP= 2+ 2=(1615)2+ (165)2=161015 27 【解答】解: (
43、1)如图 1,矩形 ABCD 沿 EF 折叠, AFEEFC, ADBC, AEFEFCAFE, AEAF, 在 RtABF 中,AB4,BF3,则 AF5AE, 即 AE5; (2)DEMF,即 DPMF, EPMPMF, MOFPOE,OEOF, EOPFOM(AAS) , EMOFPO, MFEP, 四边形 MFPE 是平行四边形; ABEF 为梯形,点 C 在 M 处, 则 MFCF, 则 BF2MF2t2(8BF)2t2, 解得 BF4116t2, 则 ME2AE2+(4t)2MD2+DE242+(ADAE)242+(8AE)2, 即 AE2+(4t)242+(8AE)2, 解得 A
44、E= 116t2+12t+4, S梯形ABFE=12(AE+BF)AB=12(4116t2116t2+12t+4)= 14t2+t+16, 140,故四边形 ABFE 的面积存在最大值, 当 t2 时,四边形 ABFE 的面积的最大值为 17 28 【解答】解: (1)如图 1,连接 MK,KL, M、K 分别是 AF,AE 的中点, MK=12EF, K、L 分别是 AE、DE 的中点, KL=12AD, MK+KLML(三角形两边之和大于第三边) ,正方形 ABCD 边长为 a,正方形 CEFG 边长为 b, ML12(a+b) ; (2)作 LQCE 交 CD 于 Q, KL 为ADE
45、的中位线, KL=12AD, LQCE, =1,即 DQ=12, ADCD, KLDQ, MK 是AEF 的中位线,LQ 是DEC 的中位线, MK=12,LQ=12, MKLQ, ECDLQD90+45135,MKAFEA,APCAKC, FPE+FEDMKL18045135ECD, 在MKL 和LQD 中, = = = , MKLLQD(SAS) , MLDL=12ED; (2)在 F 运动过程中,点 E 的轨迹是 CPB,CPB 为以 P 为顶点的等腰直角三角形, CP+PB= 2BC= 2a, 当点 F 在 CB 上时,如图中正方形 F1E1CG1, 四边形 F1E1CG1为正方形,C
46、F1为对角线, F1CE145, BPC 为等腰直角三角形, BCP45, E1在 CP 上运动,当点 F1到达点 B 时,E1与点 P 重合; 当点 F 在 BA 上时,如图中正方形 F2E2CG2, 连接 E2P, 由得,F2CE245,BCP45, F2CBE2CP, 2= 22, = 2, CF2BCE2P, CPE2CBF290, E2在 BP 上,当 F2到达 A 时,E2与 B 重合; 综上所述,点 E 的轨迹在 CPB 上,轨迹长度为2a 29 【解答】解: (1)延长 EG 交 AD 于 H, 四边形 ABCD,四边形 BEGF 为正方形, ABBCCDAD5,BEEGGFF
47、B2,ABEG,ADBCFG, AHBE2,DHCEBCBE3,GHAFABBF3,GHAD, 在 RtDGH 中,GD= 2+ 2= 32+ 32= 32, =332=22; (2)连接 BD,BG, 四边形 ABCD,四边形 BEGF 为正方形, DBCDBA45,GBE45,BD52,BG22, DBC+EBDGBE+EBD,即CBEDBG, BC5,BE2, =552=22,=222=22, =, CBEDBG, =22, 即的值不变,=22; (3)分两种情况: 当点 G 落在 DE 的延长线上时,连接 BD, 在 RtBED 中,BE2,BD52, DE= 2 2= 46, DGD
48、E+EG= 46 +2, 由(2)得=22, EC=22DG=22(46 +2)= 23 + 2; 当点 G 落在 DE 上时, 同法可得 DGDEEG= 46 2, 由(2)得=22, EC=22DG=22(46 2)= 23 2 综上,当正方形 BEGF 旋转至 D,G,E 三点共线时,CE 的长为23 + 2或23 2 30 【解答】 (1)证明:如图 1, AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB, ABABAD, ABBABB,ADBABD, 2ABB+BAB180,2DBA+DAB180,BAB+DAB90, ABB+ABD135 DBE18013545, DEBE, BDE904545
49、, DEB是等腰直角三角形 (2)解:四边形 ABCD 是正方形, BDC45, =2, 同理=2, =, BDB+BDC45,EDC+BDC45, BDBEDC, BDBCDE, =2 (3)如图 3,过点 B作 BMAB 于 M,BNBC 于 N 由(1)可知BED 是等腰直角三角形, BD= 2BE, 由BDBCDE,且 BB= 2CE =:=+1=2+1=2+1= 2 2 +13, 设 DECBa,则 BB2a, DECB, DEBEBCBBC90, ABBCAB= 5a, BNBC, BN=255a, BN= 2 2=455a, BMAB, BMBMBNBNB90, 四边形 BMBN 是矩形, MBBN=455a, sin=4555=45