1、8.2 立体图形的直观图 能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图 【课程标准】 知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 【新知初探】 知识点二 立体图形直观图的画法 用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只多了一个 z 轴，其直观图中对应于 z 轴的是_，平面_表示水平平面，平面 yOz和 xOz表示_已知图形中平行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段，其_都不变 z轴 xOy 竖直平面 平行性和长度 状元随笔 1.画水平放置的平面图形的直观图， 关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次
2、连接即可 2用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画 45 (或 135 ) 教材解难 1对斜二测的理解 (1)斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，光线来源于几何体的左、前、上方，或右、前、上方 (2)“斜”：把直角坐标系 xOy 变为斜坐标系 xOy，使xOy45 (或 135 )，即 y轴是斜的，反映投影线是斜的 (3)“二测”：平行于 x 轴、z 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度” 2斜二测画法中的“三变”与“三不变” 三变：坐标轴的夹角改变；与 y 轴平行的线段长度改变；图形改变；三不变：平行性不变；与 x 轴、z 轴平行的线段的
3、长度不变；相对位置不改变 1水平放置的梯形的直观图是( ) A梯形 B矩形 C三角形 D任意四边形 解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选 A. 答案：A 【基础自测】 2利用斜二测画法可以得到： 水平放置的三角形的直观图是三角形； 水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形； 水平放置的正方形的直观图是正方形； 水平放置的菱形的直观图是菱形 以上结论正确的是( ) A B C D 解析：根据斜二测画法的规则可知正确；对于，只有平行于 x 轴的线段长度不变，所以不正确 答案：A 3如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6 cm，OC2 cm，则原图形是( ) A正
4、方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形 解析：如图，在原图形 OABC 中， 应有 OD2OD2 2 24 2(cm)，CDCD2 cm， 所以 OC OD2CD2 （4 2）2226 (cm)， 所以 OAOC，故四边形 OABC 是菱形，故选 C. 答案：C 4水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知 AC3，BC2，则 AB 边上的中线的实际长度为_ 解析： 由于在直观图中ACB45 ， 则在原图形中ACB90 ，AC3，BC4，AB5，AB 边上的中线为 2.5. 答案：2.5 题型一 水平放置的平面图形的直观图的画法经典例题 例1 画一个锐角为45 的平行四边形ABCD的直观图(尺
5、寸自定) 【课堂探究】 【解】 (1)画轴：ABCD 如图 1 所示，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，再建立斜坐标系 xOy，使xOy45 ，如图 2. (2)描点：在 x轴上以点 O为中点，取 BABA，在 y轴上取 OD12OD，过 D作 DCx轴，且 DCDC，如图 2. (3)连线：连接 BC，AD，如图 2. (4)成图：四边形 ABCD即为一个锐角是 45 的平行四边形ABCD 的直观图 状元随笔 以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，再建立斜坐标系 x O y ，利用斜二测画法画
6、直观图. 方法归纳 在画水平放置的平面图形的直观图时， 选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线 跟踪训练 1 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示 解：(1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画相应的 x轴和 y轴，使xOy45 ，如图所示 (2)在 x轴上截取 OBOB， 在 y轴上截取 OD12OD， 过点 D作 x轴的平行线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 DCDC.
7、连接 BC，如图. (3)所得四边形 OBCD就是直角梯形 OBCD 的直观图 如图. 题型二 立体图形的直观图的画法 例 2 已知长方体的长、宽、高分别是 3 cm,2 cm,1.5 cm，用斜二测画法画出它的直观图 【解】 画法 (1)画轴如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O(A)，使xOy45 ，xOz90 . (2)画底面在 x 轴正半轴上取线段 AB，使 AB3 cm；在 y轴正半轴上取线段AD， 使AD1 cm.过点B 作y 轴的平行线、过点 D 作 x 轴的平行线，设它们的交点为 C，则ABCD 就是长方体的底面 ABCD 的直观图 (3)画侧棱在 z 轴正半轴上取
8、线段 AA，使 AA1.5 cm，过 B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取 1.5 cm 长的线段 BB，CC，DD. (4)成图顺次连接 A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线)， 就得到长方体的直观图了 状元随笔 画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为 x 轴、y 轴、z 轴. 方法归纳 1画柱体、锥体的直观图的步骤 画轴：通常以高所在直线为 z轴建系画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面确定顶点：利用
9、与 z轴平行或在 z轴上的线段确定有关顶点连线成图 2画台体的直观图的步骤 画轴： 通常以高所在直线为 z轴建系 画下底面 画高，画上底面连线成图. 跟踪训练 2 用斜二测画法画出六棱锥 PABCDEF 的直观图，其中底面 ABCDEF 为正六边形，点 P 在底面上的投影是正六边形的中心 O(尺寸自定) 解：(1)画出六棱锥 PABCDEF 的底面 在正六边形 ABCDEF 中，取 AD 所在的直线为 x 轴，线段 AD 的中垂线为 y 轴， 两轴相交于点 O(如图(1)， 画相应的 x轴、y轴、z轴，三轴相交于点 O，使xOy45 ，xOz90 (如图(2)； 在图(2)中，以 O为中点，在
10、 x轴上取 ADAD，在 y轴上取 MN12MN， 以点 N为中点， 画 BCx轴， 且 BCBC，再以 M为中点，画 EFx轴，且 EFEF； 连接 AB，CD，DE，FA，得到正六边形 ABCDEF水平放置的直观图 ABCDEF. (2)画正六棱锥 PABCDEF 的顶点在 z轴的正半轴上取点 P，点 P异于点 O. (3)成图连接 PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去x轴、y轴和 z轴，将被遮挡的线改为虚线，便可得到六棱锥 PABCDEF 的直观图 PABCDEF(如图(3) 题型三 直观图与原平面图形的面积关系经典例题 例 3 如图所示，四边形 ABCD 是一个梯形，CDAB，C
11、DAO1，三角形 AOD 为等腰直角三角形，O 为 AB的中点，试求水平放置的梯形 ABCD 的直观图的面积 【解】 方法一方法一 在梯形 ABCD 中，AB2，高 OD1， 水平放置的梯形 ABCD 的直观图仍为梯形， 且上底和下底的长度都不变，作 DEAB于 E，如图所示， 在直观图中，OD12OD12，梯形 ABCD的高 DE24，于是梯形 ABCD的面积为12 (12)243 28. 方法二方法二 因为梯形 ABCD 的面积为12 1232， 所以直观图的面积为24323 28. 状元随笔 研究直观图的面积问题时，一定要注意：画三角形的直观图时， 不仅是 y 轴上的线段长度变为原来的一
12、半，同时，y 轴与 x 轴的夹角也变为 45 (或 135 )，因此直观图中三角形的高不是原来高的一半. 方法归纳 (1)解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于 x 轴的线段的长度不变，而平行于 y 轴的线段长度变为原来的 2 倍 (2)求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成 45 角且长度为原来的一半的线段， 以此为依据求出直观图中的高线即可 跟踪训练 3 已知水平放置的ABC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 BOCO1，BAC90 ，则ABC 的面积为_ 解析：BAC90 ，BOCO1， AO1，ABC 的高为 2， ABC 的面积为12 2 22. 答案：2
